六年级数学问题及解答

序列：

第1个：2

第2个：\(2 \times 3 + 2 = 8\)

第3个：\(8 \times 3 + 2 = 26\)

第4个：\(26 \times 3 + 2 = 80\)

第5个：\(80 \times 3 + 2 = 242\)

第5个数是 \(242\)。

纸板的原始面积： \[ \text{面积} = \text{长} \times \text{宽} = 12 \times 8 = 96 \, \text{厘米}^2 \]

从一个角剪去的正方形面积： \[ \text{面积} = 2 \times 2 = 4 \, \text{厘米}^2 \]

从四个角剪去的总面积： \[ 4 \times 4 = 16 \, \text{厘米}^2 \]

剪去后剩余面积： \[ 96 - 16 = 80 \, \text{厘米}^2 \]

两个整数的乘积等于它们的最小公倍数和最大公约数的乘积。因此： \[ 16 \times N = 48 \times 8 \]

解 \(N\)： \[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 24 \]

首先写出每个数的质因数分解：

\[ 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \]

\[ 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \]

\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

现在，找出所有三个数共有的质因数的最小指数。所有三个数共有的唯一质因数是 2。

所有三个数共有的 2 的最小幂是 \(2^2\)。

\[ \text{最大公约数} = 2^2 = 4 \]

24、40 和 60 的最大公约数是 4。

a) 女生与男生的比率：

\[ \dfrac{260}{240} \]

约分： \[ = \dfrac{13}{12} \]

女生与男生的比率是 \(13:12\)。

b) 学生总数：

\[ 240 + 260 = 500 \]

男生与学生总数的比率：

\[ \dfrac{240}{500} \]

约分： \[ = \dfrac{12}{25} \]

男生与学生总数的比率是 \(12:25\)。

小费是他午餐费用的 20%。因此：

\[ \text{小费} = 20\% \text{ 的 } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]

总花费：

\[ 50.50 + 10.10 = 60.60 \]

Tim 总共花了 $60.60。

除法与乘法相互关联。

除法 \( \dfrac{M}{N} = P \) 可以写成乘法 \( M = P \times N \)，反之亦然。

因为：\[ \dfrac{64}{k} = 4 \]

上述除法可以写成如下乘法：

\[ 64 = 4k \]

将上述乘法改写为除法：

\[ \dfrac{64}{4} = k \]

执行除法：

\[ \dfrac{64}{4} = 16 \]

因此 \[ k = 16 \]

将 \( y = 3 \) 代入方程 \( x + 2y = 10 \)：

\[ x + 2(3) = 10 \]

简化：

\[ x + 6 = 10 \]

解 \(x\)，两边减去 6：

\[ x + 6 - 6 = 10 - 6 \]

合并同类项并简化：

\[ x = 4 \]

1 分钟通话的费用 \(C\)：

\[ C = 0.50 + 0.11 \]

2 分钟通话的费用 \(C\)：

\[ C = 0.50 + (0.11 + 0.11) = 0.50 + 2 \times 0.11 \]

3 分钟通话的费用 \(C\)：

\[ C = 0.50 + (0.11 + 0.11 + 0.11) = 0.50 + 3 \times 0.11 \]

我们观察到费用 \(C\) 由下式给出：

\[ C = 0.50 + (\text{分钟数}) \times 0.11 \]

如果 \(N\) 是分钟数，则费用 \(C\) 为：

\[ C = 0.50 + 0.11N \]

每 40 公里需要 1 加仑。我们需要确定 180 公里中有多少个 40 公里段：

\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]

所以在 180 公里总距离中有 \(4.5\) 个 40 公里段。因此所需的加仑数为：

\[ 4.5 \times 1 \text{ 加仑} = 4.5 \text{ 加仑} \]

这辆车需要 \(4.5\) 加仑汽油才能行驶 180 公里。

装满 150 瓶需要 8 分钟。

675 瓶中有多少个 150 瓶组？

\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 = 4 \text{ 个整组和 } \dfrac{1}{2} \text{ 组} \]

