本页面收集了八年级一元二次方程问题，包含详细解答和清晰解释。这些应用题帮助学生练习和掌握一元二次方程的关键概念。更多相关内容，请访问我们的一元二次方程教程。
两个连续正整数的乘积等于56。求这两个整数。
两个连续整数的形式为 \( x \) 和 \( x + 1 \)。
它们的乘积等于56：
\[ x(x + 1) = 56 \]
解方程并找出两个数 \( x \) 和 \( x + 1 \)。上述方程可写为：
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]
解： \( x = 7 \)， \( x = -8 \)
\( x = -8 \) 无效，因为数字必须为正数。因此：
\( x = 7 \) 和 \( x + 1 = 8 \) 是两个连续的数字。
两个连续数字的平方和等于145。求这两个数字。
两个连续整数的形式为 \( x \) 和 \( x + 1 \)。
它们的平方和等于145：
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]
展开并合并同类项，然后写成标准形式：
\[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]
将所有项除以2：
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]
解： \( x = 8 \)（仅取正解）
两个连续数字为：
\( x = 8 \) 和 \( x + 1 = 9 \)。
一个矩形花园的长度为 \( x + 2 \)，宽度为 \( x + 1 \)，面积为42。求该花园的周长。
面积等于长乘以宽，所以：
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]
展开并合并同类项：
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]
改写为标准形式：
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]
解： \( x = -8 \) 和 \( x = 5 \)
只有 \( x = 5 \) 给出正的长度和宽度。
长度： \( x + 2 = 7 \)
宽度： \( x + 1 = 6 \)
周长为：
\[ 2 \times \text{长度} + 2 \times \text{宽度} = 14 + 12 = 26 \]
一个直角三角形的其中一条直角边比另一条长3厘米。其斜边比长直角边长3厘米。斜边的长度是多少？
设 \( y \) 为短直角边的长度。则长直角边为 \( y + 3 \)。
斜边比长直角边长3厘米，所以：
\( (y + 3) + 3 = y + 6 \)
使用勾股定理：
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]
展开并简化：
\[ y^{2} + y^{2} + 6y + 9 = y^{2} + 12y + 36 \]
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]
只有 \( y = 9 \) 有效，因为长度必须为正。
斜边长度：
\( y + 6 = 15 \text{ 厘米} \)
一个垂直发射的物体离地面的高度 \( h \) 由 \( h = -16 t^2 + 64 t + 32 \) 给出，其中 \( h \) 的单位是英尺，\( t \) 的单位是秒。在什么时间 \( t \) 物体离地面80英尺？
当 \( h = 80 \) 时，物体离地面80英尺，所以：
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]
改写为标准形式：
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \implies -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ -16(t^{2} - 4t + 3) = 0 \]
\[ -16 (t - 1)(t - 3) = 0 \]
解： \( t = 1 \) 秒 和 \( t = 3 \) 秒。
物体在 \( t = 1 \) 时达到80英尺，然后上升，接着下降并在 \( t = 3 \) 时再次经过80英尺，然后继续下落。
一个矩形的面积等于96平方米。如果其周长等于40米，求该矩形的长度和宽度。
设 \( L \) 为长度，\( W \) 为宽度。已知：
\[ L \times W = 96 \]
周长为40，所以：
\[ 2L + 2W = 40 \implies L + W = 20 \implies L = 20 - W \]
代入面积方程：
\[ (20 - W) \times W = 96 \]
展开并重新排列：
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]
因式分解并求解：
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]
解： \( W = 8 \)， \( W = 12 \)
找出对应的 \( L \)：
\[ \begin{cases} W = 8 \implies L = 12 \\ W = 12 \implies L = 8 \end{cases} \]
假设长度较长，则尺寸为：
\( W = 8 \) 和 \( L = 12 \)
一个三角形的高比其对应的底边长3英尺。该三角形的面积等于54平方英尺。求该三角形的底边和高。
设 \( b \) 为底边，则高为 \( b + 3 \)。面积公式：
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]
两边乘以2：
\[ 108 = b(b + 3) \]
改写为一元二次方程：
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]
求解一元二次方程：
\[ b = 9 \quad \text{或} \quad b = -12 \]
底边必须为正，所以 \( b = 9 \)。高为：
\[ 9 + 3 = 12 \]
三个连续正整数的第一个和第三个的乘积等于第二个数的平方减1。求这三个整数。
设整数为 \( x \)、\( x + 1 \) 和 \( x + 2 \)。
第一个和第三个的乘积为：
\[ A = x(x + 2) = x^{2} + 2x \]
第二个数的平方减1：
\[ B = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x \]
对于所有实数 \( x \)，表达式 \( A \) 和 \( B \) 都相等。因此，任意一组三个连续整数都满足：三个连续正整数的第一个和第三个的乘积等于第二个数的平方减1。
两个正数的乘积等于2，它们的差等于 \( \dfrac{7}{2} \)。求这两个数。
设 \( x \) 为较小的数。则较大的数为 \( x + \frac{7}{2} \)。
乘积为：
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]
展开并写为标准一元二次方程：
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]
解方程：
\[ x = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad x = -4 \]
正数解为 \( x = \frac{1}{2} \)，所以这两个数为：
\[ \frac{1}{2} \quad \text{和} \quad \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4 \]
三个连续整数的平方和等于77。这三个整数是什么？
设整数为 \( x \)、\( x + 1 \) 和 \( x + 2 \)。
它们的平方和为：
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]
展开并简化：
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]
求解一元二次方程：
\[ x = 4 \quad \text{或} \quad x = -6 \]
对于 \( x = 4 \)，整数为：
\( 4, 5, 6 \)
对于 \( x = -6 \)，整数为：
\( -6, -5, -4 \)