问题及其详细解析
大正方形中红色部分占几分之几？
大正方形中蓝色部分占几分之几？
大正方形中橙色部分占几分之几？
大正方形中绿色部分占几分之几？
大正方形中黑色部分占几分之几？
大正方形中黄色部分占几分之几？
解析
大正方形由16个相等的小正方形组成。其中4个为红色。因此，大正方形中红色部分所占分数为：
\[ \dfrac{4}{16} \]
将分子分母同时除以4进行约分：
\[ \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \]
有1个蓝色正方形。大正方形中蓝色部分所占分数为：
\[ \dfrac{1}{16} \]
有半个正方形为橙色。大正方形中橙色部分所占分数为：
\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32} \]
有一个半绿色正方形。大正方形中绿色部分所占分数为：
\[ \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{2}{32} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{32} \]
有3个黑色正方形。大正方形中黑色部分所占分数为：
\[ \dfrac{3}{16} \]
有3个黄色正方形。大正方形中黄色部分所占分数为：
\[ \dfrac{3}{16} \]
阴影部分表示的分数是多少？
解析
共有两个完整物体和一个物体的\(\dfrac{3}{4}\)。因此，阴影部分表示为：
\[ 2 + \dfrac{3}{4} = 2 \dfrac{3}{4} \]
数轴上哪一点表示 \(1 \frac{1}{5}\)？
解析
注意 \(1 \dfrac{1}{5}\) 大于1且小于2。数轴上每个小格表示：
\[ \dfrac{1}{10} \]
因此，点R表示：
\[ 1 + \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{2}{10} \]
约分：
\[ 1 \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{1}{5} \]
所以，点R表示 \(1 \dfrac{1}{5}\)。
\[ 3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = \]解析
将带分数的整数部分和分数部分分别相加：
\[ 3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = (3 + 5) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) \]
\[ = 8 + \dfrac{2}{2} = 8 + 1 = 9 \]
\[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \]解析
先通分再相加：
\[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} \]
分子相加：
\[ \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{8}{14} \]
约分（分子分母同除以2）：
\[ \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7} \]
\[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \]解析
先通分再相减：
\[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} \]
分子相减：
\[ \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} \]
约分（分子分母同除以3）：
\[ \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \]
二分之一等于下列哪一项？- 四分之一
- 四分之二
- 四分之三
- 四分之四
解析
二分之一写作 \[ \dfrac{1}{2} \]
四分之一写作 \[ \dfrac{1}{4} \]
四分之二写作 \[ \dfrac{2}{4} \]
约分（分子分母同除以2） \[ \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \]
因此，二分之一等于四分之二。
问题： 下列哪两个分数不等价？
- \(\dfrac{1}{2}\) 和 \(\dfrac{2}{4}\)
- \(\dfrac{4}{3}\) 和 \(\dfrac{8}{6}\)
- \(\dfrac{1}{5}\) 和 \(\dfrac{3}{15}\)
- \(\dfrac{2}{3}\) 和 \(\dfrac{8}{9}\)
解析
\(\dfrac{2}{4}\) 与 \(\dfrac{1}{2}\) 等价，因为：
\[ \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \quad \text{（将\(\dfrac{2}{4}\)的分子分母同除以2）} \]
\(\dfrac{8}{6}\) 与 \(\dfrac{4}{3}\) 等价，因为：
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} \quad \text{（将\(\dfrac{4}{3}\)的分子分母同乘以2）} \]
\(\dfrac{1}{5}\) 与 \(\dfrac{3}{15}\) 等价，因为：
\[ \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15} \quad \text{（将\(\dfrac{1}{5}\)的分子分母同乘以3）} \]
然而，\(\dfrac{2}{3}\) 和 \(\dfrac{8}{9}\) 不等价。
\[ 5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = \]解析
整数部分相加，分数部分通分后相加：
\[ 5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = (5 + 5) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right) \]
分数部分通分（公分母为6）：
\[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6} \]
代入：
