七年级代数练习题与解答

问题 1

对给定的变量值，计算下列各表达式。

\(12 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6 \quad \text{当 } x = -1\)
\(2 a^{2} + 3 b^{3} - 10 \quad \text{当 } a=2 \text{ 且 } b=-2\)
\(\displaystyle \dfrac{-2x - 1}{x + 3} \quad \text{当 } x=2\)
\(2 + 2 |x - 4| \quad \text{当 } x = -4\)

解答：

将每个变量替换为其给定的数值并进行简化。

\(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = -17\)
\(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = -26\)
\(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = -1\)
\(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2| -8 | = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = 18\)

问题 2

展开并简化下列各表达式。

\(-2(x - 8) + 3(x - 7)\)
\(2 (a + 1) + 5 b + 3 (a + b) + 3\)
\(a (b + 3) + b (a - 2) + 2 a - 5 b + 8\)
\(\dfrac{1}{2} (4x + 4) + \dfrac{1}{3} (6x + 12)\)
\(4 \bigl(-x + 2 - 3(x - 2)\bigr)\)

解答：

使用分配律 \(a(b + c) = ab + ac\) 展开并合并同类项。

\(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21 = (-2x + 3x) + (16 - 21) = x - 5\)
\(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3 = (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = 5a + 8b + 5\)
\(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8 = (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = 2ab + 5a - 7b + 8\)
\(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4 = (2x + 2x) + (2 + 4) = 4x + 6\)
\(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24 = (-4x - 12x) + (8 + 24) = -16x + 32\)

问题 3

简化下列各表达式。

\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y}\)
\(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\left(\dfrac{3x}{5}\right) \div \left(\dfrac{x}{5}\right)\)

解答：

使用分数、乘法和除法的规则进行简化。

\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{x + 4}{y}\)
\(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \dfrac{x}{4}\)
\(\left(\dfrac{3x}{5}\right) \div \left(\dfrac{x}{5}\right) = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = 3\)

问题 4

简化下列各表达式。

\(3 x^{2} \times 5 x^{3}\)
\(\displaystyle \dfrac{(2 y)^{4} \cdot 9 x^{3}}{4 y^{4} (3 x)^{2}}\)

解答：

使用指数的乘法和除法规则。

\(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = 15 x^{5}\)
\(\dfrac{(2 y)^4 9 x^3}{4 y^4 (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 9 x^3}{4 y^4 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = 4 x\)

问题 5

对下列各表达式进行因式分解。

\(9 x - 3\)
\(24 x + 18 y\)
\(b x + d x\)

解答：

找出公因子并逆向使用分配律进行因式分解。

\(9x - 3 = 3 \times 3x + 3 \times 1 = 3(3x - 1)\)
\(24x + 18y = 6 \times 4 x + 6 \times 3 y = 6(4x + 3y)\)
\(bx + dx = x(b + d)\)

问题 6

解下列各方程。

\(2 x + 5 = 11\)
\(3 x = \dfrac{6}{5}\)
\(3 (2 x + 2) + 2 = 20\)

解答：

\[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(两边乘以 5)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

问题 7

用指数表示法重写表达式 \(3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b\)。

解答：

使用指数重写乘积。 \[ 3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = 3 a^3 - 5 b^2 \]

问题 8

一个长方形的长度是 \(2 x + 3\) 单位（\(x\) 是变量），宽度是 \(x + 1\) 单位。如果长方形的周长等于 32，求 \(x\) 的值。

解答：

使用周长公式 \(P = 2 \times \text{长} + 2 \times \text{宽}\)，代入并求解 \(x\)。 \[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

问题 9

一个长方形的长度是 \(2x - 1\) 单位（\(x\) 是变量），宽度是 3 单位。如果长方形的面积等于 27，求 \(x\) 的值。

解答：

使用面积公式 \(A = \text{宽} \times \text{长}\)，代入并求解。 \[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

问题 10

一所学校中 45% 的学生是男生。求女生人数与男生总人数的比例。

解答：

由于 45% 是男生，则女生比例为 \(100\% - 45\% = 55\%\)。计算女生与男生的比例。 \[ \text{比例} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \dfrac{11}{9} \]

问题 11

一辆汽车以每小时 \(x + 30\) 公里的速度行驶，其中 \(x\) 未知。如果这辆车在 3 小时内行驶了 300 公里，求 \(x\)。

解答：

距离 = 时间 \( \times \) 速度。 \[ 300 = 3(x + 30) \] 求解 \( x \)。 \[ 300 = 3x + 90 \] \[ 3x = 210 \] \[ x = 70 \]

问题 12

解比例：\(\dfrac{4}{5} = \dfrac{a}{16}\)。

解答：

通过交叉相乘解比例。 \[ \dfrac{4}{5} = \dfrac{a}{16} \] 交叉相乘： \[ 4 \times 16 = 5 \times a \] 简化： \[ 64 = 5a \] 求解 \( a \)。 \[ a = \dfrac{64}{5} = 12.8 \]

