指数与对数应用题及分步解答
指数函数和对数函数可模拟现实世界的现象，如人口增长、放射性衰变、声音强度、病毒传播和电路。 下面每道题都附有详细解答，你可以先自己尝试，再展开查看。
指数与对数问题的关键公式
- 指数增长/衰减： \( A(t) = A_0 e^{kt} \)
- 半衰期： \( T = \dfrac{\ln 2}{k} \)
- 分贝等级： \( D = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) \)
- 逻辑斯蒂模型： \( y = \dfrac{a}{1 + b e^{-kt}} \)
- 反函数性质： \( \ln(e^x) = x \) 且 \( e^{\ln x} = x \)
- 商法则： \( \log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right) \)
练习题与解答
问题1：人口增长
题目： 某城市的人口 \( P \) 按以下公式增长：
\[ P = 5000 e^{a t} \]其中 \( t \) 以年为单位，\( t = 0 \) 对应1980年。1990年人口为10000。求常数 \( a \) 的值，并将答案保留到3位小数。
解答：
若 \( t = 0 \) 对应1980年，则1990年对应 \( t = 10 \)。已知当 \( t = 10 \) 时，人口 \( P = 10000 \)。将这些值代入公式得：
\[ 5000 e^{10a} = 10000 \]两边除以5000并化简：
\[ e^{10a} = \frac{10000}{5000} \] \[ e^{10a} = 2 \]利用自然对数 \( \ln \)，将指数形式改写为：
\[ 10a = \ln 2 \]解出 \( a \) 并保留到3位小数：
\[ a = \frac{\ln 2}{10} \approx 0.069 \]问题2：两个人口相等
题目： 两个城市的人口 \( P_1 \) 和 \( P_2 \) 由以下公式给出：
\[ P_1 = 10000 e^{k t} \] \[ P_2 = 20000 e^{0.01 t} \]其中 \( k \) 是常数，\( t \) 是以年为单位的时间，\( t = 0 \) 对应2000年。求常数 \( k \)，使得两个城市的人口在2020年相等。将答案保留到3位小数。
解答：
若 \( t = 0 \) 对应2000年，则2020年对应 \( t = 20 \)。我们需要在 \( t = 20 \) 时 \( P_1 = P_2 \)。
\[ 10000 e^{20k} = 20000 e^{20 \times 0.01} \] \[ 10000 e^{20k} = 20000 e^{0.2} \]两边除以 \( 20000 e^{20k} \) 并化简：
\[ \frac{10000}{20000} = \frac{e^{0.2}}{e^{20k}} \] \[ \frac{1}{2} = e^{0.2 - 20k} \]将指数形式转换为对数形式：
\[ 0.2 - 20k = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]解出 \( k \)：
\[ 20k = 0.2 - \ln(0.5) \] \[ k = \frac{0.2 - \ln(0.5)}{20} \] \[ k \approx 0.045 \]问题3：计算分贝等级
题目： 声音的分贝等级 \( D \) 定义为：
\[ D = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-16}}\right) \]其中 \( I \) 是声强，单位为瓦特每平方厘米。求强度为 \( I = 10^{-8}\ \text{瓦特/厘米}^2 \) 的声音的分贝等级。
解答：
将 \( I = 10^{-8} \ \text{瓦特/厘米}^2 \) 代入公式：
\[ D = 10 \log\left(\frac{10^{-8}}{10^{-16}}\right) \]利用指数法则 \( \dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \) 化简分数：
\[ D = 10 \log\left(10^{-8 - (-16)}\right) = 10 \log\left(10^{8}\right) \]因为 \( \log_{10}(10^8) = 8 \)：
\[ D = 10 \times 8 = 80 \ \text{分贝} \]问题4：比较声音强度
题目： 两个强度分别为 \( I_1 \) 和 \( I_2 \) 的声音，其分贝等级分别为60和80。利用问题3中的分贝公式，求强度比 \( \dfrac{I_2}{I_1} \)。
解答：
写出两个声音的方程：
\[ 60 = 10 \log\left(\frac{I_1}{10^{-16}}\right) \] \[ 80 = 10 \log\left(\frac{I_2}{10^{-16}}\right) \]用第二个方程减去第一个方程：
\[ 80 - 60 = 10 \log\left(\frac{I_2}{10^{-16}}\right) - 10 \log\left(\frac{I_1}{10^{-16}}\right) \] \[ 20 = 10 \left[ \log\left(\frac{I_2}{10^{-16}}\right) - \log\left(\frac{I_1}{10^{-16}}\right) \right] \]两边除以10，并应用商法则 \( \log a - \log b = \log\left(\dfrac{a}{b}\right) \)：
\[ 2 = \log\left( \frac{\frac{I_2}{10^{-16}}}{\frac{I_1}{10^{-16}}} \right) \] \[ 2 = \log\left(\frac{I_2}{I_1}\right) \]将对数形式转换为指数形式：
\[ \frac{I_2}{I_1} = 10^2 = 100 \]问题5：病毒传播（逻辑斯蒂增长）
题目： 病毒在一座城市中的传播由以下模型描述：
\[ N = \frac{15000}{1 + 100 e^{-0.5t}} \]其中 \( N \) 是 \( t \) 天后感染的人数。需要多少天才能使2000人被感染？将答案保留到3位小数。
解答：
