多项式的次数与零点——练习题

次数是 \(x\) 的最高次幂。这里 \(P(x) = 2x^1 - 2\)，所以最高次幂为1。

答案： 次数 = 1

在因式形式中，将各因式的次数相加：\((x-2)\) 的次数为1，\((x^2+5)\) 的次数为2。

\[ 1 + 2 = 3 \]

通过乘首项验证：\(x \cdot x^2 = x^3\)。

答案： 次数 = 3

因式部分的首项：

\[ -5 \cdot x \cdot x^3 = -5x^4 \]

所以 \(P(x) = -5x^4 + \cdots + x^5\)。

两个最高次项的次数分别为4和5——由于不同，它们不能相消。\(x^5\) 项占主导。

答案： 次数 = 5

• \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)（指数1）
• \(x - 1 = 0 \implies x = 1\)（指数1）

答案： \(x = -2\)（重数1），\(x = 1\)（重数1）

• \((x - 2)^2 = 0 \implies x = 2\)，重数2
• \((x + 4)^1 = 0 \implies x = -4\)，重数1

答案： \(x = 2\)（重数2），\(x = -4\)（重数1）

提取 \(-1\)：\((-x + 6) = -(x - 6)\)。则

\[ P(x) = (x+5)^3 (x-6) \cdot [-(x-6)] = -(x+5)^3 (x-6)^2 \]

• \(x + 5 = 0 \implies x = -5\)，重数3
• \(x - 6 = 0 \implies x = 6\)，重数2

答案： \(x = -5\)（重数3），\(x = 6\)（重数2）

提取公因式 \((x+1)(x+2)\)：

\[ P(x) = (x+1)(x+2)\left[1 + (x+2)\right] = (x+1)(x+2)(x+3) \]

• \(x = -1\)，重数1
• \(x = -2\)，重数1
• \(x = -3\)，重数1

答案： \(x = -1, -2, -3\)，各重数为1

实零点： \(x - 4 = 0 \implies x = 4\)，重数1。

复零点： \(x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i\)。

二次因式被平方，所以每个复根的重数为2。

答案： \(x = 4\)（重数1），\(x = 2i\)（重数2），\(x = -2i\)（重数2）

实零点： \(-x + 3 = 0 \implies x = 3\)，重数1。

复零点： 用二次公式解 \(x^2 + 2x + 5 = 0\)：

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \]

二次式被平方，所以每个复根的重数为2。

答案： \(x = 3\)（重数1），\(x = -1 + 2i\)（重数2），\(x = -1 - 2i\)（重数2）

通过提取 \(-1\) 化简 \((-x-2)^2\)：

\[ (-x-2)^2 = [-(x+2)]^2 = (x+2)^2 \]

代入：

\[ P(x) = -x(x+2)^2(x+2) = -x(x+2)^3 \]

• \(-x = 0 \implies x = 0\)，重数1
• \((x+2)^3 = 0 \implies x = -2\)，重数3

答案： \(x = 0\)（重数1），\(x = -2\)（重数3）