\[ 10 + \dfrac{7}{6} = 10 + \left(\dfrac{6}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + 1 + \dfrac{1}{6} = 11 \dfrac{1}{6} \]
问题： 将下列分数按从小到大的顺序排列： \(\dfrac{8}{9}, \dfrac{17}{18}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{6}\)。
解析
通分后更易比较。取公分母18：
\[ \dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}, \quad \dfrac{17}{18} = \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}, \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18} \]
从小到大排列：
\[ \dfrac{12}{18} \; \lt \; \dfrac{16}{18} \; \lt \; \dfrac{17}{18} \; \lt \; \dfrac{21}{18} \]
因此，正确顺序为：
\[ \dfrac{2}{3},\; \dfrac{8}{9},\; \dfrac{17}{18},\; \dfrac{7}{6} \]
问题： 下列哪个分数最接近1？
- \(\dfrac{10}{11}\)
- \(\dfrac{11}{10}\)
- \(\dfrac{9}{11}\)
- \(-\dfrac{9}{10}\)
解析
取公分母110进行比较：
\[ \dfrac{10}{11} = \dfrac{100}{110}, \quad \dfrac{11}{10} = \dfrac{121}{110}, \quad \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{110}, \quad -\dfrac{9}{10} = -\dfrac{99}{110} \]
寻找分子最接近110的分数：
- 100 距离110差10。
- 121 距离110差11。
- 90 距离110差20。
- -99 远小于110。
分子最接近110的分数是：
\[ \dfrac{10}{11} \]
因此，\(\dfrac{10}{11}\) 最接近1。
\[ \dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \]解析
除以一个分数等于乘以它的倒数：
\[ \dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} \]
分子分母分别相乘：
\[ \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{4} \]
化为带分数：
\[ \dfrac{25}{4} = \dfrac{24}{4} + \dfrac{1}{4} = 6 \dfrac{1}{4} \]
因此，\(\dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \; 6 \dfrac{1}{4}\)。
\[ 5 \div \dfrac{1}{5} = \]解析
整数除以分数等于乘以该分数的倒数：
\[ 5 \div \dfrac{1}{5} = 5 \times \dfrac{5}{1} \]
计算：
\[ 5 \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{25}{1} = 25 \]
因此，\(5 \div \dfrac{1}{5} = \; 25\)。
\[ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \]解析
分数相乘，分子乘分子，分母乘分母：
\[ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8} \]
先约分再计算：
\[ \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8} = \dfrac{1 \times 7}{5 \times 4} = \dfrac{7}{20} \]
因此，\(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{20}\)。
问题
将带分数 \( 7 \dfrac{7}{8} \) 化为假分数。
解析
整数部分乘以分母，再加上分子：
\[ 7 \dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8} \]
\[ = \dfrac{56}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{56 + 7}{8} = \dfrac{63}{8} \]
因此，带分数 \(7 \dfrac{7}{8}\) 化为假分数是 \(\dfrac{63}{8}\)。
问题： 将假分数 \(\dfrac{31}{8}\) 化为带分数。
解析
分子除以分母：
\[ \dfrac{31}{8} = \dfrac{24 + 7}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{7}{8} \]
\[ \dfrac{24}{8} = 3, \quad \text{所以得到： } 3 \dfrac{7}{8} \]
因此，假分数 \(\dfrac{31}{8}\) 化为带分数是 \(3 \dfrac{7}{8}\)。
\[ 3 \times \dfrac{1}{4} = \]解析
将整数视为分母为1的分数：
\[ 3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{1}{4} \]
分子分母分别相乘：
\[ \dfrac{3 \times 1}{1 \times 4} = \dfrac{3}{4} \]
因此，\(3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)。
\[ 3 \dfrac{1}{4} \div 5 \dfrac{1}{3} = \]解析
先将带分数化为假分数：
\[ 3 \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}, \qquad 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3} \]
除以分数等于乘以倒数：
\[ \dfrac{13}{4} \div \dfrac{16}{3} = \dfrac{13}{4} \times \dfrac{3}{16} \]
分子分母分别相乘：
