练习题与解答
-
计算以下表达式：
a) \([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
b) \([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)查看分步解答
a)
\([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
\(= [8 + 3] \times [-12 - 4]\)
\(= 11 \times (-16) = -176\)b)
\([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)
\(= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]\)
\(= [4 + 3] \times [-16 - 4]\)
\(= 7 \times (-20) = -140\) -
以下哪项不是有理数？
a) \(0.2\) b) \(\pi\) c) \(\dfrac{2}{5}\)查看分步解答
答案：b) \(\pi\)
\(\pi\) 不是有理数，因为它不能表达为两个整数的简单分数。
-
在数字 34.6597 中，数字 5 的值是多少？
查看分步解答
数字 5 在百分位上，其值为 \(0.05\) 或 \(\dfrac{5}{100}\)。
-
数列的下一项是什么？\(3, 6, 9, 12, \ldots\)
查看分步解答
我们注意到，从一项到下一项，我们加 \(3\)；因此下一项等于：\(12 + 3 = 15\)。
-
数列的下一项是什么？\(1, 3, 9, 27, \ldots\)
查看分步解答
我们注意到，从一项到下一项，我们乘以 \(3\)；因此下一项由下式给出：\(27 \times 3 = 81\)。
-
一组数字由 \(2n + 1\) 定义，其中 \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
a) 求从 \(n = 1\) 开始的前五项。
b) 给定的数列是等差数列、等比数列还是两者都不是？查看分步解答
a) 将 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) 代入表达式 \(2n + 1\)：
当 \(n=1\) 时，\(2(1)+1 = 3\)
当 \(n=2\) 时，\(2(2)+1 = 5\)
当 \(n=3\) 时，\(2(3)+1 = 7\)
当 \(n=4\) 时，\(2(4)+1 = 9\)
当 \(n=5\) 时，\(2(5)+1 = 11\)b) 从一项到下一项，我们加 2，因此它是公差等于 2 的等差数列。
-
一组数字由 \(3 \times 2^{n-1}\) 定义，其中 \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
a) 求从 \(n = 1\) 开始的前五项。
b) 给定的数列是等差数列、等比数列还是两者都不是？查看分步解答
a) 将 \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) 代入表达式 \(3 \times 2^{n-1}\)：
当 \(n=1\) 时，\(3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3\)
当 \(n=2\) 时，\(3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6\)
当 \(n=3\) 时，\(3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12\)
当 \(n=4\) 时，\(3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24\)
当 \(n=5\) 时，\(3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48\)b) 从一项到下一项，我们乘以 2，因此它是公比等于 2 的等比数列。
-
集合 \(S_1\) 和 \(S_2\) 定义为：\(S_1 = \{0, 2, 9, 12\}\) 和 \(S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}\)。求以下各项的元素：
a) \(S_1 \cap S_2\)
b) \(S_1 \cup S_2\)查看分步解答
a) 两个集合的交集是两个集合共有元素组成的集合。因此 \(S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}\)。
b) 两个集合的并集是两个集合中的所有元素（无重复）。因此 \(S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}\)。
-
设 \(Q\) = 所有有理数，\(P\) = 所有无理数，\(R\) = 所有实数。哪个是正确的？
a) \(Q \cap P = R\) b) \(Q \cup P = R\) c) \(Q \cup P = \text{空集}\) d) \(Q \cap P = \text{空集}\)查看分步解答
任何实数要么是有理数，要么是无理数，但不能同时是两者，因此 \(Q \cap P = \text{空集}\) 是正确的。所有实数的集合是有理数和无理数的并集，因此 \(Q \cup P = R\) 是正确的。
陈述 b) 和 d) 是正确的。
-
表示为质因数的乘积：a) 345 b) 150 c) 210
查看分步解答
a) \(345 = 3 \times 5 \times 23\)
b) \(150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5\)
c) \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)
-
100 和 180 的最大公因数（GCF）是多少？
查看分步解答
100 和 180 的最大公因数是 20。
-
