1 - 数字
π 不是一个有理数。
数字 34.6597 中，数位 5 的值是
\( \) \( \)\( \) \( \require{cancel} \) \( \require{bbox} \)
2 - 数列
我们注意到，从一项到下一项，我们加了 \( 3 \)；因此下一项等于：\( 12 + 3 = 15 \)
我们注意到，从一项到下一项，我们乘以了 \( 3 \)；因此下一项由下式给出：\( 27 \times 3 = 81 \)
a) 序列的前五项（从 \( n = 1 \) 开始）通过将 \( n \) 替换为 \( 1, 2, 3, 4, 5 \) 代入表达式 \( 2 n + 1 \) 得到：
对于 \( n = \color{red}1 \) , \( 2 n + 1 = 2( \color{red}1) + 1 = 3 \)
对于 \( n = \color{red}2 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}2) + 1 = 5 \)
对于 \( n = \color{red}3 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}3) + 1 = 7 \)
对于 \( n = \color{red}4 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}4) + 1 = 9 \)
对于 \( n = \color{red}5 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}5) + 1 = 11 \)
b) 从一项到下一项，我们加了 \( 2 \)，因此它是一个 等差数列，公差等于 \( 2 \)。
a) 序列的前五项（从 \( n = 1 \) 开始）通过将 \( n \) 替换为 \( 1, 2, 3, 4, 5 \) 代入表达式 \( 3 \times 2^{n-1} \) 得到：
对于 \( n = \color{red}1 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}1-1} = 3 \times 2^{0} = 3 \)
对于 \( n = \color{red}2 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}2-1} = 3 \times 2^{1} = 6 \)
对于 \( n = \color{red}3 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}3-1} = 3 \times 2^{2} = 12 \)
对于 \( n = \color{red}4 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}4-1} = 3 \times 2^{3} = 24 \)
对于 \( n = \color{red}5 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}5-1} = 3 \times 2^{4} = 48 \)
b) 从一项到下一项，我们乘以了 \( 2 \)，因此它是一个 等比数列，公比等于 \( 2 \)。
3 - 集合
a) 两个集合的交集是同时属于两个集合的所有元素组成的集合。因此
\( S_1 \cap S_2 = \{ 2, 9, 12 \} \)
b) 两个集合的并集是两个集合中所有元素组成的集合（不重复）。因此
\( S_1 \cup S_2 = \{ 0, 2, 9, 10, 11, 12 \}\)
任何实数要么是有理数要么是无理数，但不能同时是两者，因此
\( Q \cap P = \text{空集} \)
所有实数的集合是有理数和无理数的并集，因此
\( Q \cup P = R \)
b) 和 d) 是正确的。
4 - 数字的因数、倍数和整除性
a) \( 345 = 3 \times 5 \times 23 \)
b) \( 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 \)
c) \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)
如果一个数的各位数字之和能被 \( 3 \) 整除，那么这个数就能被 \( 3 \) 整除。
a)
将给定数字 \( 101899 \) 的所有数字相加：\[ 1+0+1+8+9+9 = 28 \]。
结果 \( 28 \) 不能被 \( 3 \) 整除，因此给定数字 \( 101899 \) 不能被 \( 3 \) 整除。
b)
将给定数字 \( 900234 \) 的所有数字相加：\[ 9+0+0+2+3+4 = 18 \]
结果 \( 18 \) 能被 \( 3 \) 整除，因此给定数字 \( 900234 \) 能被 \( 3 \) 整除。
c)
将给定数字 \( 134567280 \) 的所有数字相加：\[ 1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36 \]
\( 36 \) 能被 \( 3 \) 整除，因此给定数字 \( 134567280 \) 能被 \( 3 \) 整除。
如果一个数最右边的两位数字组成的数能被 \( 4 \) 整除，那么这个数就能被 \( 4 \) 整除。
a)
给定数字 \( 1890\color{red}{01} \) 最右边的两位数字是 \( 01 \)，它们组成的数不能被 \( 4 \) 整除，因此 \( 189001 \) 不能被 \( 4 \) 整除。
