学习如何通过交叉相乘来求解带分数的代数方程以及验证两个分数是否等价。本页提供清晰的示例、分步解释以及带详细解答的练习题，以帮助学生、家长和教师掌握这一重要的数学技能。
让我们考虑以下方程：
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
由于分母的存在，像上面这样带有分数的方程有时很难求解。让我们寻找一个没有分母的等价方程。
上述将带有分数的方程转化为没有分数的方程的方法称为交叉相乘法。
示例 1：求解方程 \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
第 1 步：交叉相乘消去分母：
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
第 2 步：两边同除以 \( x \) 的系数（即 6）：
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
第 3 步：化简求出 \( x \)：
\[ x = 5 \]
示例 2：分数 \( \dfrac{4}{3} \) 和 \( \dfrac{12}{9} \) 是否等价？
第 1 步：交叉相乘：
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{and} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
第 2 步：比较结果。由于两个乘积相等，因此这些分数是等价的。因此，我们可以写出：
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
下面的练习都是关于使用交叉相乘法求解变量和检查分数等价性的。
求解方程：\( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
使用交叉相乘法重写方程：
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
化简：
\[ 2x = 18 \]
两边同除以 2：
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
求解方程：\( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
交叉相乘分母和分子：
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
化简：
\[ 24 = 6x \]
两边同除以 6：
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
求解方程：\( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
使用交叉相乘法：
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
化简：
\[ 12x = 24 \]
两边同除以 12：
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
求解方程：\( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
交叉相乘：
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
化简并求解 \(x\)：
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
求解方程：\( 2 = \dfrac{x}{14} \)
将 2 表示为分数（\(\frac{2}{1}\)）并交叉相乘：
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
交叉相乘：
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
化简：
\[ \mathbf{28 = x} \]
求解方程：\( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
交叉相乘：
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
化简并求解 \(x\)：
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
下列哪对分数是等价的（相等的）？
定义：要使两个分数等价，它们的交叉相乘数量必须相等。
a) \( \dfrac{5}{6} \) 和 \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
由于 \(A = B\)，这些分数是等价的（\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)）。
b) \( \dfrac{5}{3} \) 和 \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
由于 \(A \neq B\)，这些分数不等价。
c) \( \dfrac{25}{35} \) 和 \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
由于 \(A = B\)，这些分数是等价的（\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)）。
d) \( \dfrac{23}{7} \) 和 \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
由于 \(A \neq B\)，这些分数不等价。