\[ \dfrac{13 \times 3}{4 \times 16} = \dfrac{39}{64} \]
因此，\(3 \dfrac{1}{4} \div 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{39}{64}\)。
\[ 4 \dfrac{2}{7} \times 5 \dfrac{3}{5} = \]解析
先将带分数化为假分数：
\[ 4 \dfrac{2}{7} = \dfrac{30}{7}, \qquad 5 \dfrac{3}{5} = \dfrac{28}{5} \]
分数相乘：
\[ \dfrac{30}{7} \times \dfrac{28}{5} = \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5} \]
先约分再计算：
\[ \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5} = \dfrac{30 \times 4}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 \]
因此，\(4 \dfrac{2}{7} \times 5 \dfrac{3}{5} = 24\)。
若使 \(F + 2 \dfrac{5}{7} = 4\) 成立，\(F\) 必须等于多少？
解析
解方程：
\[ F + 2 \dfrac{5}{7} = 4 \]
两边同时减去 \(2 \dfrac{5}{7}\)：
\[ F = 4 - 2 \dfrac{5}{7} \]
计算：
\[ F = (4 - 2) - \dfrac{5}{7} = 2 - \dfrac{5}{7} \]
通分计算：
\[ 2 - \dfrac{5}{7} = \dfrac{14}{7} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{9}{7} \]
化为带分数：
\[ \dfrac{9}{7} = 1 \dfrac{2}{7} \]
因此，\(F = \; 1 \dfrac{2}{7}\)。
汤姆每周一跑 \(\dfrac{3}{4}\) 小时，周二跑30分钟，周三跑半小时，周四跑 \(1 \dfrac{1}{4}\) 小时，周五跑 \(\dfrac{2}{3}\) 小时。汤姆从周一到周五总共跑了多少小时？
解析
先将每天跑步时间统一为分钟：
周一： \[ \dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{180}{4} = 45 \text{ 分钟} \]
周二： \[ 30 \text{ 分钟} \]
周三： 半小时 \[ \dfrac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ 分钟} \]
周四： \[ 1 \dfrac{1}{4} \text{ 小时} = 60 + \dfrac{1}{4} \times 60 = 60 + 15 = 75 \text{ 分钟} \]
周五： \[ \dfrac{2}{3} \times 60 = 40 \text{ 分钟} \]
总分钟数：
\[ 45 + 30 + 30 + 75 + 40 = 220 \text{ 分钟} \]
化为小时和分钟：
\[ 220 = 180 + 40 = 3 \text{ 小时 } 40 \text{ 分钟} \]
因此，汤姆从周一到周五总共跑了 3小时40分钟。
按从小到大顺序排列： \[ 5 \dfrac{3}{4}, \; 3 \dfrac{4}{5}, \; 3 \dfrac{1}{5}, \; 4 \dfrac{5}{6} \]解析
先比较整数部分：
- \(3 \dfrac{1}{5}\) 整数部分为3 → 最小。
- \(3 \dfrac{4}{5}\) 整数部分也为3，但大于 \(3 \dfrac{1}{5}\)。
- \(4 \dfrac{5}{6}\) 整数部分为4 → 大于前两者。
- \(5 \dfrac{3}{4}\) 整数部分为5 → 最大。
因此，从小到大顺序为：
\[ 3 \dfrac{1}{5}, \; 3 \dfrac{4}{5}, \; 4 \dfrac{5}{6}, \; 5 \dfrac{3}{4} \]
按从小到大顺序排列： \(7 \dfrac{2}{3}, \; 7 \dfrac{3}{5}, \; 7 \dfrac{3}{4}, \; 7 \dfrac{6}{11}\)。
解析
整数部分相同，比较分数部分。取最小公分母660：
\[ \dfrac{2}{3} = \dfrac{440}{660}, \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{396}{660}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{495}{660}, \quad \dfrac{6}{11} = \dfrac{360}{660} \]
比较分子：
- \(\dfrac{360}{660}\) (来自 \( \dfrac{6}{11} \))
- \(\dfrac{396}{660}\) (来自 \( \dfrac{3}{5} \))
- \(\dfrac{440}{660}\) (来自 \( \dfrac{2}{3} \))
- \(\dfrac{495}{660}\) (来自 \( \dfrac{3}{4} \))
因此，从小到大顺序为：
\[ 7 \dfrac{6}{11}, \; 7 \dfrac{3}{5}, \; 7 \dfrac{2}{3}, \; 7 \dfrac{3}{4} \]
50分钟是1小时的几分之几？
解析
分数表示部分与整体的关系。1小时 = 60分钟。
\[ \text{占1小时的比例} = \dfrac{50}{60} \]
约分（分子分母同除以10）：
\[ \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6} \]
因此，50分钟是1小时的 \(\dfrac{5}{6}\)。
\(\dfrac{1}{3}\) 是 \(\dfrac{1}{8}\) 的多少？
解析
设所求数为 \(n\)。列方程：
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \times n \]
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{8} \]
两边同时乘以8：
\[ n = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \]
因此，所求数为：
\[ n = \dfrac{8}{3} \]