每组需要 8 分钟。所以，对于 4 个整组和半组：

\[ 4 \times 8 + \dfrac{1}{2} \times 8 = 32 + 4 = 36 \text{ 分钟} \]

或者，直接计算：

\[ 4.5 \times 8 = 36 \text{ 分钟} \]

装满 675 瓶需要 \(36\) 分钟。

每小时，汽车行驶 65 英里。

5 小时内，它将行驶：

\[ 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 5 \times 65 = 325 \text{ 英里} \]

我们也可以使用公式：

\[ \text{距离} = \text{时间} \times \text{速度} = 5 \times 65 = 325 \text{ 英里} \]

这辆车在 5 小时内将行驶 325 英里。

如果两个长方形 A 和 B 的长和宽成比例，则它们相似。设

\( L_1 = 10 \, \text{厘米} \)，\( W_1 = 5 \, \text{厘米} \) 为长方形 A 的长和宽

\( L_2 = 30 \, \text{厘米} \)，\( W_2 \) 为长方形 B 的长和宽

由于长方形相似，我们可以写出：

\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]

代入已知值：

\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]

交叉相乘：

\[ 30 \times 5 = 10 \times W_2 \]

两边除以 10：

\[ W_2 = 15 \, \text{厘米} \]

现在求长方形 B 的面积：

\[ \text{面积} = L_2 \times W_2 = 30 \times 15 = 450 \, \text{厘米}^2 \]

长方形 B 的面积是 \(450 \, \text{厘米}^2\)。

设 \(x\) 为每个班级的注册学生数。

5 个只有一半学生的班级中缺席学生数为：

\[ 5 \times \left( \dfrac{1}{2} \times x \right) = \dfrac{5x}{2} \]

一个有 \(\dfrac{3}{4}\) 学生的班级中缺席学生的百分比为：

\[ 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \]

因此，3 个有 \(\dfrac{3}{4}\) 学生的班级中缺席学生数为：

\[ 3 \times \left( \dfrac{1}{4} \times x \right) = \dfrac{3x}{4} \]

2 个有 \(\dfrac{1}{8}\) 学生缺席的班级中缺席学生数为：

\[ 2 \times \left( \dfrac{1}{8} \times x \right) = \dfrac{2x}{8} \]

缺席学生总数已知为 70，因此：

\[ \dfrac{5x}{2} + \dfrac{3x}{4} + \dfrac{2x}{8} = 70 \]

所有项乘以 8：

\[ 8 \times \dfrac{5x}{2} + 8 \times \dfrac{3x}{4} + 8 \times \dfrac{2x}{8} = 8 \times 70 \]

简化：

\[ 20x + 6x + 2x = 560 \]

合并同类项：

\[ 28x = 560 \]

解 \(x\)：

\[ x = \dfrac{560}{28} = 20 \]

所以，每个班级有 20 名学生。

学校所有 10 个班级的注册学生总数为：

\[ 10 \times 20 = 200 \]

这所学校有 200 名注册学生。

有 4 种不同尺寸的正方形：1×1、2×2、3×3、4×4。

有：

16 个 1×1 的正方形。

9 个 2×2 的正方形。

4 个 3×3 的正方形。

1 个 4×4 的正方形。

正方形的总数为：

\[ 16 + 9 + 4 + 1 = 30 \; \text{个正方形} \]

设 \(x\) 为 John 最初的邮票数。

John 将他的一半邮票给了 Jim：

\[ \text{Jim 收到：} \quad \dfrac{1}{2}x \]

Jim 将他的一半邮票给了 Carla：

\[ \text{Carla 收到：} \quad \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{4}x \]

Carla 将她的邮票的 \(\dfrac{1}{4}\) 给了 Thomas，所以她保留了收到的邮票的 \(\dfrac{3}{4}\)：

\[ \text{Carla 保留：} \quad \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4}x = \dfrac{3}{16}x \]

已知 Carla 保留了 12 张邮票，因此：

\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]

解 \(x\)，两边乘以 \(\dfrac{16}{3}\)：

\[ x = \dfrac{16}{3} \cdot 12 = 64 \]

John 最初有 64 张邮票。

球 A 完成一整圈旋转需要：

\[ \dfrac{120}{4} = 30 \text{ 秒} \]

球 A：1 圈：30 秒，2 圈：60 秒，3 圈：90 秒，4 圈：120 秒，...