100 和 15 的最小公倍数（LCM）是多少？
查看分步解答
100 和 15 的最小公倍数是 300。
-
哪个能被 3 整除？a) 101899 b) 900234 c) 134567280
查看分步解答
如果一个数字的各位数字之和能被 3 整除，则该数字能被 3 整除。
a) 101899：和 = \(1+0+1+8+9+9 = 28\)。 （不能整除）
b) 900234：和 = \(9+0+0+2+3+4 = 18\)。 （可以整除）
c) 134567280：和 = \(1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36\)。 （可以整除）
-
哪个能被 4 整除？a) 189001 b) 1005612 c) 1003456024
查看分步解答
如果一个数字右边的两位数构成的数字能被 4 整除，则该数字能被 4 整除。
a) 189001：最后两位数字 \(01\)。 （不能整除）
b) 1005612：最后两位数字 \(12\)。 （可以整除）
c) 1003456024：最后两位数字 \(24\)。 （可以整除）
-
哪个能被 6 整除？a) 234 b) 12345 c) 12114290910
查看分步解答
要使一个数能被 6 整除，它必须能被 2 整除（偶数）且能被 3 整除。
a) 234：偶数，数字之和 \(2+3+4=9\) （可以整除）
b) 12345：奇数（不能被 2 整除，因此不能被 6 整除）
c) 12114290910：偶数，数字之和 \(30\)。 （可以整除）
-
哪几对分数是等价的？
a) \(\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}\) b) \(\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}\) c) \(\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}\)查看分步解答
从最简形式的分数开始，乘以一个因子以获得第二个分数。
a) 将 \(\dfrac{7}{3}\) 的分子和分母乘以 5 得到 \(\dfrac{35}{15}\)。这与 \(\dfrac{10}{15}\) 不匹配。 （不等价）
b) 将 \(\dfrac{2}{3}\) 的分子和分母乘以 4 得到 \(\dfrac{8}{12}\)。 （等价）
c) 将 \(\dfrac{7}{12}\) 的分子和分母乘以 3 得到 \(\dfrac{21}{36}\)。 （等价）
-
计算：
a) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}\) b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\) c) \(\dfrac{11}{2} \div 4\)
d) \(4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}\) e) \(1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)\)查看分步解答
a) \(5, 10, 15\) 的最小公倍数是 \(30\)。 \(\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}\)
b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\)。因式分解：\(\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}\)。消去公因数得到 \(\dfrac{1}{8}\)
c) 乘以倒数：\(\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}\)
d) 将整数部分和小数部分分组：\((4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}\)
e) 转换为分数：\(\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}\)
-
写成最简分数形式：a) \(0.2 \div 0.6\) b) \(1 \div 0.4\)
查看分步解答
a) \(0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
b) \(1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}\)
-
达莉娅（Dalia）将四分之一的薪水花在食物和饮料上。她将其中的五分之一花在软饮料上，六分之一花在饼干上。她薪水的几分之几花在了软饮料和饼干上？
查看分步解答
软饮料：她薪水的 \(\dfrac{1}{5}\) 的 \(\dfrac{1}{4}\)。
饼干：她薪水的 \(\dfrac{1}{6}\) 的 \(\dfrac{1}{4}\)。
总计：\(\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}\)
-
詹姆斯（James）周一至周五每天花 2 小时做家庭作业。本（Ben）花的时间是他的 \(\dfrac{3}{4}\)；琳达（Linda）花的时间是他的 \(\dfrac{5}{4}\)。他们一周共花多少小时？
查看分步解答
詹姆斯：工作日期间做家庭作业 \(2 \times 5 = 10\) 小时。
本：工作日期间做家庭作业 \(\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5\) 小时。
琳达：工作日期间做家庭作业 \(\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5\) 小时。
-
萨拉（Sara）做了 1.5 升果汁。她的杯子容量是 \(\dfrac{1}{6}\) 升。她可以倒满多少杯？
查看分步解答
使用带分数，1.5 升写作 \(1\dfrac{1}{2}\) 或 \(\dfrac{3}{2}\) 升。