问题 13

如果有序数对 \((2, a + 2)\) 是方程 \(2 x + 2 y = 10\) 的解，求 \(a\)。

解答：

将有序数对代入方程：\( x = 2 \) 和 \( y = a + 2 \)。 \[ 2(2) + 2(a + 2) = 10 \] 展开： \[ 4 + 2a + 4 = 10 \] 简化： \[ 2a + 8 = 10 \] \[ 2a = 2 \] 求解 \(a\)。 \[ a = 1 \]

问题 14

求数字 25 和 45 的最大公因数。

解答：

列出 25 和 45 的所有因数。

25 的因数：1, 5, 25

45 的因数：1, 3, 5, 9, 15, 45

25 和 45 的最大公因数是：\(5\)。

问题 15

用数字写出“十二亿三千四百七十五万零二”。

解答：

\[ 1234750002 \]

问题 16

用文字写出数字 393,234,000,034。

解答：

三百九十三亿两千三百四十万零三十四

问题 17

求数字 15 和 35 的最小公倍数。

解答：

列出 15 和 35 的前几个倍数，直到找到公共倍数。

15 的倍数：\(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

35 的倍数：\(35, 70, 105, 140, \ldots\)

最小公倍数（LCM）是：\(105\)。

问题 18

如果 \(\dfrac{2}{3}\) 的 \(x\) 是 30，求 \(x\)。

解答：

\(\dfrac{2}{3}\) 的 \(x\) 是 30 可写为： \[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \] 乘以 3 并简化： \[ 2x = 90 \] 求解 \(x\)： \[ x = 90 \div 2 = 45 \]

问题 19

\(\dfrac{1}{3}\) 的 20% 是多少？

解答：

\(\dfrac{1}{3}\) 的 20% 可写为： \[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \] 使用分数 \(20\% = \dfrac{20}{100}\) 进行简化： \[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \dfrac{1}{15} \]

问题 20

两个数的差是 17，它们的和是 69。求这两个数中较大的数。

解答：

设较小的数为 \(x\)，则较大的数为 \(x + 17\)。

它们的和是 69，因此： \[ x + (x + 17) = 69 \] 简化： \[ 2x + 17 = 69 \] 两边减去 17： \[ 2x = 52 \] 两边除以 2 求解 \(x\)： \[ x = 26 \] 较大的数是： \[ x + 17 = 26 + 17 = 43 \]

问题 21

将 \(\dfrac{12}{5}, 250\%, \dfrac{21}{10}\) 和 \(2.3\) 按从小到大排序。

解答：

全部转换为小数并排序。 \[ \dfrac{12}{5} = 2.4 \] \[ 250\% = \dfrac{250}{100} = 2.5 \] \[ \dfrac{21}{10} = 2.1 \] \[ 2.3 = 2.3 \] 从小到大排序：\(\dfrac{21}{10}, 2.3, \dfrac{12}{5}, 250\%\)

问题 22

三个连续正整数的和等于 96。求其中最大的数。

解答：

设这三个连续整数为 \(x\)、\(x + 1\) 和 \(x + 2\)。

这三个连续整数的和是 96，因此： \[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \] 合并同类项： \[ 3x + 3 = 96 \] \[ 3x = 93 \] 求解 \(x\)： \[ x = 31 \] 最大的数是 \(x + 2\)，等于： \[ x + 2 = 33 \]

问题 23

Dany 的物理成绩是 93，数学成绩是 88，化学成绩是地理成绩的两倍。这四门课程的平均分是 79。他的化学和地理成绩各是多少？

解答：

设地理成绩为 \(x\)，则化学成绩为 \(2x\)。四门课程的平均分是 79： \[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \] 合并分子中的同类项： \[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \] 两边乘以 4 并简化： \[ 3x + 181 = 316 \] \[ 3x = 135 \] 求解 \(x\)： \[ x = 45 \] 地理成绩：\(x = 45\)
化学成绩：\(2x = 90\)

问题 24

Linda 在数学、物理和英语三门课程中总共得了 265 分。她的数学成绩比英语高 7 分，物理成绩比数学高 5 分。求她每门课程的成绩。

解答：

设英语成绩为 \(x\)。

数学成绩：\(x + 7\)

物理成绩：\(x + 12\)

Linda 的总分是 265： \[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \] 合并同类项： \[ 3x + 19 = 265 \] 简化： \[ 3x = 246 \] 求解 \(x\)： \[ x = 246 \div 3 = 82 \] 英语成绩：\(x = 82\)
数学成绩：\(x + 7 = 82 + 7 = 89\)
物理成绩：\(x + 12 = 82 + 12 = 94\)

问题 25

停车场里有自行车和汽车。总共有 300 个轮子，其中包括 100 个自行车的小轮子。问有多少辆汽车和多少辆自行车？

解答：

每辆自行车有 2 个轮子，因此自行车数量为： \[ \dfrac{100}{2} = 50 \] 汽车轮子数量为： \[ 300 - 100 = 200 \] 每辆汽车有 4 个轮子，因此汽车数量为： \[ \dfrac{200}{4} = 50 \]