对称矩阵
对称矩阵是等于其自身转置的方阵。本页介绍定义、关键性质、已解答示例以及带详细解答的练习题。
对称矩阵的定义
方矩阵 \( A \) 是对称的当且仅当
\[ A = A^T \]
其中 \( A^T \) 是 \( A \) 的转置。
换句话说，对于每一对下标 \( (i, j) \)，\( A_{ij} = A_{ji} \)——沿主对角线镜像的元素相等。
\( 4 \times 4 \) 对称矩阵示例
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 6 & 8 & 9 \\ 4 & 7 & 9 & 0 \end{bmatrix} \]
(a) 一个 \( 2 \times 2 \) 对称矩阵
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \]
沿主对角线镜像的元素相等（均为 \( -2 \)），因此 \(A\) 是对称的。其转置通过交换行和列得到：
\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = A. \]
(b) 一个 \( 3 \times 3 \) 对称矩阵
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \end{bmatrix}. \]
\[ B^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \end{bmatrix} = B. \]
由于 \(B^T = B\)，矩阵 \(B\) 是对称的。
任意矩阵与其转置的乘积是对称的
对于任意 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，乘积 \( A A^T \) 和 \( A^T A \) 都是对称的，大小分别为 \( m \times m \) 和 \( n \times n \)。
设
\[ A = \begin{bmatrix} -3 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 1 \end{bmatrix}. \]
其转置为
\[ A^T = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -3 & -7 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}. \]
计算 \(A A^T\)：
\[ A A^T = \begin{bmatrix} -3 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -3 & -7 \\ 9 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 99 & 24 \\ 24 & 54 \end{bmatrix}. \]
结果是 \( 2 \times 2 \) 对称矩阵（注意镜像的非对角元素 \(24\)）。
计算 \(A^T A\)：
\[ A^T A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -3 & -7 \\ 9 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & -5 & -25 \\ -5 & 58 & -34 \\ -25 & -34 & 82 \end{bmatrix}. \]
这是 \(3 \times 3\) 对称矩阵。
对称矩阵的性质
以下列出一些最重要的性质。
- 如果 \(A\) 是对称的，则 \(A^T = A\)。
- 如果 \(A\) 和 \(B\) 是对称的，则 \(A \pm B\) 是对称的。
- 如果 \(A\) 和 \(B\) 是同尺寸的对称矩阵，则 \(AB + BA\) 是对称的。（注意：\(AB\) 本身不一定对称。）
- 如果 \(A\) 是对称且可逆的，则\(A^{-1}\)也是对称的。
- 如果 \(A\) 是对称的且 \(k\) 是任意实标量，则 \(kA\) 是对称的。
- 如果 \(A\) 是对称的，则对于每个正整数 \(n\)，\(A^n\) 是对称的。
- 对于任意矩阵 \(B\)，乘积 \(B B^T\) 和 \(B^T B\) 是对称的。
- 每个实对称矩阵只有实特征值，且其特征向量可以选为标准正交基。
- 每个实对称矩阵是正交可对角化的：\(A = Q D Q^T\)，其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(D\) 是对角矩阵（谱定理）。
示例与解答
例 1 — 识别对称矩阵
以下哪些矩阵是对称的？
a) \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
b) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
c) \( C = \begin{bmatrix} 5 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
d) \( D = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 9 \\ 4 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 0 \\ 9 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \)
解答
- A： 不是对称的——甚至不是方阵（是 \(2 \times 3\)），对称性仅对方阵定义。
- B： 对称——每个元素 \(B_{ij} = B_{ji}\)： \(B_{12}=0=B_{21}\)，\(B_{13}=1=B_{31}\)，\(B_{23}=1=B_{32}\)。
- C： 不是对称的——例如 \(C_{12} = -7\) 但 \(C_{21} = 5\)，所以 \(C \neq C^T\)。
- D： 对称——每对镜像元素匹配： \(D_{12}=4=D_{21}\)，\(D_{13}=0=D_{31}\)，\(D_{14}=9=D_{41}\)，\(D_{23}=-4=D_{32}\)， \(D_{24}=0=D_{42}\)，\(D_{34}=0=D_{43}\)。
因此，矩阵 \(B\) 和 \(D\) 是对称的。
例 2 — 对称矩阵的和与差
给定对称矩阵
\[ A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}, \]
证明 \(A + B\) 和 \(A - B\) 是对称的（性质 2）。
解答
\[ A + B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad A - B = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}. \]