b)
给定数字 \( 10056\color{red}{12} \) 最右边的两位数字是 \( 12 \)，它们组成的数能被 \( 4 \) 整除，因此 \( 1005612 \) 能被 \( 4 \) 整除。
c)
给定数字 \( 10034560\color{red}{24} \) 最右边的两位数字是 \( 24 \)，它们组成的数能被 \( 4 \) 整除，因此 \( 1003456024 \) 能被 \( 4 \) 整除。
一个数要能被 \( 6 \) 整除，它必须既能被 \( 2 \) 整除也能被 \( 3 \) 整除。
a)
\( 234 \) 能被 \( 2 \) 整除，因为它的最右边数字是 \( 4 \) 。它也能被 \( 3 \) 整除，因为它的各位数字之和 \( 2+3+4 = 9 \) 能被 \( 3 \) 整除。因此 \( 234 \) 能被 \( 6 \) 整除。
b)
\( 12345 \) 不能被 \( 6 \) 整除，因为它不能被 \( 2 \) 整除。
c)
\( 12114290910 \) 能被 \( 2 \) 整除，因为它的最右边数字是 \( 0 \)。它的各位数字之和 \( 1+2+1+1+4+2+9+0+9+1+0 = 30 \) 能被 \( 3 \) 整除，因此给定数字 \( 12114290910 \) 也能被 \( 3 \) 整除。由于给定数字既能被 \( 2 \) 整除也能被 \( 3 \) 整除，所以它能被 \( 6 \) 整除。
5 - 分数和带分数
从约分后的分数开始，如果可能的话，乘以一个因子以得到第二个分数。
a) 将分数 \( \displaystyle \frac{7}{3} \) 的分子和分母乘以 \( 5 \) 并化简。
\( \displaystyle \frac{7 \times 5 }{3 \times 5 } = \frac{35}{15} \)
我们得到一个分母相同但分子与给定分数 \( \displaystyle \frac{10}{15} \) 不同的分数，因此这两个分数不是等价的。
b) 将分数 \( \displaystyle \frac{2}{3} \) 的分子和分母乘以 \( 4 \) 并化简。
\( \displaystyle \frac{2 \times 4}{3 \times 4 } = \frac {8}{12}\)
我们得到一个分母和分子都与给定分数 \( \displaystyle \frac{8}{12} \) 相同的分数，因此这两个分数是等价的。
c) 将分数 \( \displaystyle \frac{7}{12} \) 的分子和分母乘以 \( 3 \) 并化简。
\( \displaystyle \frac{7 \times 3 }{12 \times 3} = \frac{21}{36} \)
我们得到一个分母和分子都与给定分数 \( \displaystyle \frac{21}{36} \) 相同的分数，因此这两个分数是等价的。
a) 将三个分数重写为最小公分母，即分母 \( 5, 10 \) 和 \( 15 \) 的最小公倍数（LCM）。 \( 5, 10 , 15 \) 的 LCM = \( 30 \)
因此
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{15} \\~\\ \quad \quad = \frac{2 \times 6 }{5 \times 6} + \frac{3 \times 3}{10 \times 3} - \frac{1 \times 2}{15 \times 2} \\~\\ \quad \quad = \frac{12 }{30} + \frac{9}{30} - \frac{2}{30} \\~\\ \quad \quad = \frac{19}{30} \)
b) 分母相乘，分子相乘。
\( \displaystyle \frac{7}{16} \times \frac{4}{14} = \frac{7 \times 4}{16 \times 14} \)
将分母中的项因式分解：\( 16 = 4 \times 4 \) 和 \( 14 = 2 \times 7 \)
\( \displaystyle = \frac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)} \)
约去公因数并化简。
\( \quad \quad \displaystyle = \frac{\cancel{\color{blue}{7}} \times \cancel{\color{red}{4}}}{(\cancel{\color{red}{4}}\times 4) \times (2 \times \cancel{\color{blue}{7}})} = \frac{1}{8} \)
c) 将分数的除法重写为乘以倒数；因此
\( \displaystyle \frac{11}{2} \div 4 = \frac{11}{2} \times \frac{1}{4} \)
化简。
\( \quad \quad = \frac{11}{8} \)
d) 将整数部分放在一起，分数部分放在一起。
\( \displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{8} = (4-1+1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ) \)
化简。
\( \quad \quad = 4 \frac{3}{8} \)
e) 将表达式 \( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \) 和 \( 3 + \frac{1}{3} \) 转换为分数。
