问题1——用 x − 1 除二次式
用综合除法求 \( 2x^2 + x \) 除以 \( x - 1 \) 的商 \(Q\) 和余数 \(R\)。
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根 \(c = 1\)；系数 \(2, 1, 0\)（包括常数项的占位符）：
\[ \begin{array}{c|rrr} 1 & 2 & 1 & 0 \\ & & 2 & 3 \\ \hline & 2 & 3 & \mathbf{3} \end{array} \]答案： \( Q = 2x + 3,\ R = 3 \)
多项式的综合除法——练习题
以下是10道关于多项式综合除法的练习题。 每道题要求你求商 \(Q\) 和余数 \(R\)，或应用 余数定理。 问题包括实数、分数、小数和复数除数。 解答中提供完整的综合除法表格——非常适合代数和微积分预备学生。
练习题
问题2——用 x + 2 除三次式
用综合除法求 \( 4x^3 + x^2 - 2x + 3 \) 除以 \( x + 2 \) 的 \(Q\) 和 \(R\)。
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根 \(c = -2\)；系数 \(4, 1, -2, 3\)：
\[ \begin{array}{c|rrrr} -2 & 4 & 1 & -2 & 3 \\ & & -8 & 14 & -24 \\ \hline & 4 & -7 & 12 & \mathbf{-21} \end{array} \]答案： \( Q = 4x^2 - 7x + 12,\ R = -21 \)
问题3——用 x − 2 除五次多项式
用综合除法求 \( 7x^5 - 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 3x + 5 \) 除以 \( x - 2 \) 的 \(Q\) 和 \(R\)。
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根 \(c = 2\)；系数 \(7, -2, -5, 1, -3, 5\)：
\[ \begin{array}{c|rrrrrr} 2 & 7 & -2 & -5 & 1 & -3 & 5 \\ & & 14 & 24 & 38 & 78 & 150 \\ \hline & 7 & 12 & 19 & 39 & 75 & \mathbf{155} \end{array} \]答案： \( Q = 7x^4 + 12x^3 + 19x^2 + 39x + 75,\ R = 155 \)
问题4——分数系数和根
用综合除法求 \( \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3} \) 除以 \( x - \frac{1}{2} \) 的 \(Q\) 和 \(R\)。
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根 \(c = \tfrac{1}{2}\)：
\[ \begin{array}{c|rrrr} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{3} \\ & & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{24} & -\tfrac{37}{48} \\ \hline & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{12} & -\tfrac{37}{24} & \mathbf{-\tfrac{7}{16}} \end{array} \]注：旧答案将中间系数列为 \(-\tfrac{1}{2}\)；正确系数为 \(-\tfrac{1}{12}\)。
答案： \( Q = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x - \frac{37}{24},\ R = -\frac{7}{16} \)
问题5——小数系数
用综合除法求 \( 0.3x^3 - 0.2x^2 - 0.1x + 0.3 \) 除以 \( x - 0.2 \) 的 \(Q\) 和 \(R\)。
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根 \(c = 0.2\)：
\[ \begin{array}{c|rrrr} 0.2 & 0.3 & -0.2 & -0.1 & 0.3 \\ & & 0.06 & -0.028 & -0.0256 \\ \hline & 0.3 & -0.14 & -0.128 & \mathbf{0.2744} \end{array} \]答案： \( Q = 0.3x^2 - 0.14x - 0.128,\ R = 0.2744 \)
问题6——余数定理求 f(−2)
用综合除法和余数定理求 \( f(-2) \)，已知 \( f(x) = 5x^4 - 4x^3 - x^2 + 5 \)。
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根 \(-2\)；系数 \(5, -4, -1, 0, 5\)：
