七年级集合论数学练习题
附带分步解答

欢迎来到七年级集合论学习页面。本平台旨在指导学生、教师和家长了解集合的基本规则。在下方，您将找到涵盖集合基数、元素归属、子集、并集和交集的练习题，以及全面的分步解答。

练习题

  1. 求由以下定义的集合 $A$ 和集合 $B$ 的基数：

    $A = \{a, b, c, d\}$  和  $B = \{1, 4, 7, 9, 10, 12, 23\}$

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    集合的基数等于该集合中包含的不同元素的数量。我们使用符号 $|A|$ 或 $\text{Card}(A)$ 来表示它。

    • 集合 $A$ 包含 $4$ 个不同的元素，因此 $\mathbf{|A| = 4}$
    • 集合 $B$ 包含 $7$ 个不同的元素，因此 $\mathbf{|B| = 7}$
  2. 确定以下每个集合的基数：
    • 一年中所有以字母“M”开头的月份的集合。
    • 英语字母表中所有元音字母的集合。
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    a) 以“M”开头的月份的集合：
    设此集合为 $S$。列出元素得到：$S = \{\text{三月 (March)}, \text{五月 (May}\}$。
    因此，基数为 $\mathbf{|S| = 2}$。

    b) 英语字母表中所有元音字母的集合：
    设此集合为 $V$。列出元素得到：$V = \{a, e, i, o, u\}$。
    因此，基数为 $\mathbf{|V| = 5}$。

  3. 集合 $A$ 和 $B$ 的定义如下：

    $A = \{3, 5, 7, 8\}$  和  $B = \{x, y, z\}$

    判断正误：
    • $3 \in A$
    • $3 \in B$
    • $x \notin A$
    • $z \in B$
    • $8 \in B$
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    符号 $\in$ 表示“属于”（元素归属），而 $\notin$ 表示“不属于”。

    • 正确；$3$ 显然是集合 $A$ 内部的一个成员。
    • 错误；$3$ 不是集合 $B$ 的元素。
    • 正确；元素 $x$ 不属于集合 $A$。
    • 正确；$z$ 明确是集合 $B$ 的一个元素。
    • 错误；$8$ 属于集合 $A$，但它不是集合 $B$ 的元素。
  4. 列出属于以下每个集合的所有元素：
    • 所有小于或等于 $10$ 的正偶数集合。
    • 单词“AUSTRALIA”中所有不重复字母的集合。
    • 所有大于 $3$ 且小于 $16$ 且能被 $3$ 整除的整数集合。
    • 所有大于 $5$ 且小于 $35$ 且能被 $5$ 整除的整数集合。
    • 所有能被 $3$ 整除的质数集合。
    • 所有绝对值等于 $7$ 的数字集合。
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    • $\{2, 4, 6, 8, 10\}$（从 $2$ 开始到 $10$（含 $10$）的正偶数）。
    • $\{A, U, S, T, R, L, I\}$（在集合列举法中，像“A”这样的重复元素只列出一次）。
    • $\{6, 9, 12, 15\}$（严格介于 $3$ 和 $16$ 之间的 $3$ 的倍数）。
    • $\{10, 15, 20, 25, 30\}$（严格介于 $5$ 和 $35$ 之间的 $5$ 的倍数）。
    • $\{3\}$（唯一能被 $3$ 整除的质数是 $3$ 本身）。
    • $\{-7, 7\}$（因为 $|-7| = 7$ 且 $|7| = 7$）。
  5. 给定以下集合：

    $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
    $B = \{3, 5, 7\}$
    $C = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\}$
    $D = \{20, 25, 30\}$

    判断正误：
    • $A \subseteq B$
    • $B \subseteq A$
    • $B \nsubseteq C$
    • $C \subseteq D$
    • $D \nsubseteq A$
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    符号 $\subseteq$ 表示“是……的子集”（第一个集合的每个元素必须都在第二个集合中）。符号 $\nsubseteq$ 表示“不是……的子集”。

    • 错误；元素 $2$、$4$ 和 $6$ 属于 $A$ 但在 $B$ 中缺失。
    • 正确；集合 $B$ 中的每一个元素（$3$、$5$ 和 $7$）也能在集合 $A$ 中找到。
    • 错误；因为 $B$ 中的所有元素都存在于 $C$ 中，所以 $B$ 是一个子集（$B \subseteq C$）。
    • 错误；元素 $3$、$5$ 和 $7$ 在集合 $C$ 中，但完全不在集合 $D$ 中。
    • 正确；元素 $20$、$25$ 和 $30$ 存在于集合 $D$ 中，但在集合 $A$ 中完全不存在。
  6. 使用第 5 题中定义的集合 $A$、$B$、$C$ 和 $D$，确定以下内容：
    • a) $A \cup B$
    • b) $A \cap B$
    • c) $B \cap C$
    • d) $C \cup B$
    • e) $D \cap C$
    • f) $(A \cap B) \cap C$
    • g) $(A \cup B) \cap (C \cup D)$
    • h) $(A \cup B) \cup (C \cup D)$
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    回想一下，并集符号 ($\cup$) 组合了两个集合中的所有元素，而交集符号 ($\cap$) 仅提取两个集合共有的元素。

    • $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = A$（因为 $B$ 完全包含在 $A$ 中）。
    • $A \cap B = \{3, 5, 7\} = B$（这些是集合 $A$ 和 $B$ 之间共享的项）。
    • $B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$（集合 $B$ 和 $C$ 之间共享的项）。
    • $C \cup B = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\} = C$（因为 $B$ 完全包含在 $C$ 中）。
    • $D \cap C = \{20, 25, 30\} = D$（因为 $D \subseteq C$）。
    • $(A \cap B) \cap C = B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$（先求 $A \cap B = B$，然后与 $C$ 求交集）。
    • $(A \cup B) \cap (C \cup D) = A \cap C = \{3, 5, 7\} = B$（计算括号块：$(A \cup B) = A$ 且 $(C \cup D) = C$，剩下 $A \cap C$）。
    • $(A \cup B) \cup (C \cup D) = A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30\}$（将 $A$ 和 $C$ 中的所有唯一元素组合在一起）。