杯数 = \(\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9\) 杯。
-
计算：
a) \((-2)^3 - 5^3 + (-3)^4\)
b) \((-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}\)
c) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}\)查看分步解答
a) \(-8 - 125 + 81 = -52\)
b) \(\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1\)
c) \(\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}\)
-
写成指数形式（以十为底）：a) 10000 b) 0.0000001 c) \(\dfrac{1}{100000}\)
查看分步解答
a) \(10^4\) b) \(10^{-7}\) c) \(\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}\)
-
写成科学计数法：a) \(12.4 \times 10^3\) b) \(0.0023 \times 10^{-2}\) c) \(\dfrac{12}{100000}\)
查看分步解答
a) \(1.24 \times 10^4\) b) \(2.3 \times 10^{-5}\) c) \(\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)
-
化简：a) \(\sqrt{16}\) b) \(\sqrt{9}\) c) \(\sqrt[3]{8}\)
查看分步解答
a) 4，因为 \(4^2=16\) b) 3，因为 \(3^2=9\) c) 2，因为 \(2^3=8\)
-
化简为最简形式：a) \(\sqrt{3 \times 25}\) b) \(\sqrt{36 \times 5}\) c) \(\sqrt[3]{8 \times 7}\)
查看分步解答
a) \(\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}\) b) \(\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) c) \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}\)
-
莱拉（Leila）走了 5 个小时。图表给出了距离 \(d\) 与时间 \(t\) 的关系。
a) 写出一个方程 \(d = kt\)。
b) 如果她早上 8 点出发，她什么时候在 10 公里外？
查看分步解答
a) 使用图表上的一个点。例如，当 \(t = 1\) 时，\(d = 4\)。在方程 \(d = k \times t\) 中将 \(t\) 代入 1，\(d\) 代入 4，得到 \(4 = k \times 1\)，因此 \(k = 4\)。关系式为 \(d = 4t\)。
b) 通过求解方程 \(10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2.5\) 小时，求出莱拉步行 \(d = 10\) 公里所需的时间。2.5 小时可以写成 2:30。她在以下时间处于 10 公里外：8:00 + 2:30 = 上午 10:30。
-
表格是否表明 \(y\) 与 \(x\) 成正比？
a) 如果是，求 \(k\) 使得 \(y = kx\)。
b) 求当 \(x=10.2\) 时的 \(y\)。查看分步解答
添加了包含比率 \(y / x\) 的列，结果表明 \(y / x\) 是常数且等于 3。因此 \(y\) 与 \(x\) 成正比。
a) 由于 \(y / x = 3\)，我们可以写成 \(y = 3x\)。因此 \(k = 3\)。
b) \(y = 3 \times 10.2 = 30.6\)。
-
水龙头在 2 分钟内注满 10 升，4 分钟内注满 20 升，6 分钟内注满 30 升。
a) 在垂直轴为 \(V\)、水平轴为 \(t\) 上标绘点。
b) \(V\) 是否与 \(t\) 成正比？
c) 如果是，求 \(k\) 使得 \(V = kt\)。
d) 求注满 100 升所需的时间。查看分步解答
a) 根据给定的信息，我们可以写出三个点 \((V, t)\)：\((2,10)\)、\((4,20)\) 和 \((6,30)\)，绘制如下。
b) 这三个点位于同一条通过原点的直线上，因此 \(V\) 和 \(t\) 之间存在比例关系。
c) 比例常数 \(k\) 为 \(V \div t\)。\(k = 10 \div 2 = 5\)。因此 \(V = 5t\)。
d) 在方程中代入 \(V=100\)：\(100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20\) 分钟。
-
一个商品售价 120 美元，上涨了 12%。新价格是多少？
查看分步解答
上涨后的价格 = $120 + $120 的 12%。
数学表达：\(120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = \$134.40\)。
-
吉米（Jimmy）将薪水的 50% 花在房租加账单上，其中 15% 的金额花在账单上。他总薪水的百分之几花在账单上？
查看分步解答
花在账单上的百分比 = 他薪水 50% 的 15%。
数学表达：\(\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%\)。
-
一餐花费 40 美元。税率为 15%；小费为含税金额的 5%。总费用是多少？
查看分步解答
税后费用 = \(40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = \$46\)。
加小费后的费用 = \(46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = \$48.30\)。
-
