八年级代数：练习题与分步解答

本页旨在帮助学生、家长和教师通过练习题和分步解答掌握核心的八年级代数概念。展开每个问题下方隐藏的解答以揭示每一步背后的推理，帮助学习者为高中数学打下坚实的基础。

本页涵盖的主题包括：

练习题

  1. 化简代数表达式：化简下列表达式。
    • A) \(-2x + 5 + 10x - 9\)
    • B) \(3(x + 7) + 2(-x + 4) + 5x\)
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    A) \(-2x + 5 + 10x - 9\)

    • \(= (10x - 2x) + (5 - 9)\) (将同类项分组在一起)
    • \(= 8x - 4\) (合并)

    B) \(3(x + 7) + 2(-x + 4) + 5x\)

    • \(= 3x + 21 - 2x + 8 + 5x\) (通过分配系数展开)
    • \(= (3x - 2x + 5x) + (21 + 8)\) (同类项分组)
    • \(= 6x + 29\) (合并)
  2. 化简有理表达式：
    • A) \(\dfrac{2x - 6}{2}\)
    • B) \(\dfrac{-x - 2}{x + 2}\)
    • C) \(\dfrac{5x - 5}{10}\)
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    A) \(\dfrac{2x - 6}{2}\)

    • \(= \dfrac{2(x - 3)}{2}\) (在分子中提取公因式 2)
    • \(= x - 3\) (将分子和分母同除以 2 以化简)

    B) \(\dfrac{-x - 2}{x + 2}\)

    • \(= \dfrac{-1(x + 2)}{x + 2}\) (在分子中提取公因式 -1)
    • \(= -1\) (抵消公因式 \(x + 2\))

    C) \(\dfrac{5x - 5}{10}\)

    • \(= \dfrac{5(x - 1)}{10}\) (在分子中提取公因式 5)
    • \(= \dfrac{x - 1}{2}\) (分子和分母同除以 5)
  3. 解方程：求解 \(x\)。
    • A) \(-x = 6\)
    • B) \(2x - 8 = -x + 4\)
    • C) \(2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\)
    • D) \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)
    • E) \(\dfrac{-5}{x} = 2\)
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    A) \(-x = 6\)

    • \(x = -6\) (方程两边同乘以或同除以 -1)

    B) \(2x - 8 = -x + 4\)

    • \(2x - 8 + 8 = -x + 4 + 8\) (两边同时加 8)
    • \(2x = -x + 12\) (化简)
    • \(2x + x = -x + 12 + x\) (两边同时加 x)
    • \(3x = 12\) (化简)
    • \(x = 4\) (两边同乘以 1/3，或除以 3)

    C) \(2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\)

    • \(2x = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}\) (两边同时减去 1/2)
    • \(2x = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6}\) (通分以进行减法运算)
    • \(2x = \dfrac{1}{6}\) (化简)
    • \(x = \dfrac{1}{12}\) (两边同乘以 1/2)

    D) \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)

    • \(\dfrac{x}{3} = 3\) (两边同时减去 2)
    • \(x = 9\) (两边同时乘以 3)

    E) \(\dfrac{-5}{x} = 2\)

    • \(-5 = 2x\) (两边同乘以 x)
    • \(x = -\dfrac{5}{2}\) (两边同时除以 2)
  4. 求表达式的值：对给定的 \(x\) 和 \(y\) 值求值。
    • A) \(x^2 - y^2\)，当 \(x = 4\) 且 \(y = 5\)
    • B) \(|4x - 2y|\)，当 \(x = -2\) 且 \(y = 3\)
    • C) \(3x^3 - 4y^4\)，当 \(x = -1\) 且 \(y = -2\)
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    A) \(x^2 - y^2\)，当 \(x = 4\) 且 \(y = 5\)

    • \(= 4^2 - 5^2\) (用给定值代入变量)
    • \(= 16 - 25 = -9\) (计算)

    B) \(|4x - 2y|\)，当 \(x = -2\) 且 \(y = 3\)

    • \(= |4(-2) - 2(3)|\) (代入数值)
    • \(= |-8 - 6| = |-14| = 14\) (计算绝对值)

    C) \(3x^3 - 4y^4\)，当 \(x = -1\) 且 \(y = -2\)

