练习题与解答
问题 1
一个序列遵循以下规则：从 2 开始，每次乘以 3 并加 2。序列中的第 5 个数字是多少？
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按步骤遵循序列规则：
- 第 1 个数字：2
- 第 2 个数字：\(2 \times 3 + 2 = 8\)
- 第 3 个数字：\(8 \times 3 + 2 = 26\)
- 第 4 个数字：\(26 \times 3 + 2 = 80\)
- 第 5 个数字：\(80 \times 3 + 2 = 242\)
第 5 个数字是 242。
问题 2
从长为 12 厘米、宽为 8 厘米的矩形纸板的每个角上剪下一个边长为 2 厘米的正方形。剪掉四个正方形后，纸板的面积是多少？
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首先，计算纸板的原面积：
\[ \text{面积} = \text{长} \times \text{宽} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]
接下来，求从一个角剪下的正方形的面积：
\[ \text{面积} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]
由于有四个角，移除的总面积为：
\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]
从原面积中减去移除的面积以求出剩余面积：
\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]
问题 3
两个数字 \( N \) 和 16 的最小公倍数 (LCM) 为 48，最大公因数 (GCF) 为 8。求 \( N \) 的值。
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两个整数的乘积总是等于它们的最小公倍数和最大公因数的乘积。因此：
\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]
求解 \( N \)：
\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]
问题 4
求 24、40 和 60 的最大公因数 (GCF)。
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首先，写出每个数字的质因数分解：
- \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
- \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
- \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
找出具有最小指数的公共质因数。这三个数字中唯一的公共质因数是 2，所有三者共有的最小 2 的幂是 \(2^2\)。
\[ \text{GCF} = 2^2 = \mathbf{4} \]
问题 5
在一个学校里，有 240 名男生和 260 名女生。
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a) 女生与男生的比例：
\[ \dfrac{260}{240} \]
通过将分子和分母同除以 20 来简化分数：\( \dfrac{13}{12} \)。比例为 13:12。
b) 男生与总学生的比例：
总学生数 = \( 240 + 260 = 500 \)。
\[ \dfrac{240}{500} \]
通过将分子和分母同除以 20 来简化分数：\( \dfrac{12}{25} \)。比例为 12:25。
问题 6
如果蒂姆吃午餐花了 $50.50 并给了 20% 的小费，他总共花了多少钱？
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小费是午餐费用的 20%。计算小费：
\[ \text{小费} = 20\% \text{ of } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]
将小费加到原本的午餐费用中：
\[ \text{总计} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{\$60.60} \]
问题 7
如果 \( \dfrac{64}{k} = 4 \)，求 \( k \)。
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除法与乘法相关。方程可以重写为乘法：
\[ 64 = 4k \]
将此乘法重新写回除法以求解 \( k \)：
\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]
问题 8
如果 \( x + 2y = 10 \) 且 \( y = 3 \)，那么 \( x \) 是多少？
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将 \( y = 3 \) 代入方程：
\[ x + 2(3) = 10 \]
\[ x + 6 = 10 \]
两边减去 6 以隔离 \( x \)：
\[ x = \mathbf{4} \]
问题 9
一家电话公司收取 $0.50 的初始费用，然后每多一分钟收取 $0.11。写一个表达式，给出持续 \( N \) 分钟的通话费用 \( C \)。
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费用 \( C \) 由固定的初始费用 ($0.50) 和可变费率（$0.11 乘以分钟数 \( N \)）组成。
\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]
问题 10
一辆汽车每加仑汽油行驶 40 公里。这辆汽车行驶 180 公里需要多少加仑汽油？
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每 40 公里需要 1 加仑。用总距离除以每加仑的距离以求出 40 公里区段的数量：
\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]
这辆汽车需要 4.5 加仑汽油。
问题 11
一台机器每 8 分钟灌装 150 瓶水。这台机器灌装 675 瓶水需要多少分钟？
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首先，找出 675 中包含多少个 150 瓶的组：
\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ 组} \]
由于每组需要 8 分钟，将组数乘以 8：
\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ 分钟}} \]
问题 12
一辆汽车以每小时 65 英里的速度行驶。它在 5 小时内能行驶多远？
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使用距离公式：
\[ \text{距离} = \text{时间} \times \text{速度} \]
\[ \text{距离} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ 英里}} \]
问题 13
矩形 \( A \) 的长为 10 厘米，宽为 5 厘米，它与另一个长为 30 厘米的矩形 \( B \) 相似。求矩形 \( B \) 的面积。
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由于两个矩形相似，它们对应边的比例相等：
\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]
\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]
