写出有理函数：练习题及解答
学习如何根据有理函数的关键特征写出有理函数，包括垂直和水平渐近线、斜渐近线、x 轴截距、零点和可去间断点。分步解答帮助你掌握每种类型的问题。
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有理函数特征复习
有理函数的形式为 \( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \)，其中 \( P \) 和 \( Q \) 是多项式。关键特征：
- \( x = c \) 处的垂直渐近线： \( Q(c) = 0 \) 且 \( P(c) \neq 0 \)；分母包含不能约去的因式 \( (x - c) \)。
- \( x = a \) 处的可去间断点： \( P(a) = 0 \) 且 \( Q(a) = 0 \)；因式 \( (x - a) \) 被约去。
- \( x = b \) 处的零点 / x 轴截距： \( P(b) = 0 \) 且 \( Q(b) \neq 0 \)。
- 水平渐近线 \( y = L \)： 分子和分母次数相等，且 \( L = \dfrac{P \text{ 的首项系数}}{Q \text{ 的首项系数}} \)。
- 斜渐近线 \( y = mx + b \)： 分子次数恰好比分母次数多一；进行多项式长除法求出 \( mx + b \)。
问题1：具有垂直和水平渐近线的有理函数
写出一个有理函数 \( f \)，使其在 \( x = 2 \) 处有垂直渐近线，水平渐近线为 \( y = 3 \)，且在 \( x = -5 \) 处有零点。
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由于 \( f \) 在 \( x = 2 \) 处有垂直渐近线，分母包含因式 \( (x - 2) \)。因此 \( f \) 的形式为：
\[ f(x) = \frac{g(x)}{x - 2} \]分子 \( g(x) \) 必须与分母次数相同以确保有水平渐近线，且由于 \( f \) 在 \( x = -5 \) 处有零点，它必须包含因式 \( (x + 5) \)。要使水平渐近线为 \( y = 3 \)，首项系数之比必须为3。因此：
验证： 当 \( x \to \infty \) 时，\( f(x) \to 3/1 = 3 \) ✓。当 \( x = -5 \) 时，分子为零而分母为 \(-7 \neq 0\) ✓。当 \( x = 2 \) 时，分母为零而分子为 \( 21 \neq 0 \) ✓。
问题2：具有两条垂直渐近线且无 x 轴截距的有理函数
写出一个有理函数 \( g \)，使其在 \( x = 3 \) 和 \( x = -3 \) 处有垂直渐近线，水平渐近线为 \( y = -4 \)，且没有 x 轴截距。
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由于 \( g \) 在 \( x = 3 \) 和 \( x = -3 \) 处有垂直渐近线，分母包含乘积 \( (x - 3)(x + 3) \)。因此：
\[ g(x) = \frac{h(x)}{(x - 3)(x + 3)} \]要实现水平渐近线 \( y = -4 \)，分子 \( h(x) \) 必须与分母次数相同（2次），且首项系数为 \(-4\)。要没有实零点（无 x 轴截距），分子中的二次式必须没有实根。我们可以使用平方和：
验证： 分子 \( -4x^2 - 6 \) 始终为负（无实零点）✓。水平渐近线为 \( y = -4/1 = -4 \) ✓。\( x = 3 \) 和 \( x = -3 \) 都使分母为零而分子非零 ✓。
问题3：具有可去间断点和垂直渐近线的有理函数
写出一个有理函数 \( h \)，使其在 \( x = 5 \) 处有可去间断点，在 \( x = -1 \) 处有垂直渐近线，水平渐近线为 \( y = 2 \)，且在 \( x = 2 \) 处有 x 轴截距。
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由于 \( h \) 在 \( x = 5 \) 处有可去间断点，分子和分母必须共享公因式 \( (x - 5) \)。
\( x = -1 \) 处的垂直渐近线给出分母中的因式 \( (x + 1) \)，\( x = 2 \) 处的 x 轴截距给出分子中的因式 \( (x - 2) \)。
要满足水平渐近线 \( y = 2 \)，分子和分母必须次数相同，且首项系数之比必须为2。将分子乘以2得：
化简后（排除 \( x = 5 \)）：\( h(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x + 1} \)。