    • \(= 3(-1)^3 - 4(-2)^4\) (代入数值)
    • \(= 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67\) (注意：负数的偶数次幂为正数)
  5. 解不等式：
    • A) \(x + 6 < 0\)
    • B) \(x + 1 > 5\)
    • C) \(2(x - 2) < 12\)
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    A) \(x + 6 < 0\)

    • \(x < -6\) (两边同时减去 6)

    B) \(x + 1 > 5\)

    • \(x > 4\) (两边同时减去 1)

    C) \(2(x - 2) < 12\)

    • \(x - 2 < 6\) (两边同时除以 2)
    • \(x < 8\) (两边同时加 2)
  6. 求倒数：下列各数的倒数分别是什么？
    • A) \(-1\)
    • B) \(0\)
    • C) \(\dfrac{3}{4}\)
    • D) \(2\dfrac{5}{7}\)
    • E) \(0.02\)
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    倒数的定义是：如果 \(x \cdot y = 1\)，则数 \(y\) 是 \(x\) 的倒数。

    • A) \(-1\)： 倒数是 \(-1\)。 (\(-1 \cdot -1 = 1\))
    • B) \(0\)： 无定义。 (没有任何数乘以 0 等于 1)
    • C) \(\dfrac{3}{4}\)： 倒数是 \(\dfrac{4}{3}\)。
    • D) \(2\dfrac{5}{7}\)： 首先转换为假分数 \(\dfrac{19}{7}\)。其倒数是 \(\dfrac{7}{19}\)。
    • E) \(0.02\)： \(0.02 = \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50}\)。其倒数是 \(50\)。
  7. 计算带分数：
    • A) \(3\dfrac{3}{4} + 6\dfrac{1}{7}\)
    • B) \((1\dfrac{3}{5}) \times (3\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}\)
    • C) \((5\dfrac{2}{3}) \div (4\dfrac{1}{5})\)
    • D) \((3\dfrac{4}{7} - 1\dfrac{1}{2}) \div (2\dfrac{3}{8} + 2\dfrac{1}{4})\)
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    A) \(3\dfrac{3}{4} + 6\dfrac{1}{7}\)

    • \(= (3 + 6) + \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{7}\right)\) (将整数部分和小数/分数部分分组)
    • \(= 9 + \left(\dfrac{21}{28} + \dfrac{4}{28}\right)\) (公分母为 28)
    • \(= 9\dfrac{25}{28}\)

    B) \((1\dfrac{3}{5}) \times (3\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}\)

    • \(= \left(\dfrac{8}{5} \times \dfrac{10}{3}\right) - \dfrac{5}{2}\) (转换为假分数)
    • \(= \dfrac{80}{15} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{16}{3} - \dfrac{5}{2}\) (相乘并化简)
    • \(= \dfrac{32}{6} - \dfrac{15}{6} = \dfrac{17}{6} = 2\dfrac{5}{6}\)

    C) \((5\dfrac{2}{3}) \div (4\dfrac{1}{5})\)

    • \(= \dfrac{17}{3} \div \dfrac{21}{5}\) (转换为假分数)
    • \(= \dfrac{17}{3} \times \dfrac{5}{21} = \dfrac{85}{63} = 1\dfrac{22}{63}\) (乘以倒数)

    D) \((3\dfrac{4}{7} - 1\dfrac{1}{2}) \div (2\dfrac{3}{8} + 2\dfrac{1}{4})\)

