向量空间的基、坐标与维数

在正式定义向量空间的基之前，我们先考察物理学和解析几何中二维空间的基的示例，以建立基础直觉。

使用直角坐标轴的二维空间基的定义

我们首先讨论物理学和解析几何中所使用的二维空间中向量的知识。下图显示了点 \( P \)、正交单位向量 \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \)，以及向量 \( \mathbf{OP} \)。

直角坐标系，显示单位向量 i 和 j、点 P 以及向量 OP。

向量 \( \mathbf{OP} \) 可以表示为单位向量 \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \) 的线性组合：

\( \mathbf{OP} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} \)

这里 \( x \) 和 \( y \) 是 \( \mathbf{OP} \) 相对于基 \( \{ \mathbf{i}, \mathbf{j} \} \) 的坐标。

通过平行四边形法则进行向量加法，存在唯一的方式将 \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \) 的倍数组合得到 \( \mathbf{OP} \)。只要 \( \mathbf{i} \) 和 \( \mathbf{j} \) 不平行（等价地，线性无关），平面中的每个向量都有唯一的表示 \( x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \)。由于平面中的每个向量都可以这样表示，所以 \( \{ \mathbf{i}, \mathbf{j} \} \) 构成二维空间的基。

推广二维空间的基的定义

现在我们将概念推广到由不一定是正交或单位向量的向量构成的基。设 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 是平面中任意两个不平行的向量。

非直角坐标系，显示基向量 v1 和 v2 以及向量 OP。

使用平行四边形，存在唯一的方式将 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 的倍数组合得到 \( \mathbf{OP} \)。即存在唯一的表示

\( \mathbf{OP} = a\,\mathbf{v}_1 + b\,\mathbf{v}_2 \)

标量 \( a \) 和 \( b \) 是 \( \mathbf{OP} \) 相对于基 \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \} \) 的坐标，前提是 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 不平行（即线性无关）。因此 \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \} \) 是二维空间的基。

推广子空间的基的定义

设 \( S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} \) 是向量空间 \( V \) 中的一组向量。则 \( S \) 是 \( V \) 的基当且仅当：

  1. \( S \) 中的向量线性无关；
  2. \( S \) 中的向量张成 \( V \)。
关键思想。 基是一个最小张成集——不能移除任何向量而不失去张成性——也是一个极大线性无关集——不能添加任何向量而不产生线性相关。\( V \) 中的每个向量相对于基都有唯一的坐标表示。
为什么坐标表示是唯一的？ 假设 \( u = \sum r_i v_i = \sum s_i v_i \)。则 \( \sum (r_i - s_i) v_i = 0 \)。由于 \( v_i \) 线性无关，每个系数 \( r_i - s_i = 0 \)，所以 \( r_i = s_i \)。

向量空间的维数

如果 \( S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} \) 是向量空间 \( V \) 的基，则 \( n \)——基中向量的个数——是 \( V \) 的维数，记为 \( \dim(V) = n \)。

\( \mathbb{R}^n \) 的标准基。 标准基是 \( \{ e_1, e_2, \dots, e_n \} \)，其中 \( e_i \) 在第 \( i \) 个位置为 \( 1 \)，其余位置为 \( 0 \)。相对于此基，\( u = (u_1, u_2, \dots, u_n) \) 的坐标向量就是 \( u \) 本身。

坐标的定义

如果 \( S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \} \) 是向量空间 \( V \) 的基，且向量 \( \mathbf{u} \in V \) 可以写为

\( \mathbf{u} = r_1 \mathbf{v}_1 + r_2 \mathbf{v}_2 + \dots + r_n \mathbf{v}_n \)，

则列向量

\[ [\mathbf{u}]_S = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix} \]

称为 \( \mathbf{u} \) 相对于基 \( S \) 的坐标向量。

示例与解答

例 1 — 判断集合是否构成基

向量集 \( S \) 是否是 \( \mathbb{R}^3 \) 的子空间的基？

\[ S = \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \]

解答

我们首先通过解向量方程来检验 \( S \) 中的向量是否线性无关：

\[ r_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} + r_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

用矩阵形式表示，该齐次方程组为：

\[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \quad \text{(I)} \]

该方程组的增广矩阵为：

\[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 3 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}. \]

现在将此增广矩阵行化简为行阶梯形：

  • 步骤 1。 将第 1 行加到第 2 行（即 \( R_2 \leftarrow R_2 + R_1 \)）： \[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 4 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]
  • 步骤 2。 将第 3 行的 \( 4 \) 倍加到第 2 行（即 \( R_2 \leftarrow R_2 + 4 R_3 \)）： \[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]
  • 步骤 3。 交换第 2 行和第 3 行（即 \( R_2 \leftrightarrow R_3 \)）： \[ \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \end{bmatrix} \]
  • 步骤 4。 将第 1 行乘以 \( -1 \)，第 2 行乘以 \( -1 \)： \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \end{bmatrix} \]
  • 步骤 5。 将第 3 行乘以 \( \tfrac{1}{4} \)： \[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]