令 \( N = 2000 \) 并解出 \( t \)：
\[ 2000 = \frac{15000}{1 + 100 e^{-0.5 t}} \]两边乘以分母并除以2000：
\[ 1 + 100 e^{-0.5 t} = \frac{15000}{2000} \] \[ 1 + 100 e^{-0.5 t} = 7.5 \]减去1并除以100：
\[ 100 e^{-0.5 t} = 6.5 \] \[ e^{-0.5 t} = 0.065 \]利用 \( \ln \) 解出指数：
\[ -0.5 t = \ln(0.065) \] \[ t = \frac{\ln(0.065)}{-0.5} \approx 5.467 \]大约需要5.467天。
问题6：放射性半衰期
题目： 放射性物质的量按以下规律衰减：
\[ A(t) = A_0 e^{-k t} \]其中 \( A_0 \) 是初始量，\( k \) 是正常数，\( t \) 是以天为单位的时间。求该物质半衰期的公式。
解答：
半衰期 \( T \) 是物质衰减到初始量一半所需的时间。当 \( t = T \) 时，剩余量为 \( \dfrac{A_0}{2} \)：
\[ \frac{A_0}{2} = A_0 e^{-kT} \]两边除以 \( A_0 \)：
\[ \frac{1}{2} = e^{-kT} \]利用 \( \ln \) 转换为对数形式：
\[ -kT = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]利用 \( \ln(1/2) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln 2 \)：
\[ -kT = -\ln 2 \]解出 \( T \)：
\[ T = \frac{\ln 2}{k} \]问题7：解逻辑斯蒂方程
题目： 逻辑斯蒂方程的形式为：
\[ y = \frac{a}{1 + b e^{-kt}} \]其中 \( a \)、\( b \) 和 \( k \) 是常数。解该方程求 \( t \)。
解答：
两边乘以 \( 1 + b e^{-kt} \) 并除以 \( y \)：
\[ 1 + b e^{-kt} = \frac{a}{y} \]两边减去1：
\[ b e^{-kt} = \frac{a}{y} - 1 \]两边除以 \( b \)：
\[ e^{-kt} = \frac{\frac{a}{y} - 1}{b} \]对两边取自然对数：
\[ -kt = \ln\left(\frac{\frac{a}{y} - 1}{b}\right) \]解出 \( t \)：
\[ t = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{\frac{a}{y} - 1}{b}\right) \]问题8：电压衰减
题目： 电气元件两端的电压 \( V(t) \) 由以下公式给出：
\[ V(t) = V_0 e^{- a t } \]其中 \( a \) 是取决于电路的正数，\( V_0 \) 是初始电压。求 \( V(t) \) 为 \( V_0 \) 的50%时对应的 \( t \)。
解答：
令 \( V(t) = 0.5 V_0 \)：
\[ 0.5 V_0 = V_0 e^{-at} \]两边除以 \( V_0 \)：
\[ e^{-at} = 0.5 = \frac{1}{2} \]利用 \( \ln \) 转换为对数形式：
\[ -at = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \]解出 \( t \)：
\[ t = \frac{\ln 2}{a} \]问题9：电子信号比
题目： 电子系统的信号比分贝值由以下公式给出：
\[ 10 \log\left(\frac{P_{o}}{P_{i}}\right) \]其中 \( P_o \) 是输出功率，\( P_i \) 是输入功率。若输出功率为10 mW，信号比为10分贝，求输入功率 \( P_i \)。
解答：
代入信号比（10 dB）和 \( P_o = 10 \)：
\[ 10 = 10 \log\left(\frac{10}{P_i}\right) \]两边除以10：
\[ 1 = \log\left(\frac{10}{P_i}\right) \]将以10为底的对数改写为指数形式：
\[ 10^1 = \frac{10}{P_i} \] \[ 10 = \frac{10}{P_i} \]两边乘以 \( P_i \) 并除以10：
\[ P_i = 1 \text{ mW} \]问题10：RL电路中的电流
题目： RL电路中流动的电流 \( i \) 由以下公式给出：
\[ i = \frac{E}{R} \left[ 1 - e^{-\frac{Rt}{L}} \right] \]其中 \( E \) 是施加的电压，\( R \) 是电阻，\( L \) 是电感。当 \( t = \dfrac{L}{R} \) 时，用 \( E \) 和 \( R \) 表示 \( i \)。
解答：
将 \( t = \dfrac{L}{R} \) 代入指数：
\[ i = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} \cdot \frac{L}{R}} \right) \]指数中的 \( R \) 和 \( L \) 变量相互抵消：
\[ i = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-1} \right) \]因为 \( e^{-1} \approx 0.3678 \)：
\[ i = \frac{E}{R} (1 - 0.3678) \] \[ i \approx 0.632 \frac{E}{R} \]关键要点
- 指数增长和衰减使用形式 \( A(t) = A_0 e^{kt} \)；\( k > 0 \) 表示增长，\( k < 0 \) 表示衰减。
- 衰减量的半衰期为 \( T = \dfrac{\ln 2}{k} \)。
- 要求解指数，先分离指数表达式，然后对两边取自然对数。
- 对数性质如 \( \log a - \log b = \log(a/b) \) 可简化强度和功率的比较。
- 逻辑斯蒂模型 \( y = \dfrac{a}{1 + b e^{-kt}} \) 常见于人口和病毒传播问题。
更多参考与链接
- 🔗 指数函数
- 🔗 对数函数
- 🔗 更多数学问题及详细解答