分数与带分数：问题与分步解答 - 六年级

大正方形由 16 个相等的标小正方形组成。

红色：有 4 个红色正方形。分数为： $$\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$$

蓝色：有 1 个蓝色正方形。分数为： $$\dfrac{1}{16}$$

橙色：有一个正方形的一半是橙色的。分数为： $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$$

绿色：有一块半绿色正方形。分数为： $$\dfrac{1}{16} + \left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16}\right) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{2}{32} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{32}$$

黑色：有 3 个黑色正方形。分数为： $$\dfrac{3}{16}$$

黄色：有 3 个黄色正方形。分数为： $$\dfrac{3}{16}$$

正确答案：D

有 两个整图形 以及 一个图形的 \(\dfrac{3}{4}\) 被涂成了阴影。

因此，阴影部分为： $$2 + \dfrac{3}{4} = 2 \dfrac{3}{4}$$

正确答案：C

请注意，\(1 \dfrac{1}{5}\) 大于 1 且小于 2。

数轴上的每个小分格代表： $$\dfrac{1}{10}$$

因此，点 R 代表： $$1 + \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{2}{10}$$

约分该分数： $$1 \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{1}{5}$$

因此，点 R 代表 \(1 \dfrac{1}{5}\)。

正确答案：B

要相加带分数，分别将整数部分和小数/分数部分相加：

$$3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = (3 + 5) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$$

$$= 8 + \dfrac{2}{2} = 8 + 1 = 9$$

正确答案：C

要相加分数，首先将它们写成具有相同分母的形式：

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14}$$

现在相加分子：

$$\dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{8}{14}$$

最后，将分子和分母同除以 2 来简化分数：

$$\dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$$

正确答案：A

要相减分数，首先将它们写成具有相同分母的形式：

$$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12}$$

现在相减分子：

$$\dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}$$

最后，将分子和分母同除以 3 来简化分数：

$$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$$

正确答案：B

二分之一写作：$$\dfrac{1}{2}$$

两个四分之一写作：$$\dfrac{2}{4}$$

将分子和分母同除以公因数以约简分数： $$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

因此，二分之一和两个四分之一相同。

正确答案：B

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$（分子和分母同除以 2）

$$\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$$（分子和分母同乘以 2）

$$\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$$（分子和分母同乘以 3）

然而，\(\dfrac{2}{3}\) 和 \(\dfrac{8}{9}\) 不能互相化简得到对方。它们不等价。

正确答案：D

要相加带分数，先合并整数部分，然后相加分数部分：

$$5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = (5 + 5) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)$$

为分数部分寻找公分母：

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6}$$

现在代回：

$$10 + \dfrac{7}{6} = 10 + \left(\dfrac{6}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + 1 + \dfrac{1}{6} = 11 \dfrac{1}{6}$$

正确答案：C

分母相同时更容易比较分数。我们选择 18 作为公分母并重写每个分数：

$$\dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}, \quad \dfrac{17}{18} = \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}, \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18}$$

现在，将分子从小到大排序：

$$\dfrac{12}{18} \lt \dfrac{16}{18} \lt \dfrac{17}{18} \lt \dfrac{21}{18}$$

因此，正确的原顺序是： $$\dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{8}{9}, \quad \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{7}{6}$$

正确答案：B

为了比较这些分数，我们将它们的公分母写为 110。然后看看哪一个最接近 \(\dfrac{110}{110} = 1\)。

$$\dfrac{10}{11} = \dfrac{100}{110}, \quad \dfrac{11}{10} = \dfrac{121}{110}, \quad \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{110}, \quad -\dfrac{9}{10} = -\dfrac{99}{110}$$

现在，由于它们具有相同的分母，我们寻找分子最接近 110 的：

• \(100\) 距离 110 有 10。
• \(121\) 距离 110 有 11。
• \(90\) 距离 110 有 20。
• \(-99\) 远低于 110。

分子最接近 110 的分数是： $$\dfrac{10}{11}$$

正确答案：A

要除以分数，将第一个分数乘以第二个分数的倒数：

$$\dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2}$$

现在相乘分子和分母：

$$\dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{4}$$

将假分数转换为带分数：

$$\dfrac{25}{4} = \dfrac{24}{4} + \dfrac{1}{4} = 6 \dfrac{1}{4}$$

正确答案：D

用整数除以分数时，用该整数乘以该分数的倒数：

$$5 \div \dfrac{1}{5} = 5 \times \dfrac{5}{1}$$

现在执行乘法：

$$5 \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{25}{1} = 25$$

正确答案：B

相乘分数时，将分子相乘，分母相乘：

$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8}$$

乘法前先约分（将 2 和 8 同除以 2）：

$$\dfrac{1 \times 7}{5 \times 4} = \dfrac{7}{20}$$

正确答案：C

要将带分数转换为假分数，用整数乘以分母，然后加上分子：

$$7 \dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$= \dfrac{56}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{56 + 7}{8} = \dfrac{63}{8}$$