卡梅莉亚（Kamelea）收入 \( \$5000 \) 并花费：\( \$400 \) 用于衣服，\( \$1200 \) 用于房租，\( \$200 \) 用于账单，\( \$1200 \) 用于食物/外出，\( \$600 \) 用于汽车，其余部分存起来。节省了百分之几？
查看分步解答
卡梅莉亚的花费 = \(\$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600\)。
存款 = 薪水 - 花费 = \(\$5000 - \$3600 = \$1400\)。
卡梅莉亚的存款占薪水的百分比 = \(\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%\)。
-
一个数的三分之一的 10% 是 3。这个数是多少？
查看分步解答
设 \(x\) 为未知数。\(\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3\)。
\(\dfrac{10x}{300} = 3\)。两边同乘以 300 得到 \(10x = 900 \rightarrow x = 90\)。
-
美国汽油从每加仑 3 美元涨到 4 美元，法国汽油从每升 1.5 欧元涨到 2 欧元。哪里的涨幅百分比更大？
查看分步解答
美国汽油百分比涨幅 = \(\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%\)。
法国汽油百分比涨幅 = \(\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%\)。
两者的百分比涨幅完全相同。
-
已知 1 米 = 3.28084 英尺，将 10.5 英尺转换为米。
查看分步解答
将等式两边除以 3.28084 英尺得到 \(\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1\)。
\(10.5 \text{ ft} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 3.20039 \text{ m}\)。
-
已知 1 公里 = 1093.61 码，将 1.3 公里转换为码。
查看分步解答
\(1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}\)。
-
已知 1 米 = 1.09361 码，将 \(1.2 \text{ m}^2\) 转换为 \(\text{yd}^2\)。
查看分步解答
将给定等式的两边平方得到 \(1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2\)。
\(1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2\)。
-
将 100 公里/小时转换为米/秒。
查看分步解答
\(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) 且 \(1 \text{ hr} = 3600 \text{ sec}\)。
\(\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ hr}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ sec}} \approx 27.77777 \text{ m/sec}\)。
-
当 \(x=1\) 时，计算 \(\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}\) 的值。
查看分步解答
将 \(x\) 代入 1：\(\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}\)。
-
当 \(x=-5\) 时，计算 \(\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1\) 的值。
查看分步解答
将 \(x\) 代入 -5：\(\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25\)。
-
当 \(a=2\), \(b=-2\) 时，计算 \(2^a - \sqrt{b^2}\) 的值。
查看分步解答
将 \(a\) 代入 2，\(b\) 代入 -2：\(2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\)。
-
化简：a) \(3(x+2) + x - 12\) b) \(\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4\) c) \(0.2(5x+10) + 3x - 4\)
查看分步解答
a) \(3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6\)
b) \(\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8\)
c) \(0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2\)
-
化简：a) \(2x \cdot 3x\) b) \(\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x\) c) \(3x^2 \cdot 5x^3\)
查看分步解答
a) \((2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2\)
b) \(\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2\)
c) \((3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5\)
-
因式分解：a) \(21x + 7\) b) \(24 - 20x\) c) \(8b - 4a + 32\)
查看分步解答
a) 21 和 7 的最大公因数是 7。\(7(3x + 1)\)