    • \(= \left(\dfrac{25}{7} - \dfrac{3}{2}\right) \div \left(\dfrac{19}{8} + \dfrac{9}{4}\right)\) (转换为假分数)
    • \(= \left(\dfrac{50}{14} - \dfrac{21}{14}\right) \div \left(\dfrac{19}{8} + \dfrac{18}{8}\right)\) (寻找公分母)
    • \(= \dfrac{29}{14} \div \dfrac{37}{8} = \dfrac{29}{14} \times \dfrac{8}{37} = \dfrac{232}{518} = \dfrac{116}{259}\) (乘以倒数并约分)
  8. 计算指数表达式：
    • A) \(-4^2\)
    • B) \((-2)^3\)
    • C) \((-2)^4\)
    • D) \(1000^0\)
    • E) \(566^1\)
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    • A) \(-4^2\) = \(-(4 \times 4)\) = \(-16\) (负号在底数外部)
    • B) \((-2)^3\) = \((-2) \times (-2) \times (-2)\) = \(-8\)
    • C) \((-2)^4\) = \((-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)\) = \(16\) (负底数的偶数次幂为正数)
    • D) \(1000^0\) = \(1\) (任何非零数的 0 次幂等于 1)
    • E) \(566^1\) = \(566\) (任何数的 1 次幂都是它本身)
  9. 化为分数：写出最简分数形式。
    • A) \(0.02\)
    • B) \(12\%\)
    • C) \(0.5\%\)
    • D) \(1.12\)
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    • A) \(0.02\) = \(\dfrac{2}{100}\) = \(\dfrac{1}{50}\)
    • B) \(12\%\) = \(\dfrac{12}{100}\) = \(\dfrac{3}{25}\)
    • C) \(0.5\%\) = \(\dfrac{0.5}{100}\) = \(\dfrac{5}{1000}\) = \(\dfrac{1}{200}\)
    • D) \(1.12\) = \(\dfrac{112}{100}\) = \(\dfrac{28}{25}\)
  10. 化为小数：
    • A) \(\dfrac{1}{5}\)
    • B) \(120\%\)
    • C) \(0.2\%\)
    • D) \(4\dfrac{8}{5}\)
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    • A) \(\dfrac{1}{5}\) = \(0.2\)
    • B) \(120\%\) = \(\dfrac{120}{100}\) = \(1.2\)
    • C) \(0.2\%\) = \(\dfrac{0.2}{100}\) = \(0.002\)
    • D) \(4\dfrac{8}{5}\) = \(4 + 1.6\) = \(5.6\) (注意：8/5 是假分数，等于 1.6)
  11. 化为百分数：
    • A) \(\dfrac{3}{10}\)
    • B) \(1.4\)
    • C) \(123.45\)
    • D) \(2\dfrac{4}{5}\)
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    • A) \(\dfrac{3}{10}\) = \(\dfrac{30}{100}\) = \(30\%\)
    • B) \(1.4\) = \(\dfrac{140}{100}\) = \(140\%\)
    • C) \(123.45\) = \(\dfrac{12345}{100}\) = \(12345\%\)
    • D) \(2\dfrac{4}{5}\) = \(2.8\) = \(\dfrac{280}{100}\) = \(280\%\)
  12. 被 3 整除：以下哪个数字能被 3 整除？ (A) 156,312 (B) 176,314
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    如果一个数字的各位数字之和能被 3 整除，则该数字能被 3 整除。

    • A) 156,312： \(1+5+6+3+1+2 = 18\)。 18 能被 3 整除，所以是 (是)。
    • B) 176,314： \(1+7+6+3+1+4 = 22\)。 22 不能被 3 整除，所以是 (否)。
  13. 被 4 整除：以下哪个数字能被 4 整除？ (A) 3,432 (B) 1,257
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    如果一个数字的末两位数字组成的数能被 4 整除，则该数字能被 4 整除。

    • A) 3,432： 末两位数字是 32。 32 能被 4 整除，所以是 (是)。
    • B) 1,257： 末两位数字是 57。 57 是奇数且不能被 4 整除，所以是 (否)。
  14. 被 6 整除：以下哪个数字能被 6 整除？ (A) 1,233 (B) 3,432
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    如果一个数字同时能被 2 和 3 整除，则它能被 6 整除。

    • A) 1,233： 以奇数结尾，因此不能被 2 整除。所以是 (否)。
    • B) 3,432： 各数字之和为 12（能被 3 整除），且以 2 结尾（偶数/能被 2 整除）。因此是 (是)。
  15. 被 9 整除：以下哪个数字能被 9 整除？ (A) 2,538 (B) 1,451
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    如果一个数字的各位数字之和能被 9 整除，则该数字能被 9 整除。

    • A) 2,538： \(2+5+3+8 = 18\)。 18 能被 9 整除，所以是 (是)。
    • B) 1,451： \(1+4+5+1 = 11\)。 11 不能被 9 整除，所以是 (否)。
  16. 代数代入：已知 \(x - 3 = 10\)，求 \(8x + 7\) 的值。
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    • \(x - 3 = 10\) (已知方程)
    • \(x = 10 + 3 = 13\) (求解 x)
    • \(8(13) + 7\) (将表达式中的 x 代入为 13)
    • \(= 104 + 7 = 111\) (计算)

链接与参考资料

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