球 B 完成一整圈旋转需要：

\[ \dfrac{60}{3} = 20 \text{ 秒} \]

球 B：1 圈：20 秒，2 圈：40 秒，3 圈：60 秒，4 圈：80 秒，...

它们首次同时完成整数圈旋转并因此同时到达起点的时间是 60 秒后，这是 30 和 20 的最小公倍数（LCM）。

两个球将在 60 秒后再次同时到达起点。

要将一条 3 单位的线段分成 9 等份，每个单位必须分成 3 部分。因此：

\[ \text{1 份} = \dfrac{1}{3} \text{ 个单位} \]

所以：

\[ \text{2 份} = 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \text{ 个单位} \]

将每小时 75 公里的速度转换为米每分钟。

\[ 1 \, \text{公里} = 1000 \, \text{米} \]

\[ 1 \, \text{小时} = 60 \, \text{分钟} \]

因此，

\[ 75 \; \text{公里每小时} = \dfrac{75 \times 1000 \; \text{米}}{60 \; \text{分钟}} \]

\[ = \dfrac{75000}{60} \, \dfrac{\text{米}}{\text{分钟}} = 1250 \, \text{米每分钟} \]

这辆车一分钟行驶 1250 米。

设 \(x\) 为 Linda 的总储蓄。如果她将储蓄的 \(\dfrac{3}{4}\) 用于购买家具，那么她剩余的储蓄是 \(\dfrac{1}{4}\)，可以表示为：

\[ \dfrac{1}{4}x \]

然后她将剩余储蓄的 \(\dfrac{1}{2}\) 用于购买花费 $150 的冰箱。因此，我们有方程：

\[ \dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{1}{4}x \right) = 150 \]

简化上述表达式：

\[ \dfrac{x}{8} = 150 \]

现在，方程两边乘以 8 解 \(x\)：

\[ 8 \times \left( \dfrac{x}{8} \right) = 8 \times 150 \]

\[ x = 1200 \]

Linda 最初的储蓄是 $1200。

设 \(x\) 为正方形 A 的边长，\(y\) 为正方形 B 的边长。

两个正方形的周长由下式给出：

正方形 A 的周长：\[ 4x \]

正方形 B 的周长：\[ 4y \]

“正方形 A 的周长是正方形 B 周长的 3 倍”用数学表达式表示为：

\[ 4x = 3(4y) = 12y \]

两边除以 4：

\[ x = 3y \]

方程两边平方：

\[ x^2 = (3y)^2 \]

简化：

\[ x^2 = 9y^2 \]

两个正方形的面积为：

正方形 A 的面积：\[ x^2 \]

正方形 B 的面积：\[ y^2 \]

正方形 A 与正方形 B 的面积比为：

\[ \dfrac{x^2}{y^2} \]

使用方程 \(x^2 = 9y^2\)，两边除以 \(y^2\)：

\[ \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} \]

简化：

\[ \dfrac{x^2}{y^2} = 9 \]

正方形 A 与正方形 B 的面积比是 \(9:1\)。

盒子的长度（减去两次 3 厘米）：

\[ 15 - 3 - 3 = 9 \text{ 厘米} \]

盒子的宽度（减去两次 3 厘米）：

\[ 10 - 3 - 3 = 4 \text{ 厘米} \]

折叠后盒子的高度等于：

\[ 3 \text{ 厘米} \]

无盖长方体的尺寸为：长 = 9，宽 = 4，高 = 3。

因此，无盖长方体的体积 \(V\) 为：

\[ V = \text{长} \times \text{宽} \times \text{高} = 9 \times 4 \times 3 = 108 \text{ 厘米}^3 \]

首先求剪去正方形前长方形的总面积 \(A\)：

\[ A = \text{长} \times \text{宽} = 20 \times 10 = 200 \]

边长为 \(2x\) 的正方形的面积 \(B\) 为：

\[ B = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]