主元出现在第 1、2、3 列。没有自由变量，所以唯一的解是平凡解 \( r_1 = r_2 = r_3 = 0 \)。因此 \( S \) 中的向量线性无关。

现在检验这些向量是否张成 \( \mathbb{R}^3 \)。

构造以 \( S \) 的向量为列的方阵：

\[ M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}. \]

沿第一行进行代数余子式展开计算其行列式：

\[ \det(M) = -1 \det\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - 1 \det\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + (-1) \det\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \] \[ = -1(3 + 1) - 1(1 - 0) - 1(-1 - 0) = -4 - 1 + 1 = -4 \neq 0. \]

由于 \( \det(M) \neq 0 \)，矩阵可逆，且 \( M \) 的列张成 \( \mathbb{R}^3 \)。

集合 \( S \) 既线性无关又张成 \( \mathbb{R}^3 \)。因此 \( S \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的基。

结论。 \( S \) 是 \( \mathbb{R}^3 \) 的基，且 \( \dim(\mathbb{R}^3) = 3 \)（如预期）。
例 2 — 求相对于基的坐标向量

给定子空间 \( V \) 的基 \( S \) 和向量 \( u \in V \)：

\[ S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}, \qquad u = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

(a) \( V \) 的维数是多少？(b) 求坐标向量 \( [u]_S \)。

解答

(a) \( V \) 的维数等于基中向量的个数，所以 \( \dim(V) = 3 \)。

(b) 解 \( u = r_1 v_1 + r_2 v_2 + r_3 v_3 \)：

\[ \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + r_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

增广矩阵：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & 1 & | & -3 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}. \]

行化简得到：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}. \]

所以 \( r_1 = 3 \)，\( r_2 = -2 \)，\( r_3 = 1 \)，且

\[ [u]_S = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

例 3 — 基变换坐标

给定基 \( S_1 \) 和坐标向量 \( [u]_{S_1} \)：

\[ S_1 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}, \qquad [u]_{S_1} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}. \]

求 \( [u]_{S_2} \) 相对于新基 \( S_2 = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\} \)。

解答

首先，恢复标准向量表示：

\[ u = -1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 6 \\ -2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

现在对 \( S_2 \) 解 \( u = r_1 w_1 + r_2 w_2 \)：

\[ \begin{bmatrix} -7 \\ 0 \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}. \]

增广矩阵：

\[ \begin{bmatrix} 0 & -1 & | & -7 \\ -1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix}. \]

行化简得到：

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & | & 7 \end{bmatrix}. \]

回代：\( r_2 = 7 \)，\( r_1 = 14 \)。因此

\[ [u]_{S_2} = \begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}. \]

例 4 — 求张成子空间的基

求 \( \mathbb{R}^3 \) 中由以下向量张成的子空间的基：

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ -7 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}. \]

解答

将向量作为矩阵的列并行化简：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & -7 & -3 & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;\text{RREF}\;}\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

主元列为第 1、2、4 列。对应的原始矩阵的列构成列空间的基：

\[ \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ -7 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} \right\}. \]

注意： 列空间的维数等于行阶梯形中主元的个数。

习题与解答

问题 1 — 它是基吗？

\( S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \) 是 \( \mathbb{R}^2 \) 的基吗？证明你的答案。

解答

不是。\( \mathbb{R}^2 \) 的基必须恰好有 2 个向量。集合 \( S \) 有 3 个，因此不可能是基。事实上，这三个向量线性相关：\( (1,1) = (1,0) + (0,1) \)。

问题 2 — 求相对于基的坐标

求 \( u = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} \) 相对于 \( S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\} \) 的坐标向量。

解答

解 \( r_1 (1,1) + r_2 (1,-1) = (5,6) \)：

\[ \begin{cases} r_1 + r_2 = 5 \\ r_1 - r_2 = 6 \end{cases} \]

相加：\( 2r_1 = 11 \Rightarrow r_1 = \tfrac{11}{2} \)。相减：\( 2r_2 = -1 \Rightarrow r_2 = -\tfrac{1}{2} \)。

\[ [u]_S = \begin{bmatrix} 11/2 \\ -1/2 \end{bmatrix}. \]

问题 3 — 列空间的维数

求 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \) 的列空间的基，并说明其维数。

解答

行化简 \( A \)：

\[ A \xrightarrow{\;\text{RREF}\;}\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

主元列为第 1 和第 2 列。列空间的基为：

\[ \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}. \]

列空间的维数（\( A \) 的秩）为 \( 2 \)。

更多参考与链接