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \) 和 \( 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \)
仅使用分数重写给定表达式。
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \div \left(3 + \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{4} \div \frac{10}{3} \)
将除法重写为乘以倒数。
\( \quad \quad = \frac{7}{4} \times \frac{3}{10} \)
化简。
\( \quad \quad = \frac{21}{40} \)
a) \( 0.2 \div 0.6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
b) \( 1 \div 0.4 = \frac{10}{4} \)
这是一个假分数，因此可以写为带分数。
\( \quad \quad = \frac{8+2}{4} = \frac{8}{4} + \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2} \)
Dalia 将“薪水的 \( \frac{1}{4} \)”用于食品和饮料。
“薪水的 \( \frac{1}{4} \)”的 \( \frac{1}{5} \) 用于软饮料。
“薪水的 \( \frac{1}{4} \)”的 \( \frac{1}{6} \) 用于饼干。
用于软饮料和饼干的总花费：“薪水的 \( \frac{1}{4} \)”的 \( \frac{1}{5} \) 加上 “薪水的 \( \frac{1}{4} \)”的 \( \frac{1}{6} \)。
可以写为：
\( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{11}{120} \)
Dalia 将薪水的 \( \frac{11}{120} \) 用于软饮料和饼干。
Ben 花费：\( \frac{3}{4} \times 10 = 7.5 \) 小时在工作日做作业。
Linda 花费：\( \frac{5}{4} \times 10 = 12.5 \) 小时在工作日做作业。
使用带分数，一升半果汁写作：\( 1\frac{1}{2} \)
使用分数，六分之一升写作：\( \frac{1}{6} \)
可以倒满的玻璃杯数量 = \( 1\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 9 \)
6 - 指数和科学记数法
a) \( (-2)^3 - 5^3 + (-3)^4 \\~\\ \quad \quad = - 8 - 125 + 81 \\~\\ \quad \quad = - 52\)
b) \( \quad (-1)^{-3} - 5^0 + \frac{4^2}{(-2)^4} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{(-1)^3} - 1 + \frac{16}{16} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{-1} -1 +1 = -1 \)
c) \( \quad \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^{-2} \\~\\ \quad \quad = \frac{3^2}{4^2} + \frac{4^{-2}}{3^{-2}} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{16} + \frac{3^2}{4^2} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{8}\)
a) \( 10000 = 10^4\)
b) \( 0.0000001 = 10^{-7}\)
c) \( \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}\)
a) \( 12.4 \times 10^3 = 1.24 \times 10^4\)
b) \( 0.0023 \times 10^{-2} = 2.3 \times 10^{-5} \)
c) \( \frac{12}{100000} = \frac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)
7 - 根式
a) \( \sqrt{16} = 4 \) 因为 \( 4^2 = 16 \)
b) \( \quad \sqrt{9} = 3 \) 因为 \( 3^2 = 9 \)
c) \( \quad \sqrt[3]{8} = 2 \) 因为 \( 2^3 = 8 \)
a) \( \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{3 } \times \sqrt{ 25} = 5 \sqrt{3 } \)
b) \( \quad \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{ 5} = 6 \sqrt{ 5} \)
c) \( \quad \sqrt[3]{8 \times 7} = \sqrt[3]{8 } \times \sqrt[3]{7} = 2 \sqrt[3]{7} \)