面积为 \(B\) 的小正方形从面积为 \(A\) 的大长方形中剪去。因此，剩余形状的面积为：

\[ A - B = 200 - 4x^2 \]

面积由 \(\pi r^2\) 给出。因此，

\[ \pi r^2 = 81\pi \]

两边除以 \(\pi\)：

\[ r^2 = 81 \]

因此

\[ r = \sqrt{81} = 9 \text{ 英尺} \]

周长由下式给出：

\[ 2\pi r = 2\pi \times 9 = 18\pi \text{ 英尺} \]

设 \(P\) 为 Peter 现在的年龄。Carla、Jim 和 Peter 现在的年龄为：

\[ \text{Carla}：5 \]

\[ \text{Peter}：P \]

\[ \text{Jim}：P - 13 \]

一年前，他们的年龄为（从当前年龄减去 1）：

\[ \text{Carla}：5 - 1 = 4 \]

\[ \text{Peter}：P - 1 \]

\[ \text{Jim}：P - 13 - 1 = P - 14 \]

根据问题，一年前 Peter 的年龄是 Carla 和 Jim 年龄之和的两倍。所以，

\[ P - 1 = 2(4 + P - 14) \]

简化右边：

\[ P - 1 = 2(P - 10) \]

\[ P - 1 = 2P - 20 \]

两边加 20：

\[ P - 1 + 20 = 2P - 20 + 20 \]

\[ P + 19 = 2P \]

两边减去 \(P\)：

\[ P + 19 - P = 2P - P \]

\[ 19 = P \]

结论：

\[ \text{Peter 的年龄}：P = 19 \]

\[ \text{Jim 的年龄}：P - 13 = 19 - 13 = 6 \]

\[ \text{Carla 的年龄}：5 \]

加上已经跑的距离：

\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ 公里} \]

从总目标中减去：

\[ 6 - 4.15 = 1.85 \text{ 公里} \]

Lisa 还需要跑 1.85 公里。

设面粉量为 \(x\)。比例为：

\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]

交叉相乘：

\[ 2x = 12 \]

解 \(x\)：

\[ x = 6 \]

你需要 6 杯面粉。

设 \(x\) 为第三个角。三角形内角和为 \(180^\circ\)。

\[ x + 47 + 58 = 180^\circ \]

合并同类项：

\[ x + 105 = 180^\circ \]

解 x：

\[ x = 180 - 105 = 75^\circ \]

第三个角是 \(75^\circ\)。

\[ 3x + 4 = 19 \]

两边减去 4 并简化：

\[ 3x = 19 - 4 = 15 \]

除以 3 并简化左右两边：

\[ x = \dfrac{15}{3} = 5 \]

从 \(-4^\circ\) C 开始。

上升 \(11^\circ\)：

\[ -4 + 11 = 7^\circ \text{C} \]

下降 \(6^\circ\) C：

\[ 7 - 6 = 1^\circ \text{C} \]

晚上 6 点的温度是 \(1^\circ\) C。

设原价为 \(x\)。

30% 的折扣意味着她支付了：

\[ 100\% - 30\% = 70\% \]

Amira 支付的 70% 的价格写为：

\[ 70\% \text{ 的 } x = \dfrac{70}{100}x = 0.7x \]

已知她支付了 $84，因此：

\[ 0.70x = 84 \]

解 \(x\)：

\[ x = \dfrac{84}{0.7} = \$120 \]

原价是 $120。

由于他们相向而行，他们的合速度是各自速度之和：

\[ \text{合速度} = 40 \, \text{米/分钟} + 60 \, \text{米/分钟} = 100 \, \text{米/分钟} \]

Harry 和 Kate 相遇所需时间是总距离除以他们的合速度：

\[ \text{时间} = \dfrac{\text{距离}}{\text{合速度}} = \dfrac{2500 \, \text{米}}{100 \, \text{米/分钟}} = 25 \, \text{分钟} \]

狗以每分钟 120 米的速度连续跑了 25 分钟。因此，狗跑的总距离为：

\[ \text{距离} = \text{狗的速度} \times \text{时间} = 120 \, \text{米/分钟} \times 25 \, \text{分钟} = 3000 \, \text{米} \]