分配律：代数式的展开与因式分解 - 六年级

六年级关于如何在代数中使用分配律来展开和因式分解代数式的示例与问题。下方提供详细的解答和解释。

使用分配律展开代数式

对于实数 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)，分配律定义为：

a(b + c) = ab + ac

让我们用两种不同的方法来计算数字表达式 \(2(3+4)\)。

方法一：使用运算顺序

先计算括号内的部分：

$$2(3+4) = 2(7) = 14$$

方法二：使用分配律

将乘法分配到加法上：

$$2(3+4) = (2)(3) + (2)(4) = 6 + 8 = 14$$

这两种方法得到的结果相同。然而，当涉及变量时，你不能简单地计算括号内部。此时分配律就变得至关重要。

例如：

$$2(x+6) = (2)(x) + (2)(6) = 2x + 12$$

由于 \(x\) 是一个变量，你无法直接简化 \(x+6\)；必须使用分配律来展开表达式。

使用分配律对代数式进行因式分解

分配律也可以反过来应用，用于对表达式进行因式分解。你可以寻找所有项中的公因式，并把它提到括号外面。

ab + ac = a(b + c)

示例：因式分解 \(3x+6\)

注意，\(3x\) 和 \(6\) 都包含公因式 \(3\)：

$$3x+6 = 3(x) + 3(2)$$

逆向应用分配律得出：

$$3(x+2)$$

练习题

问题 1：展开下列各表达式

  1. \(2(x+2)\)
  2. \(3(a+4)\)
  3. \(4(3+b)\)
  4. \(5(3+n)\)
  5. \(2(a+b)\)
  6. \(2(x+y+4)\)
  7. \((7+b)4\)
查看问题 1 的解答

将括号外的项乘以括号内的每一项：

  1. \(2(x+2) = 2(x) + 2(2) = 2x + 4\)
  2. \(3(a+4) = 3(a) + 3(4) = 3a + 12\)
  3. \(4(3+b) = 4(3) + 4(b) = 12 + 4b\)
  4. \(5(3+n) = 5(3) + 5(n) = 15 + 5n\)
  5. \(2(a+b) = 2(a) + 2(b) = 2a + 2b\)
  6. \(2(x+y+4) = 2(x) + 2(y) + 2(4) = 2x + 2y + 8\)
  7. \((7+b)4 = 4(7) + 4(b) = 28 + 4b\)

问题 2：展开并化简

  1. \(3(x+1)+3\)
  2. \(5(1+n)+6\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3)\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b)\)
查看问题 2 的解答

先分配，然后分组并合并同类项：

  1. \(3(x+1)+3 = 3x + 3 + 3 = 3x + 6\)
  2. \(5(1+n)+6 = 5 + 5n + 6 = 5n + 11\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3) = (5a + 10) + (2a + 6) = 7a + 16\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4 = (2 + 2b) + (6b + 12) + 4 = 8b + 18\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b) = 2a + 2b + 3a + 3b = 5a + 5b\) （注：你也可以将 \((a+b)\) 视为一个整体：\(2(a+b) + 3(a+b) = 5(a+b) = 5a + 5b\)）

问题 3：因式分解下列表达式

  1. \(2x+4\)
  2. \(3x+3\)
  3. \(4a+12\)
  4. \(21+7b\)
  5. \(15+5x\)
  6. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\)
查看问题 3 的解答

找出每项中的最大公因式，然后将其提到括号外面：

  1. \(2x+4 = 2(x) + 2(2) = 2(x + 2)\)
  2. \(3x+3 = 3(x) + 3(1) = 3(x + 1)\)
  3. \(4a+12 = 4(a) + 4(3) = 4(a + 3)\)
  4. \(21+7b = 7(3) + 7(b) = 7(3 + b)\)
  5. \(15+5x = 5(3) + 5(x) = 5(3 + x)\)
  6. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}(x) + \dfrac{1}{2}(1) = \dfrac{1}{2}(x + 1)\)

更多参考与链接