两个结果的非对角元素均镜像相等，因此都是对称的。
例 3 — 对称矩阵的逆
求 \(A = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}\) 的 \(A^{-1}\)，并验证它是对称的（性质 4）。
解答
使用 \(2 \times 2\) 逆矩阵公式：
\[ \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{xw - yz}\begin{bmatrix} w & -y \\ -z & x \end{bmatrix}. \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{(-1)(0) - (-2)(-2)} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\tfrac{1}{2} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{bmatrix}. \]
结果是对称的，符合预期。
例 4 — 对称矩阵的幂
设 \(A = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}\)。计算 \(A^3\) 并确认它是对称的（性质 6）。
解答
\[ A^2 = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 \\ 4 & 50 \end{bmatrix}. \]
\[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 10 & 4 \\ 4 & 50 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -26 & 38 \\ 38 & 354 \end{bmatrix}. \]
结果是对称的。
例 5 — 求使矩阵对称的常数
求实数 \(a, b, c\)，使得 \(A = \begin{bmatrix} 0 & a+b & c+2 \\ a & 2 & c \\ 4 & a+b & 4 \end{bmatrix}\) 是对称的。
解答
令镜像元素相等：
- \(A_{12} = A_{21}\)：\(a + b = a \Rightarrow b = 0\)。
- \(A_{13} = A_{31}\)：\(c + 2 = 4 \Rightarrow c = 2\)。
- \(A_{23} = A_{32}\)：\(c = a + b \Rightarrow 2 = a + 0 \Rightarrow a = 2\)。
因此 \(a = 2\)，\(b = 0\)，\(c = 2\)。
例 6 — 验证 \(AB + BA\) 是对称的
给定对称矩阵 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\)， 验证 \(AB + BA\) 是对称的（性质 3）。
解答
\[ AB = \begin{bmatrix} 20 & 19 \\ 44 & 60 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 20 & 44 \\ 19 & 60 \end{bmatrix}. \]
\[ AB + BA = \begin{bmatrix} 40 & 63 \\ 63 & 120 \end{bmatrix}. \]
结果的非对角元素镜像相等，因此 \(AB + BA\) 是对称的。
习题与解答
问题 1 — 对称矩阵的逆
矩阵 \(A\) 和 \(B\) 满足 \(AB = BA = I\)。证明如果其中之一是对称的，则另一个也是对称的。
解答
由于 \(AB = BA = I\)，矩阵互为逆：\(B = A^{-1}\) 且 \(A = B^{-1}\)。 由性质 4，对称矩阵的逆是对称的。因此如果 \(A\) 是对称的，则 \(B\) 也是对称的，反之亦然。
问题 2 — 矩阵和的转置
给定 \(A = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\)， 计算 \(A + B\) 并解释为什么 \((A+B)^T = A + B\)。
解答
\[ A + B = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 6 \end{bmatrix}. \]
结果的镜像非对角元素相等（\(-1\) 和 \(-1\)），因此它是对称的，所以 \((A+B)^T = A + B\)。
问题 3 — 求矩阵中的未知数
设 \(A = \begin{bmatrix} -1 & -b \\ c & c^2 \end{bmatrix}\)。求实数 \(b, c\)，使得 \(A\) 是对称的且 \(\det(A) = -1\)。
解答
对称性：\(-b = c\)，所以 \(b = -c\)。
行列式： \(\det(A) = (-1)(c^2) - (-b)(c) = -c^2 + bc\)。
代入 \(b = -c\)：
\[ -c^2 - c^2 = -2c^2 = -1 \;\Rightarrow\; c^2 = \tfrac{1}{2}. \]
两组解：
- \(c = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\) 且 \(b = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
- \(c = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) 且 \(b = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
问题 4 — 矩阵的逆与幂
证明对于 \(A = \begin{bmatrix} a & \sqrt{1-a^2} \\ \sqrt{1-a^2} & -a \end{bmatrix}\)（\(|a| < 1\)），有 \(A = A^T = A^{-1}\)，并求 \(A^n\)。
解答
观察可知 \(A^T = A\)，所以 \(A\) 是对称的。
行列式： \(\det(A) = (a)(-a) - (\sqrt{1-a^2})^2 = -a^2 - (1-a^2) = -1\)。
\[ A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -a & -\sqrt{1-a^2} \\ -\sqrt{1-a^2} & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & \sqrt{1-a^2} \\ \sqrt{1-a^2} & -a \end{bmatrix} = A. \]
所以 \(A = A^T = A^{-1}\)，且 \(A^2 = I\)。因此：
- 如果 \(n\) 是偶数，\(A^n = I\)。
- 如果 \(n\) 是奇数，\(A^n = A\)。