问题1——平方差
将 \( P(x) = x^2 - 4 \) 写成线性因式的乘积。
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应用 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)，其中 \(a = x\)，\(b = 2\)。
答案： \( P(x) = (x - 2)(x + 2) \)
将多项式分解为线性因式——练习题
下面是8道关于将多项式分解为完全线性因式乘积的练习题。问题涵盖平方差、 分组分解、有理根定理、综合除法、复根和零点验证。每道题下方提供完整的分步解答—— 非常适合代数和微积分预备的学生。
练习题
问题2——有理根定理与二次因式分解
将 \( P(x) = 9x^3 - 19x - 10 \) 写成线性因式的乘积。
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测试 \(x = -1\)：
\[ P(-1) = -9 + 19 - 10 = 0 \]所以 \((x+1)\) 是因式。相除得：
\[ 9x^2 - 9x - 10 \]因式分解：找两个数，乘积为 \(-90\)，和为 \(-9\) → \((-15)\) 和 \(6\)。
\[ 9x^2 - 15x + 6x - 10 = 3x(3x - 5) + 2(3x - 5) = (3x+2)(3x-5) \]答案： \( P(x) = (x + 1)(3x + 2)(3x - 5) \)
问题3——含复根的分组分解
将 \( P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 5x - 2 \) 写成线性因式的乘积。
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分组并分解：
\[ (5x^3 - 2x^2) + (5x - 2) = x^2(5x-2) + 1(5x-2) = (x^2+1)(5x-2) \]在 \(\mathbb{C}\) 上分解 \(x^2 + 1\)：\(x = \pm i\)，所以 \(x^2 + 1 = (x-i)(x+i)\)。
答案： \( P(x) = (x + i)(x - i)(5x - 2) \)
问题4——负首项系数
将 \( P(x) = -x^3 - 2x^2 + 5x + 6 \) 写成线性因式的乘积。
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测试 \(x = -1\)：
\[ P(-1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 \]所以 \((x+1)\) 是因式。相除得 \(-x^2 - x + 6 = -(x^2 + x - 6) = -(x+3)(x-2)\)。
合并：
\[ P(x) = -1(x+1)(x+3)(x-2) \]等价地，将 \(-1\) 吸收到最后一个因式中，得 \( (x+1)(x+3)(2-x) \)。
答案： \( P(x) = -1(x + 1)(x - 2)(x + 3) \)，或等价地 \((x + 1)(2 - x)(x + 3)\)
问题5——严格首一线性因式
将 \( P(x) = (x + 2)(20x^2 + 41x + 20) \) 写成 \((x - c)\) 形式的严格线性因式的乘积。
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分解二次式。找两个数，乘积为 \(400\)，和为 \(41\) → \(16\) 和 \(25\)：
\[ 20x^2 + 16x + 25x + 20 = 4x(5x+4) + 5(5x+4) = (4x+5)(5x+4) \]现在通过提取常数将每个二项式写为首项系数为 \(1\) 的形式：
\[ 4x + 5 = 4\!\left(x + \tfrac{5}{4}\right), \quad 5x + 4 = 5\!\left(x + \tfrac{4}{5}\right) \]乘积 \(4 \cdot 5 = 20\) 作为整体首项系数出现。
答案： \( P(x) = 20(x + 2)\!\left(x + \tfrac{5}{4}\right)\!\left(x + \tfrac{4}{5}\right) \)
问题6——验证两个实零点，求其余零点
证明 \(1\) 和 \(-3\) 是 \( P(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 15 \) 的零点，然后将 \(P(x)\) 表示为线性因式的乘积。
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求值：
\[ P(1) = 1 + 4 + 6 + 4 - 15 = 0 \] \[ P(-3) = 81 - 108 + 54 - 12 - 15 = 0 \]所以 \((x-1)\) 和 \((x+3)\) 是因式；它们的乘积为 \(x^2 + 2x - 3\)。
相除：
\[ \frac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 15}{x^2 + 2x - 3} = x^2 + 2x + 5 \]对 \(x^2 + 2x + 5 = 0\) 使用二次公式：
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i \]答案： \( P(x) = (x - 1)(x + 3)(x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i) \)
问题7——两个负实零点
证明 \(-1\) 和 \(-5\) 是 \( P(x) = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 65 \) 的零点，然后将 \(P(x)\) 表示为线性因式的乘积。
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求值：
\[ P(-1) = 1 - 12 + 54 - 108 + 65 = 0 \] \[ P(-5) = 625 - 1500 + 1350 - 540 + 65 = 0 \]因式 \((x+1)\) 和 \((x+5)\) 的乘积为 \(x^2 + 6x + 5\)。相除：
\[ \frac{x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 65}{x^2 + 6x + 5} = x^2 + 6x + 13 \]对 \(x^2 + 6x + 13 = 0\) 使用二次公式：
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i \]答案： \( P(x) = (x + 1)(x + 5)(x + 3 - 2i)(x + 3 + 2i) \)
问题8——五次多项式中的三个实零点
证明 \(-2\)、\(-3\) 和 \(2\) 是 \( P(x) = x^5 + x^4 + 26x^2 - 16x - 120 \) 的零点，然后将 \(P(x)\) 写成线性因式的乘积。
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求值（注意缺少 \(x^3\) 项，系数为 \(0\)）：
\[ P(-2) = -32 + 16 + 104 + 32 - 120 = 0 \] \[ P(-3) = -243 + 81 + 234 + 48 - 120 = 0 \] \[ P(2) = 32 + 16 + 104 - 32 - 120 = 0 \]对应的因式 \((x+2)\)、\((x+3)\)、\((x-2)\) 相乘得：
\[ (x^2 - 4)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \]相除：
\[ \frac{x^5 + x^4 + 26x^2 - 16x - 120}{x^3 + 3x^2 - 4x - 12} = x^2 - 2x + 10 \]对 \(x^2 - 2x + 10 = 0\) 使用二次公式：
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2} = 1 \pm 3i \]答案： \( P(x) = (x + 2)(x + 3)(x - 2)(x - 1 - 3i)(x - 1 + 3i) \)
常见问题
"线性因式的乘积"是什么意思？
指将多项式写成 \(a(x - c_1)(x - c_2)\cdots(x - c_n)\) 的形式，其中每个 \(c_k\) 是根（可能是复数），\(a\) 是首项系数。
什么是分组分解？
当多项式有四项时，将它们分成两对，从每对中提取公因式，然后提取共同的二项式。用于问题2和问题3。
复根在线性因式分解中如何出现？
像 \(x^2 + 1\) 这样的不可约二次式分解为 \((x - i)(x + i)\)。对于实系数多项式，复根总是以共轭对 \(a \pm bi\) 的形式出现。
如何验证我的因式分解？
将因式乘回去，检查是否得到原多项式，或将任一零点 \(c\) 代入原多项式确认 \(P(c) = 0\)。