验证： 分子首项系数为2，分母首项系数为1，所以水平渐近线为 \( y = 2 \) ✓。公因式 \( (x - 5) \) 在 \( x = 5 \) 处产生可去间断点 ✓。\( x = 2 \) 使分子为零而分母为 \( 3 \neq 0 \)，给出 x 轴截距 ✓。\( x = -1 \) 使分母为零而分子为 \(-6 \neq 0\)，给出垂直渐近线 ✓。
问题4：具有斜渐近线的有理函数
写出一个有理函数 \( f \)，使其有斜渐近线 \( y = x + 4 \)，在 \( x = 5 \) 处有垂直渐近线，且在 \( x = 2 \) 处有一个零点。
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\( f \) 的图像有斜渐近线 \( y = x + 4 \) 和 \( x = 5 \) 处的垂直渐近线。因此 \( f(x) \) 可以写成以下形式：
\[ f(x) = (x + 4) + \frac{a}{x - 5} \]其中 \( a \) 是由 \( x = 2 \) 处的零点确定的常数。令 \( f(2) = 0 \)：
\[ f(2) = (2 + 4) + \frac{a}{2 - 5} = 0 \] \[ 6 + \frac{a}{-3} = 0 \implies \frac{a}{3} = 6 \implies a = 18 \]将 \( a \) 代回并通分：
\[ f(x) = (x + 4) + \frac{18}{x - 5} = \frac{(x + 4)(x - 5) + 18}{x - 5} \] \[ f(x) = \frac{x^2 - x - 20 + 18}{x - 5} = \frac{x^2 - x - 2}{x - 5} \]验证： 分子2次、分母1次 → 存在斜渐近线。将 \( x^2 - x - 2 \) 除以 \( x - 5 \) 得商 \( x + 4 \) 余18，所以斜渐近线为 \( y = x + 4 \) ✓。当 \( x = 2 \)：\( 4 - 2 - 2 = 0 \) ✓。当 \( x = 5 \)：分母为零而分子为 \( 25 - 5 - 2 = 18 \neq 0 \) ✓。
注： 分子因式分解为 \( (x - 2)(x + 1) \)，所以零点在 \( x = 2 \) 和 \( x = -1 \)。
答案汇总表
| # | 给定特征 | 函数 |
|---|---|---|
| 1 | 垂直渐近线 \( x = 2 \)，水平渐近线 \( y = 3 \)，零点 \( x = -5 \) | \( f(x) = \dfrac{3(x+5)}{x-2} \) |
| 2 | 垂直渐近线 \( x = \pm 3 \)，水平渐近线 \( y = -4 \)，无 x 轴截距 | \( g(x) = \dfrac{-4x^2-6}{(x-3)(x+3)} \) |
| 3 | 可去间断点 \( x = 5 \)，垂直渐近线 \( x = -1 \)，水平渐近线 \( y = 2 \)，零点 \( x = 2 \) | \( h(x) = \dfrac{2(x-5)(x-2)}{(x-5)(x+1)} \) |
| 4 | 斜渐近线 \( y = x + 4 \)，垂直渐近线 \( x = 5 \)，零点 \( x = 2 \) | \( f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x-5} \) |
常见问题
已知垂直和水平渐近线，如何写出有理函数？
将对应垂直渐近线的因式放入分母。为实现水平渐近线，确保分子与分母次数相同，并调整分子的首项系数，使首项系数之比等于水平渐近线。
如何在有理函数中包含斜渐近线？
将函数写成斜渐近线方程与一个分式项之和，该分式项的分母包含垂直渐近线，例如 \( f(x) = (mx + b) + \dfrac{a}{x - c} \)，然后利用已知点或零点解出常数 \( a \)。
有理函数图像中出现可去间断点的原因是什么？
当分子和分母有公因式 \( (x - a) \) 时出现可去间断点。约分后，图像在 \( x = a \) 处有一个缺失点，而不是渐近线。
如何构造一个没有 x 轴截距的有理函数？
选择没有实零点的分子，例如平方和 \( x^2 + 1 \) 或 \( -4x^2 - 6 \)。由于分子对实数 \( x \) 永不等于零，函数没有 x 轴截距。
如何确定有理函数的水平渐近线？
比较分子和分母的次数。若分子次数小于分母次数，水平渐近线为 \( y = 0 \)。若次数相等，则为 \( y = \frac{\text{分子首项系数}}{\text{分母首项系数}} \)。若分子次数更大，则没有水平渐近线（可能有斜渐近线）。