b) 24 和 20 的最大公因数是 4。\(4(6 - 5x)\)
c) 8、4 和 32 的最大公因数是 4。\(4(2b - a + 8)\)
-
解方程：
a) \(3(x - 2 ) = 3\)
b) \(2(9 - x) = - (x + 5)\)
c) \(\dfrac{x+1}{3} = 6\)
d) \(4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15\)
e) \(x - \dfrac{x}{2} = 3\)查看分步解答
a) \(3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3\)
b) \(18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23\)
c) 乘以 3：\(x + 1 = 18 \rightarrow x = 17\)
d) \(4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4\)
e) 乘以 2：\(2x - x = 6 \rightarrow x = 6\)
-
一个长方形花园的长为 12 米，宽为 8 米。在花园周围修建了一条宽为 \(x\) 的小路，使得外围周长是原周长的两倍。
a) 写出一个关于 \(x\) 的方程。
b) 求解 \(x\)。
c) 求外围周长的长和宽。
d) 求总面积（花园 + 小路）。
e) 求花园面积。
f) 求小路的面积。查看分步解答
a) 外围周长的长度：\(L = 12 + 2x\)。宽度：\(W = 8 + 2x\)。外围周长 = \(2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x\)。花园（白色）的周长 = \(2(12) + 2(8) = 40\)。外围是花园的两倍，因此 \(40 + 8x = 2 \times 40\)。
b) \(40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}\)。
c) 长 = \(12 + 2(5) = 22 \text{ m}\)，宽 = \(8 + 2(5) = 18 \text{ m}\)。
d) 总面积 = \(22 \times 18 = 396 \text{ m}^2\)。
e) 花园面积 = \(12 \times 8 = 96 \text{ m}^2\)。
f) 小路面积 = 总面积 - 花园面积 = \(396 - 96 = 300 \text{ m}^2\)。
-
从一个数的两倍中减去 10，其结果乘以二分之一，答案是 5。原来的数字是多少？
查看分步解答
设 \(x\) 为原数。“从一个数的两倍中减去 10”写作 \(2x - 10\)。“结果乘以一半”写作 \(\dfrac{1}{2}(2x - 10)\)。答案是 5：\(\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5\)。
两边同乘以 2：\(2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10\)。
-
解不等式：a) \(x + 2 < 4\) b) \(2(x + 3) \ge 2\) c) \(-3x + 2 \le 11\) d) \(\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3\)
查看分步解答
a) \(x < 2\)
b) \(2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2\)
c) \(-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3\)（因为 -3 是负数，所以改变不等号的方向）。
d) \(4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2\)
-
哪一个有序数对代表函数？
a) \(\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}\)
b) \(\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}\)
c) \(\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}\)查看分步解答
函数是两个集合之间的关系，使得每一个输入仅对应一个输出。
关系 b) 是一个函数。选项 a) 中输入 5 对应 7 和 9。选项 c) 中输入 9 对应 4 和 0。
-
下面哪个图表可能是线性函数的图表？求其方程。
查看分步解答
图表 (3) 是一条直线，因此它是线性函数的图表。
找到两个点 (0,2) 和 (2,6) 并求斜率：\( m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 \)
写出直线的斜截式方程：\( y = 2 + 2 x \)
-
给定 \(y = 2x + 1\)：
a) 求 \(x = 0\) 和 \(x = 1\) 时的 \(y\)。
b) 使用这些值绘制 \(y = 2x + 1\) 的图表。查看分步解答
a) 对于 \(x=0\)，\(y = 2(0)+1 = 1\)。对于 \(x=1\)，\(y = 2(1)+1 = 3\)。有序数对为 \((0, 1)\) 和 \((1, 3)\)。
b) 线性函数的图表是一条直线。可以使用获得的两个有序数对来绘制函数图表，如下所示。
-
下面绘制了两个函数。
a) 在不进行计算的情况下，哪一个具有更高的变化率？
b) 求每个图表上两个点的坐标。
c) 计算各自的变化率以确认 (a)。查看分步解答
a) 与图表 (1) 对应的函数具有更高的变化率，因为它随着 \(x\) 的增加而增长得更快。
b) 图表 (1) 上的点：\((0,1)\) 和 \((3,7)\)。图表 (2) 上的点：\((0,3)\) 和 \((8,8)\)。