8 - 比例及相关问题
a) 使用图上的一个点。例如，当 \( t = 1 \) 时，\( d = 4 \)
将 \( t \) 替换为 \( 1 \)，\( d \) 替换为 \( 4 \) 代入方程 \( d = k \times t\)，得到：
\( 4 = k \times 1 \)
化简得到：
\( k = 4 \)
因此，距离 \( d \) 与时间 \( t \) 之间的关系由下式给出：
\[ d = 4 \times t\]，其中 \( d \) 单位为公里，\( t \) 单位为小时。
b) 求解方程，找出 Leila 行走 d = 10 公里所需的时间。
\( 10 = 4 t \)
解出 \( t \)：
\( t = 10 \div 4 = 2.5 \) 小时
\( 2.5 \) 小时也可以写作 \( 2:30 \)。
她在 \( 8 + 2:30 = 10:30 \) 时距离起点 10 公里。
添加了一列包含比值 \( y / x \) 的列，它显示 \( y / x \) 是常数且等于 \( 3 \)。因此
\( y \) 与 \( x \) 成正比吗？
a)
由于 \( y / x = 3 \)，我们可以写 \( y = 3 x \)
因此
\( k = 3 \)
b)
\( y = 3 \times 10.2 = 30.6 \)
a) 根据给定信息，我们可以写出三个形如 \( (V , t) \) 的点：\( (2,10) \)、\( (4,20) \) 和 \( (6,30) \)，如下所示。
b) 这三个点位于同一条直线上，因此 \( V \) 和 \( t \) 之间存在比例关系。
c) 比例常数 \( k \) 在方程 \( V = k \; t \) 中定义。因此
\[ k = V \div t \]
使用上述任意一个点，\( k \) 可以如下求出：
\( k = V \div t = 10 \div 2 = 5 \)
或 \( k = V \div t = 20 \div 4 = 5 \)
或 \( k = V \div t = 30 \div 6 = 5 \)
因此
\( V = 5 t \)
d) 由于我们有 \( V = k \; t \) 的关系，且 \( V = 100 \)，我们将 \( V = 100 \) 代入方程 \( V = 5 t \)。
\( 100 = 5 t \)
解上述方程求 \( t \)：
\( t = 100 \div 5 = 20 \) 分钟，需要 20 分钟来注满一个 100 升的水箱。
9 - 百分比及相关问题
涨价后的价格 = \( 120 \) + 涨价额 = \( 120 \) + \( 120 \) 的 \( 12\% \)
用数学形式表示为：
涨价后的价格 = \( 120 + 12\% \times 120 = 120 + \frac{12}{100} \times 120 \\~\\ = 120 + 14.4 \\~\\ = \$134.40 \)
Jimmy 薪水用于账单的百分比 = 他薪水的 \( 50\% \) 的 \( 15\% \)
用数学形式表示为：
\( \frac{15}{100} \times \frac{50}{100} \\~\\ = \frac{15 \times 50}{100 \times 100} \\~\\ = \frac{750}{10000} \\~\\ = \frac{7.5}{100} \\~\\ = 7.5\% \)
含税费用 = \( 40 + 40 的 15\% = 40 + \frac{15}{100} \times 40 = \$46\)
含小费费用 = \( 46 + 46 的 \frac{5}{100} = \$48.30 \)
Kamelea 的开销 \( = \$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600 \)
储蓄 = 薪水 - 开销 \( = \$5000 - \$3600 = \$1400 \)
Kamelea 的储蓄占薪水的百分比 = \( \frac{1400}{5000} = 0.28 = 28 \% \)
设 \( x \) 为未知数。我们已知：
\( x \) 的 \( \frac{1}{3} \) 的 \( 10\% \) = 3
用数学形式表示为：
\( \frac{10}{100} \times \frac{1}{3} \times x = 3 \)
上述方程可以写为：
\( \frac{10 x}{300} = 3 \)
方程两边乘以 \( 300 \)：
\( \frac{10 x}{300} \times 300 = 3 \times 300 \)
化简：
\( 10 x = 900 \)
解出 \( x \)：
\( x = 900 \div 10 = 90 \)
美国汽油价格涨幅百分比 = \( \frac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\% \)
法国汽油价格涨幅百分比 = \( \frac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\% \)
那一年美国和法国的汽油价格涨幅百分比相同。
10 - 单位换算
将等式 \( \quad 1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft} \quad \) 两边除以 \( \quad 3.28084 \text{ ft} \quad \)。
\( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = \frac{3.28084 \text{ ft}}{3.28084 \text{ ft}} \)