\[ \begin{array}{c|rrrrr} -2 & 5 & -4 & -1 & 0 & 5 \\ & & -10 & 28 & -54 & 108 \\ \hline & 5 & -14 & 27 & -54 & \mathbf{113} \end{array} \]答案： \( f(-2) = 113 \)
问题7——余数定理求 f(1/2)
用综合除法和余数定理求 \( f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) \)，已知 \( f(x) = -3x^5 + x^3 - 2x^2 + x - 3 \)。
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根 \(\tfrac{1}{2}\)；系数 \(-3, 0, 1, -2, 1, -3\)：
\[ \begin{array}{c|rrrrrr} \tfrac{1}{2} & -3 & 0 & 1 & -2 & 1 & -3 \\ & & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{8} & -\tfrac{15}{16} & \tfrac{1}{32} \\ \hline & -3 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{15}{8} & \tfrac{1}{16} & \mathbf{-\tfrac{95}{32}} \end{array} \]注：旧答案遗漏了负号；正确余数为 \(-\tfrac{95}{32}\)。
答案： \( f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{95}{32} \)
问题8——余数定理求 f(0.2)
用综合除法和余数定理求 \( f(0.2) \)，已知 \( f(x) = 0.1x^3 - 0.6x^2 - 0.6 \)。
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根 \(0.2\)；系数 \(0.1, -0.6, 0, -0.6\)：
\[ \begin{array}{c|rrrr} 0.2 & 0.1 & -0.6 & 0 & -0.6 \\ & & 0.02 & -0.116 & -0.0232 \\ \hline & 0.1 & -0.58 & -0.116 & \mathbf{-0.6232} \end{array} \]答案： \( f(0.2) = -0.6232 \)
问题9——复数除数 x − i
用综合除法求 \( x^2 + 2x + 3 \) 除以 \( x - i \) 的 \(Q\) 和 \(R\)，其中 \( i = \sqrt{-1} \)。
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根 \(c = i\)：
\[ \begin{array}{c|rrr} i & 1 & 2 & 3 \\ & & i & -1+2i \\ \hline & 1 & 2+i & \mathbf{2+2i} \end{array} \]（因为 \(i \cdot (2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i\)。）
答案： \( Q = x + (2 + i),\ R = 2 + 2i \)
问题10——复数除数 x + i
用综合除法求 \( x^5 + x^4 + x^3 + 2x - 5 \) 除以 \( x + i \) 的 \(Q\) 和 \(R\)。
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根 \(c = -i\)；系数 \(1, 1, 1, 0, 2, -5\)（为缺失的 \(x^2\) 项包含 \(0\)）：
\[ \begin{array}{c|rrrrrr} -i & 1 & 1 & 1 & 0 & 2 & -5 \\ & & -i & -1-i & -1 & i & 1-2i \\ \hline & 1 & 1-i & -i & -1 & 2+i & \mathbf{-4-2i} \end{array} \]检验每个乘积：
- \(1 \cdot (-i) = -i\)
- \((1 - i)(-i) = -i + i^2 = -1 - i\)
- \((-i)(-i) = i^2 = -1\)
- \((-1)(-i) = i\)
- \((2+i)(-i) = -2i - i^2 = 1 - 2i\)
答案： \( Q = x^4 + (1 - i)x^3 - i x^2 - x + (2 + i),\ R = -4 - 2i \)
常见问题
综合除法用于什么？
综合除法是将多项式除以 \(x - c\) 形式的线性除数的快速方法。它也与余数定理一起用于快速计算 \(f(c)\)。
什么时候不能使用综合除法？
综合除法仅在除数为线性 \(x - c\) 时有效。对于像 \(x^2 + 1\) 或首项系数不为1的 \(2x - 3\) 这样的除数，应使用多项式长除法（或仔细调整系数）。
底行最后一个数字代表什么？
最后一项是余数 \(R\)。其他项是商多项式的系数，其次数比被除数少一。
余数定理与综合除法有什么关系？
余数定理指出 \(f(c)\) 等于 \(f(x)\) 除以 \(x - c\) 时的余数。综合除法直接给出该余数。
综合除法能处理复根吗？
能。只需使用复数 \(c = a + bi\) 作为根。运算方式相同；只需记住 \(i^2 = -1\)。