函数：练习题及分步解答

题目： \(f\) 是由下式定义的函数：

\[ f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x \leq 2 \\ 2x - 1 & x > 2 \end{cases} \]

求 \(f(0)\)、\(f(2)\) 和 \(f(4)\)。

---

解答：

因为 \(0 \leq 2\)，所以用第一个公式 \(f(x) = 2x + 4\) 求 \(f(0)\)：

\[ f(0) = 2(0) + 4 = 4 \]

因为 \(2 \leq 2\)，所以也用第一个公式求 \(f(2)\)：

\[ f(2) = 2(2) + 4 = 8 \]

因为 \(4 > 2\)，所以用第二个公式 \(f(x) = 2x - 1\) 求 \(f(4)\)：

\[ f(4) = 2(4) - 1 = 7 \]

题目： 在方程 \(-x^2 + y^2 - 2 = 0\) 中，\(y\) 是 \(x\) 的函数吗？

---

解答：

解方程求 \(y\)：

\[ y^2 = x^2 + 2 \] \[ y = \pm \sqrt{x^2 + 2} \]

\(y\) 不是 \(x\) 的函数，因为一个输入 \(x\) 会产生两个不同的输出 \(y\)。

题目： 求函数 \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + 2\) 的定义域。

---

解答：

被开方数必须非负。因为对所有实数 \(x\) 都有 \(x^2 \geq 0\)，所以：

\[ x^2 + 1 \geq 1 > 0 \]

对 \(x\) 没有任何限制。定义域是所有实数的集合，即 \((-\infty, \infty)\)。

题目： 设 \(f(x) = |x - 1| + 3\)。求 \(f(-9)\)。

---

解答：

\[ f(-9) = |-9 - 1| + 3 \] \[ f(-9) = |-10| + 3 = 10 + 3 = 13 \]

题目： 设 \(f(x) = 2x + 2\)，\(g(x) = \sqrt{x + 3}\)。求 \((f \circ g)(6)\)。

---

解答：

\[ (f \circ g)(6) = f(g(6)) \]

首先求 \(g(6)\)：

\[ g(6) = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \]

然后对 \(3\) 应用 \(f\)：

\[ f(3) = 2(3) + 2 = 8 \]

因此，\((f \circ g)(6) = 8\)。

题目： 求所有使 \(f(x) = 0\) 的实数 \(x\)，其中 \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}\)。

---

解答：

令 \(f(x) = 0\)：

\[ \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = 0 \]

有理函数在其分子为零（且分母非零）时为零。对于 \(x \neq 1\)：

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

因式分解：

\[ (x - 1)(x + 3) = 0 \]

得到 \(x = 1\) 或 \(x = -3\)。由于 \(x = 1\) 使分母为零，所以它无效。唯一的解是 \(x = -3\)。

题目： 求所有使 \(f(x) = g(x)\) 的实数 \(x\)，其中 \(f(x) = 3x + \sqrt{x}\)，\(g(x) = 2x + 6\)。

---

解答：

从 \(f(x) = g(x)\) 开始：

\[ 3x + \sqrt{x} = 2x + 6 \]

分离根号：

\[ \sqrt{x} = -x + 6 \]

因为 \(\sqrt{x} \geq 0\)，所以还要求 \(-x + 6 \geq 0\)，即 \(x \leq 6\)。两边平方：

\[ x = (-x + 6)^2 \] \[ x = x^2 - 12x + 36 \] \[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

因式分解：

\[ (x - 4)(x - 9) = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{或} \quad x = 9 \]

因为两边平方，需检验增根：

• 检验 \(x = 4\)：
  左边 \(= 3(4) + \sqrt{4} = 12 + 2 = 14\)
  右边 \(= 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14\) ✔ 有效。
• 检验 \(x = 9\)：
  左边 \(= 3(9) + \sqrt{9} = 27 + 3 = 30\)
  右边 \(= 2(9) + 6 = 18 + 6 = 24\) ✘ 增根（且 \(9 > 6\)）。

结论： \(x = 4\) 是唯一有效的解。

题目： 在方程 \(|y + 1| = x^2 + 2\) 中，\(y\) 是 \(x\) 的函数吗？

---

解答：

去掉绝对值：

\[ y + 1 = \pm (x^2 + 2) \]

对于一个 \(x\)，这给出两个可能的 \(y\) 值：

\[ y = -1 - (x^2 + 2) \quad \text{或} \quad y = -1 + (x^2 + 2) \]

因此，\(y\) 不是 \(x\) 的函数。

题目： 求 \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{|x - 1|}}\) 的定义域。

---

解答：

要使 \(f(x)\) 为实数且有定义，分母必须非零，且被开方数必须为正。表达式 \(|x - 1|\) 仅在 \(x = 1\) 时等于零。因此必须排除 \(x = 1\)。

定义域是除 \(x = 1\) 外的所有实数。