\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]
现在求矩形 \( B \) 的面积：
\[ \text{面积}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]
问题 14
某学校有 10 个班级，每个班级的学生人数相同。一天天气不好，许多学生缺勤。5 个班级满员的一半（即有一半人缺勤），3 个班级满员的 \( \frac{3}{4} \)（即有 \( \frac{1}{4} \) 缺勤），最后两个班级中有 \( \frac{1}{8} \) 的学生缺勤。共有 70 名学生缺勤。这所学校注册了多少名学生？
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设 \( x \) 为一个班级中注册的学生人数。我们需要将缺勤学生表示为 \( x \) 的分数：
- 5 个班级满员的一半（意味着 \( \frac{1}{2} \) 缺勤）：\( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
- 3 个班级为 \( \frac{3}{4} \) 满（意味着 \( \frac{1}{4} \) 缺勤）：\( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
- 2 个班级有 \( \frac{1}{8} \) 缺勤：\( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)
将缺勤总数设为 70：
\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]
找公共分母 (4)：
\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]
求解 \( x \)：
\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ 每班学生数} \]
因为有 10 个班级，注册学生总数为 \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ 名学生}} \)。
问题 15
一个大正方形由 4x4 网格排列的 16 个全等的单位正方形组成。隐藏在网格中的任意大小的正方形的总数是多少？
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有 4 种不同尺寸的正方形。我们系统地计数它们：
- 16 个 \( 1 \times 1 \) 尺寸的正方形。
- 9 个 \( 2 \times 2 \) 尺寸的正方形。
- 4 个 \( 3 \times 3 \) 尺寸的正方形。
- 1 个 \( 4 \times 4 \) 尺寸的正方形。
正方形总数 = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)
问题 16
约翰把他的一半邮票给吉姆。然后吉姆把他的一半邮票给卡拉。卡拉把给她的邮票的 \( \frac{1}{4} \) 给托马斯，并保留剩下的 12 张。约翰最初有多少张邮票？
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设 \( x \) 为约翰最初拥有的邮票数量。
吉姆收到：\( \dfrac{1}{2}x \)
卡拉收到：\( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)
卡拉送出了 \( \frac{1}{4} \)，这意味着她保留了她所收到邮票的 \( \frac{3}{4} \)：
\[ \text{卡拉保留} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]
我们被告知她保留了 12 张邮票。所以：
\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]
\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ 张邮票}} \]
问题 17
两个球 A 和 B 沿着圆形轨道旋转。球 A 在 120 秒内转了 4 整圈。球 B 在 60 秒内转了 3 整圈。如果它们现在从同一点开始旋转，它们需要多长时间才能再次在同一个起点相遇？
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首先，找到每个球转一整圈所需的时间。
球 A：\( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ 秒/圈} \)
球 B：\( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ 秒/圈} \)
它们将在旋转时间的最小公倍数 (LCM) 处在起点相遇。
\[ \text{LCM}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ 秒}} \]
问题 18
一条线段长 3 个单位。它被等分为 9 等份。该线段的 2 部分占一个单位的几分之几？
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如果一条 3 单位的线段被平分成 9 等份，则 1 部分的长度为：
\[ 1 \text{ 部分} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ 个单位} \]
因此，2 部分等于：
\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ 个单位}} \]
问题 19
一辆汽车以每小时 75 公里的速度行驶。这辆汽车在一分钟内行驶多少米？
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将公里转换为米，小时转换为分钟：
\[ 1 \text{ 公里} = 1000 \text{ 米} \]
\[ 1 \text{ 小时} = 60 \text{ 分钟} \]
现在，将单位换算应用于速度：
\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ 米}}{60 \text{ 分钟}} \]
\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ 米每分钟}} \]
问题 20
琳达将她积蓄的 \( \frac{3}{4} \) 花在了家具上。然后她把剩下积蓄的 \( \frac{1}{2} \) 花在了冰箱上。如果冰箱花了他 $150，她原本的积蓄是多少？
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设 \( x \) 为她的总积蓄。如果她花掉了积蓄的 \( \frac{3}{4} \)，她还剩 \( \frac{1}{4} \)。
她把剩余部分的一半花在冰箱上，花费了 $150：
\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]
\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]
两边同乘以 8：
\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{\$1200} \]
问题 21
正方形 A 的周长是正方形 B 的周长的 3 倍。正方形 A 的面积与正方形 B 的面积之比是多少？
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设 \( x \) 为正方形 A 的边长，\( y \) 为正方形 B 的边长。它们的周长分别为 \( 4x \) 和 \( 4y \)。
\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]
它们面积的比率为：
\[ \dfrac{\text{面积}_A}{\text{面积}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]