c) 变化率 1：\(\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2\)。变化率 2：\(\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8\)。计算证实 (1) 的变化率更高。
-
直角三角形的两条直角边分别为 6 厘米和 8 厘米。斜边的长度是多少？
查看分步解答
设 \(h\) 为斜边。使用勾股定理：\(h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)。\(h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\)。
-
三条直线相交于点 \(O\)。已知 \(\angle AOB = 31^\circ\) 和 \(\angle AOC = 79^\circ\)，求 \(\angle EOF\)。
查看分步解答
注意 \(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)。所以 \(79^\circ = 31^\circ + \angle BOC\)。因此 \(\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ\)。
角 \(\angle BOC\) 和 \(\angle EOF\) 是对顶角，因此大小相等。\(\angle EOF = 48^\circ\)。
-
正方形有多少条对称轴？
查看分步解答
正方形有 4 条对称轴，如下图所示。
-
已知 \(m\angle 1 = 40^\circ\)，求平行相交线中所有八个角的度数。
查看分步解答
角 \(m\angle 1\) 和 \(m\angle 2\) 互补且和为 \(180^\circ\)。所以 \(m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)。
\(m\angle 1\) 和 \(m\angle 3\) 是对顶角（相等）。\(m\angle 3 = 40^\circ\)。
\(m\angle 2\) 和 \(m\angle 4\) 是对顶角（相等）。\(m\angle 4 = 140^\circ\)。
\(m\angle 1\) 和 \(m\angle 5\) 是同位角（相等）。\(m\angle 5 = 40^\circ\)。
\(m\angle 2\) 和 \(m\angle 6\) 是同位角（相等）。\(m\angle 6 = 140^\circ\)。
\(m\angle 4\) 和 \(m\angle 8\) 是同位角（相等）。\(m\angle 8 = 140^\circ\)。
\(m\angle 3\) 和 \(m\angle 7\) 是同位角（相等）。\(m\angle 7 = 40^\circ\)。
-
计算直径为 20 厘米的圆的面积。
查看分步解答
半径 \(r = \text{直径} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}\)。面积 \(= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2\)。
-
计算一直角边为 16 厘米、斜边为 20 厘米的直角三角形的面积。
查看分步解答
使用勾股定理求第二条直角边 \(b\)：\(b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}\)。
面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2\)。
-
在图中，ABDE 是一个正方形，FC 是一条对称轴。求蓝色箭头的面积。
查看分步解答
由于对称性，我们计算箭头下半部分的面积，它是一个梯形。
梯形面积 \(= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}\)。
\(\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24\)。\(\overline{ED} = 16\)。\(\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8\)。
面积 \(= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160\)。
箭头的面积是梯形的两倍：\(2 \times 160 = 320 \text{ unit}^2\)。
-
求由半圆（直径 DE）和等腰三角形 ABG 围成的图形的面积。四舍五入到小数点后两位。
查看分步解答
我们将给定的图形分解为基本图形，其面积可以使用公式轻松计算。
等腰三角形 ABG 的面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\)
梯形 BCFG 的面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5\)
梯形 CDEF 的面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6\)
直径为 DE 的半圆面积 \(= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53\)
总面积 \(= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ mm}^2\)。
-
求一个粮仓的体积和表面积（不含底部），该粮仓由一个圆柱体（\(h = 10\) 米）和一个顶部的半球体（\(r = 6\) 米）组成。
查看分步解答
半球的体积 \(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3\)
圆柱体的体积 \(= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3\)
半球的表面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2\)
圆柱体的表面积（不含底部） \(= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2\)
