问题1——线性多项式
求 \( f(x) = 2x + 7 \) 的定义域。
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多项式没有除零或偶次根限制，因此对所有实数有定义。
答案： \( (-\infty, \infty) \)
函数的定义域——练习题
本页包含20道关于求函数定义域的练习题。 问题涵盖多项式、有理、平方根、对数、指数、绝对值以及有序对集合函数。 每道题下方直接提供完整的分步解答——非常适合高中和微积分预备学生。
练习题
问题2——有理函数
求 \( g(x) = \dfrac{1}{-x + 8} \) 的定义域。
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分母不能为零：
\[ -x + 8 = 0 \implies x = 8 \]答案： \( (-\infty, 8) \cup (8, \infty) \)
问题3——有理函数
求 \( h(x) = \dfrac{x - 6}{2x - 8} \) 的定义域。
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\[ 2x - 8 \neq 0 \implies x \neq 4 \]
答案： \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \)
问题4——分母中的平方根
求 \( f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{-x + 4}} \) 的定义域。
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被开方数必须严格为正（因为它在分母中）：
\[ -x + 4 > 0 \implies x < 4 \]答案： \( (-\infty, 4) \)
问题5——根式除以根式
求 \( h(x) = \dfrac{\sqrt{-x + 5}}{\sqrt{x - 3}} \) 的定义域。
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- 分子被开方数 \(\ge 0\)：\(x \le 5\)
- 分母被开方数 \(> 0\)：\(x > 3\)
交集：\( 3 < x \le 5 \)。
答案： \( (3, 5] \)
问题6——平方根下的绝对值
求 \( f(x) = \sqrt{|x| - 5} \) 的定义域。
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\[ |x| - 5 \ge 0 \implies |x| \ge 5 \implies x \ge 5 \text{ 或 } x \le -5 \]
答案： \( (-\infty, -5] \cup [5, \infty) \)
问题7——绝对值内的线性函数
求 \( f(x) = \sqrt{|3x - 8| - 5} \) 的定义域。
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\[ |3x - 8| \ge 5 \]
情况1： \(3x - 8 \ge 5 \implies x \ge \tfrac{13}{3}\)
情况2： \(3x - 8 \le -5 \implies x \le 1\)
答案： \( (-\infty, 1] \cup \left[\tfrac{13}{3}, \infty\right) \)
问题8——含二次分母的有理函数
求 \( f(x) = \dfrac{3x - 6}{x^2 + 2x - 8} \) 的定义域。
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\[ x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) \neq 0 \]
所以 \(x \neq -4\) 且 \(x \neq 2\)。
答案： \( (-\infty, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, \infty) \)
问题9——分母根式下的二次式
求 \( h(x) = \dfrac{3x - 6}{\sqrt{x^2 + 2x - 8}} \) 的定义域。
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\[ x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) > 0 \]
开口向上的抛物线 → 在两根之外为正。
答案： \( (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \)
问题10——绝对值函数
求 \( g(x) = |2x - 4| \) 的定义域。
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绝对值对所有实数有定义。
答案： \( (-\infty, \infty) \)
问题11——绝对值的自然对数
求 \( h(x) = \ln(|2x - 9|) \) 的定义域。
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\[ |2x - 9| > 0 \implies 2x - 9 \neq 0 \implies x \neq \tfrac{9}{2} \]
答案： \( \left(-\infty, \tfrac{9}{2}\right) \cup \left(\tfrac{9}{2}, \infty\right) \)
问题12——无实根的有理函数
求 \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 6} \) 的定义域。
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对所有实数 \(x\)，\(x^2 + 6 \ge 6 > 0\)，所以分母永不为零。
答案： \( (-\infty, \infty) \)
问题13——负判别式的二次式
求 \( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 6}} \) 的定义域。
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\[ \Delta = 2^2 - 4(1)(6) = -20 < 0 \]
首项系数为正且无实根 → 二次式始终为正。
答案： \( (-\infty, \infty) \)
问题14——嵌套绝对值与根式
求 \( h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{|-x^2 - 9|}} \) 的定义域。
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\[ |-x^2 - 9| = |x^2 + 9| = x^2 + 9 \ge 9 > 0 \]
被开方数始终为正，所以分母永不为零。
答案： \( (-\infty, \infty) \)
问题15——由有序对求定义域
求关系 \( g = \{(3,2), (5,9), (6,9), (11,0)\} \) 的定义域。
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定义域是第一个坐标的集合。
答案： \( \{3, 5, 6, 11\} \)
问题16——带平移的分母根式
求 \( g(x) = \dfrac{1}{2 - \sqrt{x + 2}} \) 的定义域。
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- 被开方数：\(x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2\)
- 分母：\(2 - \sqrt{x + 2} \neq 0 \implies \sqrt{x+2} \neq 2 \implies x \neq 2\)
答案： \( [-2, 2) \cup (2, \infty) \)
问题17——对数的指数
求 \( f(x) = e^{\ln(x)} \) 的定义域。
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内层 \(\ln(x)\) 要求 \(x > 0\)。外层 \(e^u\) 对所有 \(u\) 有定义。
答案： \( (0, \infty) \)
问题18——分母中的对数
求 \( f(x) = \dfrac{1}{\log(2x - 3)} \) 的定义域。
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- 对数参数为正：\(2x - 3 > 0 \implies x > \tfrac{3}{2}\)
- 分母非零：\(\log(2x - 3) \neq 0 \implies 2x - 3 \neq 1 \implies x \neq 2\)
答案： \( \left(\tfrac{3}{2}, 2\right) \cup (2, \infty) \)
问题19——线性函数的自然对数
求 \( g(x) = \ln(2x - 8) \) 的定义域。
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\[ 2x - 8 > 0 \implies x > 4 \]
答案： \( (4, \infty) \)
问题20——可因式分解二次式的对数
求 \( g(x) = \log(x^2 + 3x - 10) \) 的定义域。
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\[ x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) > 0 \]
开口向上的抛物线 → 在两根之外为正。
答案： \( (-\infty, -5) \cup (2, \infty) \)
常见问题
函数的定义域是什么？
定义域是所有使函数产生实数输出的实数输入值 \(x\) 的集合。
如何求有理函数的定义域？
令分母等于零，并从实数中排除这些值。定义域是除分母零点外的所有实数。
平方根函数的定义域是什么？
要求被开方数非负：解 \(\text{被开方数} \ge 0\)。若根式在分母中，则用 \(> 0\) 以避免除以零。
对数函数的定义域是什么？
要求对数的参数严格为正。另外，若对数出现在分母中，排除对数等于零的值。
如何用区间表示法写定义域？
用圆括号 \( (a, b) \) 表示排除端点，方括号 \( [a, b] \) 表示包含端点，用 \(\cup\) 连接不同区间。