代入 \( x = 3y \)：
\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] （比率为 9:1）。
问题 22
玛丽想做一个开放式的长方形盒子。她从一块长 15 厘米、宽 10 厘米的纸板开始。然后她在四个角上剪下 4 个边长为 3 厘米的全等正方形，并沿虚线折叠制作盒子。盒子的体积是多少？
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盒子的厚度/高度将是剪下的正方形的大小（\( 3 \text{ cm} \)）。
新长度是原长度减去两侧剪下的两个正方形：
\[ \text{长} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]
新宽度是原宽度减去两侧剪下的两个正方形：
\[ \text{宽} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]
计算体积：
\[ V = \text{长} \times \text{宽} \times \text{高} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]
问题 23
从一个宽 10 厘米、长 20 厘米的矩形角上切下一个边长为 \( 2x \) 的小正方形。用 \( x \) 的表达式写出剩余形状的面积。
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求原矩形的总面积：
\[ A_{\text{矩形}} = \text{长} \times \text{宽} = 20 \times 10 = 200 \]
求被切下的小正方形的面积：
\[ A_{\text{正方形}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
剩余面积是矩形面积减去正方形面积：
\[ \text{剩余面积} = \mathbf{200 - 4x^2} \]
问题 24
如果一个圆的面积是 \( 81\pi \) 平方英尺，求它的周长。
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圆的面积由 \( \pi r^2 \) 给出：
\[ \pi r^2 = 81\pi \]
两边同除以 \( \pi \)：
\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ 英尺} \]
周长是 \( 2\pi r \)：
\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ 英尺}} \]
问题 25
卡拉 5 岁，吉姆比彼得小 13 岁。一年前，彼得的年龄是卡拉和吉姆年龄之和的两倍。求他们每个人的目前年龄。
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设彼得当前的年龄为 \( P \)。这使得吉姆当前的年龄为 \( P - 13 \)。
一年前，他们的年龄是：
- 彼得：\( P - 1 \)
- 卡拉：\( 5 - 1 = 4 \)
- 吉姆：\( (P - 13) - 1 = P - 14 \)
根据一年前的条件建立方程：
\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]
\[ P - 1 = 2(P - 10) \]
\[ P - 1 = 2P - 20 \]
两边减去 \( P \) 并加 20：
\[ P = \mathbf{19} \]
彼得 19 岁，吉姆 6 岁（\(19 - 13\)），卡拉 5 岁。
问题 26
丽莎早上跑了 2.4 公里，晚上跑了 1.75 公里。她想一天总共跑 6 公里。她还需要跑多少公里才能达到目标？
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将她已经跑过的距离相加：
\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ 公里} \]
从她的总目标中减去这个值：
\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ 公里}} \]
问题 27
一个食谱需要面粉和糖的比例为 3:2。如果你有 4 杯糖，你需要多少杯面粉？
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设面粉的量为 \( x \)。建立比例：
\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]
交叉相乘：
\[ 2x = 12 \]
\[ x = \mathbf{6 \text{ 杯}} \]
问题 28
三角形的两个角是 \( 47^\circ \) 和 \( 58^\circ \)。第三个角的度数是多少？
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三角形的内角和总是 \( 180^\circ \)。设 \( x \) 为第三个角。
\[ x + 47 + 58 = 180 \]
\[ x + 105 = 180 \]
\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]
问题 29
如果 \( 3x + 4 = 19 \)，那么 \( x \) 的值是多少？
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两边减去 4：
\[ 3x = 19 - 4 \]
\[ 3x = 15 \]
除以 3：
\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]
问题 30
早上 6 点的温度是 \( -4^\circ\text{C} \)。到中午时，温度上升了 \( 11^\circ\text{C} \)。然后到下午 6 点下降了 \( 6^\circ\text{C} \)。下午 6 点的温度是多少？
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从 \( -4^\circ\text{C} \) 开始并加上温度上升值：
\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]
减去温度下降值：
\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]
问题 31
阿米拉在 30% 折扣后以 $84 买了一件夹克。原价是多少？
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设原价为 \( x \)。30% 的折扣意味着她支付了原价的 70%：
\[ 100\% - 30\% = 70\% \]
\[ 0.70x = 84 \]
除以 0.70：
\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{\$120} \]
问题 32
哈里和凯特之间的距离是 2500 米。凯特和哈里开始相向而行，凯特的狗开始以每分钟 120 米的速度在哈里和凯特之间来回奔跑。哈里的步行速度为每分钟 40 米，而凯特的步行速度为每分钟 60 米。当哈里和凯特相遇时，狗跑了多少距离？
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因为他们是相向而行的，他们的组合速度是他们个人速度之和：
\[ \text{组合速度} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]
他们相遇所需的时间是距离除以组合速度：
\[ \text{时间} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ 分钟} \]
狗以每分钟 120 米的速度连续跑了这 25 分钟。狗行进的总距离为：
\[ \text{距离} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ 米}} \]