正确答案：D

要将假分数转换为带分数，用分子除以分母：

$$\dfrac{31}{8} = \dfrac{24 + 7}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$\dfrac{24}{8} = 3, \quad \text{因此得到： } 3 \dfrac{7}{8}$$

正确答案：A

用整数乘以分数时，首先把整数写成地分母为 1 的分数：

$$3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{1}{4}$$

相乘分子和分母：

$$\dfrac{3 \times 1}{1 \times 4} = \dfrac{3}{4}$$

正确答案：B

首先，将带分数化为假分数：

$$3 \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}, \qquad 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}$$

现在，用第一个分数乘以第二个分数的倒数来进行除法：

$$\dfrac{13}{4} \div \dfrac{16}{3} = \dfrac{13}{4} \times \dfrac{3}{16}$$

相乘分子和分母：

$$\dfrac{13 \times 3}{4 \times 16} = \dfrac{39}{64}$$

正确答案：D

首先，将带分数化为假分数：

$$4 \dfrac{2}{7} = \dfrac{30}{7}, \qquad 5 \dfrac{3}{5} = \dfrac{28}{5}$$

现在相乘分数：

$$\dfrac{30}{7} \times \dfrac{28}{5} = \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5}$$

相乘前先约分（将 30 和 5 同除以 5；将 28 和 7 同除以 7）：

$$\dfrac{6 \times 4}{1 \times 1} = 24$$

正确答案：A

我们需要在方程中求解 \(F\)： $$F + 2 \dfrac{5}{7} = 4$$

两边同时减去 \(2 \dfrac{5}{7}\)：

$$F = 4 - 2 \dfrac{5}{7}$$

从 4 中借 1 化为分数：

$$F = 3 \dfrac{7}{7} - 2 \dfrac{5}{7} = (3 - 2) + \left(\dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{7}\right) = 1 \dfrac{2}{7}$$

正确答案：C

我们首先将每天的跑步时间转换为分钟：

• 周一：\(\dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{180}{4} = 45\) 分钟
• 周二：\(30\) 分钟
• 周三：半小时 = \(\dfrac{1}{2} \times 60 = 30\) 分钟
• 周四：\(1 \dfrac{1}{4}\) 小时 = \(60 + \left(\dfrac{1}{4} \times 60\right) = 60 + 15 = 75\) 分钟
• 周五：\(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) 分钟

现在将总分钟数加起来：

$$45 + 30 + 30 + 75 + 40 = 220 \text{ 分钟}$$

转换回小时和分钟（因为 180 分钟 = 3 小时）：

$$220 = 180 + 40 = 3 \text{ 小时 } 40 \text{ 分钟}$$

正确答案：D

当带分数排序时，我们首先比较整数部分。整数部分最小的数整体最小。

• \(3 \dfrac{1}{5}\) 的整数部分是 3。
• \(3 \dfrac{4}{5}\) 的整数部分也是 3，但 \(\dfrac{4}{5} > \dfrac{1}{5}\)。
• \(4 \dfrac{5}{6}\) 的整数部分是 4。
• \(5 \dfrac{3}{4}\) 的整数部分是 5。

因此，从小到大排列的正确顺序是： $$3 \dfrac{1}{5}, \quad 3 \dfrac{4}{5}, \quad 4 \dfrac{5}{6}, \quad 5 \dfrac{3}{4}$$

正确答案：B

由于所有带分数的整数部分都相同（7），我们只需要比较它们的分数部分。为了便于比较，我们把所有分数写成最小公分母，即 660。

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{440}{660}, \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{396}{660}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{495}{660}, \quad \dfrac{6}{11} = \dfrac{360}{660}$$

现在，比较分子：

• \(\dfrac{360}{660}\) 最小（来自 \(7 \dfrac{6}{11}\)）
• \(\dfrac{396}{660}\)（来自 \(7 \dfrac{3}{5}\)）
• \(\dfrac{440}{660}\)（来自 \(7 \dfrac{2}{3}\)）
• \(\dfrac{495}{660}\) 最大（来自 \(7 \dfrac{3}{4}\)）

因此，从小到大的顺序是： $$7 \dfrac{6}{11}, \quad 7 \dfrac{3}{5}, \quad 7 \dfrac{2}{3}, \quad 7 \dfrac{3}{4}$$

正确答案：C

分数表示整体的一部分。既然 1 小时 = 60 分钟，我们将 50 分钟与 60 分钟进行比较：

$$\text{占一小时的分数} = \dfrac{50}{60}$$

现在将分子和分母同除以 10 以约简分数：

$$\dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}$$

正确答案：C

设未知数为 \(n\)。我们可以将该问题转化为方程：

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \times n$$

简化右侧：

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{8}$$

现在两边同乘以 8 来求解 \(n\)：

$$n = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$$

正确答案：A