练习题
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面积比：三个圆 \( C_1 \)、\( C_2 \) 和 \( C_3 \) 的圆心 \( O_1 \)、\( O_2 \) 和 \( O_3 \) 位于直线 \( L \) 上，并且都在同一点相切。如果最大圆的直径是 20 个单位，最大圆的面积与最小圆的面积之比是多少？
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步骤 1：最大圆的面积（\( C_1 \)）
- 圆 \( C_1 \) 的直径是 20 个单位，因此其半径（\( r_1 \)）是 10 个单位。
- 圆 \( C_1 \) 的面积 \( A \) = \( \pi(10)^2 = 100\pi \)。
步骤 2：最小圆的面积（\( C_3 \)）
- 根据图表，\( C_2 \) 的直径等于 \( C_1 \) 的半径（10 个单位）。所以，\( r_2 = 5 \) 个单位。
- \( C_3 \) 的直径等于 \( C_2 \) 的半径（5 个单位）。所以，\( C_3 \) 的半径（\( r_3 \)）是 2.5 个单位。
- 圆 \( C_3 \) 的面积 \( B \) = \( \pi(2.5)^2 \)。
步骤 3：求比值
- \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2.5)^2} \)
- \( = \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16 \)
- 比值为 16:1。
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复合图形：帕金森夫人的花园由 4 个正方形和 2 个半圆组成，如下图所示。每个小正方形的面积为 4 平方米。求花园的总面积。
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步骤 1：正方形的面积
- 4 个正方形的总面积 = \( 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \)。
步骤 2：求半圆的尺寸
- 一个小正方形的面积是 \( 4 \text{ m}^2 \)，这意味着其边长为 \( \sqrt{4} = 2 \text{ m} \)。
- 每个半圆的半径与正方形的边长相匹配，因此 \( r = 2 \text{ m} \)。
步骤 3：计算总面积
- 两个半圆组合成一个整圆。
- 圆的面积 = \( \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2 \)。
- 总面积 = \( 16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 = \) \( 28.56 \text{ m}^2 \) (使用 \(\pi \approx 3.14\))。
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实际应用：喷水灭火器可以在各个方向上喷射最大 12 米距离的水。这个喷头可以灌溉花园的什么面积？将你的答案四舍五入到最接近的平方米。
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- 喷头旋转一圈可以灌溉半径为 12 米的圆形区域。
- 面积 = \( \pi r^2 \)
- 面积 = \( \pi(12)^2 = 144\pi \)
- \( 144 \times 3.14159 \approx 452.389 \)
- 该喷头大约可灌溉 452 平方米。
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同心圆：半径为 10 米的圆形花园周围环绕着一条宽 1 米的步道。求步道的面积（阴影部分）。
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- 步道夹在较小的内圆和较大的外圆之间。
- 内半径 = 10 米。
- 外半径 = \( 10 + 1 = 11 \) 米。
- 步道面积 = 外圆面积 - 内圆面积
- 面积 = \( (\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2) \)
- 面积 = \( 121\pi - 100\pi \) = \( 21\pi \text{ m}^2 \)
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单位成本应用：一个圆形比萨售价 19.99 美元。如果比萨的直径为 36 厘米，那么 1 平方厘米的成本是多少？
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- 首先，求半径：\( 36 \div 2 = 18 \text{ cm} \)。
- 计算总面积：\( \pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017.87 \text{ cm}^2 \)。
- 通过将总成本除以总面积来计算每平方厘米的成本。
- \( \dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.0196 \text{ 美元} \)
- 成本约为每平方厘米 2 美分。
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由面积倒推：罗宾逊家的圆形花坛面积为 5 平方米，需要多少围栏？（将答案四舍五入到最接近的米）。
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围栏围绕在外围，所以我们需要求周长。首先，我们必须求出半径。
- \( \pi \times r^2 = 5 \)
- \( r^2 = \dfrac{5}{\pi} \)
- \( r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ 米} \)
现在，计算周长：
- \( C = 2\pi r \)
- \( C = 2 \times \pi \times 1.26 \approx 7.92 \text{ 米} \)
- 大约需要 8 米的围栏。
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百分比增加：圆形磁盘的半径增加了 20%。磁盘面积增加了百分之几？
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- 原面积 = \( \pi r^2 \)。
- 如果半径增加 20%，新半径为 \( r + 0.20r = 1.2r \)。
- 新面积 = \( \pi(1.2r)^2 = 1.44\pi r^2 \)。
- 求面积差：\( 1.44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0.44\pi r^2 \)。
- 要计算变化百分比，将差值除以原面积并乘以 100。
- \( \left(\dfrac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = \) \( 44\% \)。
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边缘悬挂应用：一张圆桌的直径为 100 英寸。一块圆形桌布在桌子周围各边下垂 15 英寸。桌布的面积是多少？
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- 如果桌子直径为 100 英寸，且桌布在两侧均下垂 15 英寸，则桌布的总直径为 \( 100 + 15 + 15 = 130 \text{ 英寸} \)。
- 桌布的半径为 \( 130 \div 2 = 65 \text{ 英寸} \)。
- 面积 = \( \pi r^2 = \pi(65)^2 \)
- 面积 = \( 4225\pi \approx \) \( 13,273 \text{ 平方英寸} \) (注：如果用 3.14 代替 \(\pi\)，答案四舍五入约为 13,267 平方英寸)。
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正方形与圆：ABCD 是一个正方形，其中一个顶点在圆心，另外两个顶点在圆上。如果圆的面积是 100 平方厘米，对角线 \( AC \) 的长度是多少？
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步骤 1：求半径的平方
- 面积 = \( \pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi} \)。
步骤 2：应用勾股定理
- 因为顶点 A 在圆心，且 B 和 D 在圆上，所以边 \( AB \) 和 \( AD \) 等于圆的半径（\( r \)）。
- 在直角三角形 \( \triangle ABC \) 中，对角线 \( AC \) 是斜边。
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \)
- 代入 \( r^2 \) 的值：\( AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi} \)。
- \( AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx \) \( 8 \text{ cm} \)。
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周长比与面积比：圆 A 的周长与圆 B 的周长之比为 3:1。圆 A 的面积与圆 B 的面积之比是多少？
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- 设 \( R_A \) 为圆 A 的半径，\( R_B \) 为圆 B 的半径。
- 它们的周长（圆周）之比为 \( \dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1} \)。
- 因此，\( R_A = 3R_B \)。
- 它们的面积之比为 \( \dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2} \)。
- 用 \( 3R_B \) 代替 \( R_A \)：\( \dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 \)。
- 面积之比为 9:1。
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相交弦：在圆心为 \( O \) 的圆中，弦 \( AB \) 垂直于半径。半径在其平分点 \( P \) 处与弦相交。如果圆的半径长度为 10 个单位，圆心到弦的距离（\( OP \)）为 6 个单位，求弦 \( AB \) 的长度。
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- 因为半径垂直于弦，它创建了一个直角三角形 \( \triangle OAP \)，其中 \( O \) 是圆心，\( A \) 是弦的端点，\( P \) 是中点。
- 斜边 \( OA \) 是半径 = 10 个单位。
- 直角边 \( OP \) 是到弦的距离 = 6 个单位。
步骤 1：利用勾股定理求 \( AP \)
- \( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
- \( 10^2 = 6^2 + AP^2 \)
- \( 100 = 36 + AP^2 \)
- \( AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8 \text{ 个单位} \)。
步骤 2：求弦的总长度
- 由于 \( P \) 平分弦，\( AB = 2 \times AP \)。
- \( AB = 2 \times 8 = \) \( 16 \text{ 个单位} \)。