本页从头讲解部分分式分解。第一部分陈述规则：如何检查次数、如何分解分母， 以及每种因式类型应使用什么分子。第二部分提供7道完整解答的练习题， 涵盖不同线性因式、重复线性因式和不可约二次因式。适合代数、微积分预备和微积分的学生。
部分分式分解是有理表达式加法的逆运算。给定有理函数 \[ \frac{P(x)}{Q(x)} \] 其中 \( \deg P < \deg Q \)，我们将其重写为更简单分式之和，这些分式的分母是 \( Q(x) \) 的因式。
若 \( \deg P \ge \deg Q \)，先进行多项式长除法并分解余项。以下规则仅适用于 \( \deg P < \deg Q \) 的情况。
在实数范围内将 \( Q(x) \) 分解为线性因式和不可约二次因式。每种不同的因式类型决定不同的设置。
| \(Q(x)\) 中的因式 | 对分解的贡献 |
|---|---|
| 不同线性：\(x - a\) | \(\dfrac{A}{x - a}\) |
| 重复线性：\((x - a)^n\) | \(\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_n}{(x-a)^n}\) |
| 不可约二次：\(x^2 + bx + c\) | \(\dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c}\) |
| 重复不可约二次：\((x^2 + bx + c)^n\) | \(\dfrac{B_1 x + C_1}{x^2+bx+c} + \cdots + \dfrac{B_n x + C_n}{(x^2+bx+c)^n}\) |
每种情况下，分子次数比对应因式少一。线性因式 → 常数分子。二次因式 → 线性分子。
两种标准策略：
合并所得分式，确认分子与 \( P(x) \) 相符。在一个或两个方便的 \(x\) 值（如 \(x = 0\)）处检验是快速验证方法。
对于 \(\dfrac{5x + 10}{x(x+5)}\)，分母有不同线性因式 \(x\) 和 \(x+5\)，所以我们写： \[ \frac{5x + 10}{x(x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 5} \] 代入 \(x = 0\) 得 \(A = 2\)；代入 \(x = -5\) 得 \(B = 3\)。 这与下面的问题1相同。
分解为部分分式：\( \dfrac{5x + 10}{x(x + 5)} \)
设置分解：
\[ \frac{5x+10}{x(x+5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+5} \]两边乘以 \(x(x+5)\)：
\[ 5x + 10 = A(x+5) + Bx \]当 \(x=0\)：\(10 = 5A \Rightarrow A = 2\)。
当 \(x=-5\)：\(-15 = -5B \Rightarrow B = 3\)。
答案： \( \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x+5} \)
分解为部分分式：\( \dfrac{8x + 14}{(x + 1)(x + 5)} \)
当 \(x=-1\)：\(6 = 4A \Rightarrow A = \tfrac{3}{2}\)。
当 \(x=-5\)：\(-26 = -4B \Rightarrow B = \tfrac{13}{2}\)。
答案： \( \dfrac{3}{2(x+1)} + \dfrac{13}{2(x+5)} \)，等价于 \( \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{3}{x+1} + \dfrac{13}{x+5}\right) \)
分解为部分分式：\( \dfrac{5x^2 + 12x + 3}{x(x + 1)^2} \)
当 \(x=0\)：\(3 = A\)。
当 \(x=-1\)：\(-4 = -C \Rightarrow C = 4\)。
当 \(x=1\)：\(20 = 3(4) + 2B + 4 \Rightarrow B = 2\)。
答案： \( \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{4}{(x+1)^2} \)
分解为部分分式：\( \dfrac{3x + 15}{(x + 4)^2} \)
一个快速技巧可以避免完整的方程组。改写分子使其包含 \((x+4)\)：
\[ 3x + 15 = 3(x+4) + 3 \]拆分分式：
\[ \frac{3(x+4) + 3}{(x+4)^2} = \frac{3(x+4)}{(x+4)^2} + \frac{3}{(x+4)^2} = \frac{3}{x+4} + \frac{3}{(x+4)^2} \]答案： \( \dfrac{3}{x+4} + \dfrac{3}{(x+4)^2} \)
分解为部分分式：\( \dfrac{7x + 10}{(x + 1)(x^2 - 4)} \)
将 \(x^2 - 4\) 分解为平方差：
\[ \frac{7x+10}{(x+1)(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2} \] \[ 7x + 10 = A(x-2)(x+2) + B(x+1)(x+2) + C(x+1)(x-2) \]当 \(x=-1\)：\(3 = -3A \Rightarrow A = -1\)。
当 \(x=2\)：\(24 = 12B \Rightarrow B = 2\)。
当 \(x=-2\)：\(-4 = 4C \Rightarrow C = -1\)。
答案： \( -\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+2} \)
分解为部分分式：\( \dfrac{5x^2 + 31x + 46}{(x + 2)(x + 3)^2} \)
当 \(x=-2\)：\(4 = A\)。
当 \(x=-3\)：\(-2 = -C \Rightarrow C = 2\)。
匹配 \(x^2\) 系数：\(A + B = 5 \Rightarrow B = 1\)。
答案： \( \dfrac{4}{x+2} + \dfrac{1}{x+3} + \dfrac{2}{(x+3)^2} \)
分解为部分分式：\( \dfrac{2x^2 + 6x - 2}{x^3 - 1} \)
分解立方差：
\[ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) \]由于 \(x^2+x+1\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不可约，设：
\[ \frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} \] \[ 2x^2 + 6x - 2 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x-1) \]当 \(x=1\)：\(6 = 3A \Rightarrow A = 2\)。
展开并匹配系数后：
\[ 2x^2 + 6x - 2 = (2+B)x^2 + (2 - B + C)x + (2 - C) \]\(x^2\)：\(2 = 2 + B \Rightarrow B = 0\)。
常数项：\(-2 = 2 - C \Rightarrow C = 4\)。
答案： \( \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{4}{x^2 + x + 1} \)
它是有理表达式加法的逆运算：给定有理函数，将其拆分为更简单分式之和，这些分式的分母是原分母的因式。
当对应分母因式是不可约二次式时（例如 \(x^2+x+1\) 或 \(x^2+4\)）。线性分母使用常数分子；二次式需要线性分子。
为每个幂次包含一项：\(\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_n}{(x-a)^n}\)。
先进行多项式长除法，然后对余项应用部分分式分解。
它将复杂的有理函数转化为更简单分式之和，使积分、拉普拉斯逆变换和级数展开更容易。