粮仓总体积 \(= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3\)
粮仓总表面积 \(= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2\)
-
一个长方体沿对角线切成两个全等的三棱柱。求其中一个三棱柱的体积和表面积。
查看分步解答
由于对称性，三棱柱的体积是长方体体积的一半。
长方体体积 \(= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ unit}^3\)。三棱柱体积 \(= 36 \text{ unit}^3\)。
表面积是长方体表面积的一半加上由红色对角线构成的长方形的面积。
长方体表面积 \(= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ unit}^2\)。
使用勾股定理求对角线长度 \(d\)：\(d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5\)。
长方形切片面积 \(= 5 \times 6 = 30 \text{ unit}^2\)。
三棱柱表面积 \(= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ unit}^2\)。
-
折线图显示了渥太华 12 个月的平均最高气温（°C）。
a) 最冷月份的平均最高气温？
b) 最热月份的平均最高气温？
c) 最冷和最热月份之间的差值？
d) 两个连续月份之间的最小增长？
e) 两个连续月份之间的最小下降？
查看分步解答
a) 一月平均气温最低，为 \(-5^\circ\)C。
b) 七月平均气温最高，为 \(26^\circ\)C。
c) 差值 \(= 26 - (-5) = 31^\circ\)C。
d) 最小增长是从一月到二月以及从六月到七月。
e) 最小下降是从七月到八月。
-
测试分数：31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92。
a) 从小到大排序。
b) 求极差。
c) 创建一个从 30–39 开始的频率表。
d) 制作直方图。
e) 如果低于 60 分为不及格，不及格的百分比是多少？查看分步解答
a) 排序后：\(31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97\)。
b) 极差 = 最大值 - 最小值 \(= 97 - 31 = 66\)。
c) 从 30-39 组开始，加上组距（10）以获得其余组别。
d) 垂直轴使用学生人数，水平轴使用组别来制作直方图。
e) 30-39、40-49 和 50-59 这三组的分数低于 60。\(1 + 2 + 3 = 6\) 人不及格。百分比 \(= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%\)。
-
求 \(\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}\) 的中位数、下四分位数和上四分位数。
查看分步解答
排序后的数据：\(\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}\)
中位数：中间的值是 3。
下四分位数：中位数以下的数据值的中位数 \(\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}\) 是 2。
上四分位数：中位数以上的数据值的中位数 \(\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}\) 是 9。
-
马克（Mark）前四次测验的成绩分别是 83、94、97、93。他在第五次测验中必须得多少分才能使平均分至少达到 90？
查看分步解答
设 \(x\) 为第五次测验的成绩。平均分至少为 90：\(\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90\)
乘以 5：\(367 + x \ge 450\)。
求解 \(x\)：\(x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83\)。马克需要至少考 83 分。
-
掷一个公平的 6 面骰子，得到偶数的概率是多少？
查看分步解答
样本空间 = \(\{1,2,3,4,5,6\}\)。偶数集 = \(\{2,4,6\}\)。
概率 \(= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)。
-
抛硬币并掷骰子：a) 得到反面且点数为 4 的概率？b) 得到正面且点数为奇数的概率？
查看分步解答
a) 得到反面的概率是 \(1/2\)。数字 4 的概率是 \(1/6\)。独立事件：\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}\)。
b) 得到正面的概率是 \(1/2\)。奇数的概率是 \(3/6 = 1/2\)。独立事件：\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)。
-
本（Ben）从标有 (1)、(2)、(3) 的 3 张卡片中抽出一张，放回后再次抽取。a) 连续两次抽到 3 的概率？b) 两次抽到相同数字的概率？
查看分步解答
a) 在 \(3 \times 3 = 9\) 种可能的结果中，两次都是 3 的结果只有 1 个 \((3,3)\)。概率 \(= \dfrac{1}{9}\)。
b) 9 种结果中有三个数字相同：\((1,1), (2,2), (3,3)\)。概率 \(= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)。
-
在一项调查中：总共 20 名学生中，5 名喜欢蓝色，6 名喜欢棕色。随机选择一名学生两者都不喜欢的概率是多少？
查看分步解答
如果 5 人喜欢蓝色，6 人喜欢棕色，那么 \(20 - 5 - 6 = 11\) 人两者都不喜欢。
概率是 \(\dfrac{11}{20}\)。