化简得到：
\( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1 \)
现在我们将给定长度 \( 10.5 \text{ ft} \) 写作：
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times 1 \)
用 \( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \) 替换 \( 1 \)。因此：
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \)
约去 \( \text{ ft} \)：
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \cancel{\text{ ft}} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \cancel{\text{ ft}}} \)
计算得到：
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \cancel{\text{ ft}} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \cancel{\text{ ft}}} = 3.20039 \text{ m}\)
\( 1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd} \)
将给定等式 \( 1 \; m = 1.09361 \; yd \) 两边平方，得到：
\( (1 \; m) \times (1 \; m) = (1.09361 \; yd) \times (1.09361 \; yd) \)
化简：
\( 1 \; m^2 = 1.19598 \; yd^2 \)
\( 1.2 \; m^2 = 1.2 \times 1.19598 \; yd^2 = 1.435176 \; yd^2\)
\( 1 \; km = 1000 \; m \) 且 \( 1 \; hr = 3600 \;sec \)
因此
\( 100 \; km / hr = \frac{100 \; km}{1 hr} = \frac{100 \times 1000 \; m }{1 \times 3600 \; sec}\)
化简：
\( 100 \; km / hr = 27.77777 \; m/sec \)
11 - 求表达式的值
将给定表达式中的 \( x \) 替换为 \( 1 \)。
\( \; \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{(1)+2} - \frac{1}{(1)-2}\; \)
计算：
\( = \frac{1}{3} - \frac{1}{-1} = \frac{1}{3} + 1 = 1 \frac{1}{3} \; \)
将给定表达式中的 \( x \) 替换为 \( -5 \)。
\( \; | \frac{-x+1}{-6} | + x^2 - 1 = | \frac{-(-5)+1}{-6} | + (-5)^2 - 1 \; \)
计算：
\( = | \frac{5+1}{-6} | + 25 - 1 = | -1 | + 25 - 1 \\~\\ = 1 + 25 - 1 = 25 \)
将给定表达式中的 \( a\) 和 \( b \) 分别替换为 \( 2 \) 和 \( -2 \)。
\( \; 2^a - \sqrt{b^2} = 2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2}\; \)
计算：
\( = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \)
12 - 代数
复习
代数中的分配律可用于如下展开：
\[ a (x + y ) = \color{red}a \times x + \color{red}a \times y \]
分配律也可以反过来用于因式分解：
\[ \color{red}a \times x + \color{red}a \times y = \color{red}a (x + y ) \]
a)
在表达式 \( 3 (x + 2) \) 上使用分配律。
\( 3 (x + 2) + x - 12 = 3 x + 3\times 2 + x - 12 \\~\\ \qquad = 3 x + 6 + x - 12 \)
合并同类项。
\( = (3 x + x) + (6 -12) \)
化简。
\( = 4 x - 6 \)
b)
在表达式 \( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) \) 上使用分配律。
\( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) + 2x + 4 = \frac{1}{5} \times 15 x + \frac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 \)
使用 \( \frac{1}{5} \times 15 x = \frac{15}{5} x = 3 x \) 和 \( \frac{1}{5} \times 20 = \frac{20}{5} = 4 \) 进行化简。
\( = 3 x + 4 + 2x + 4 \)
合并同类项。
\( = (3x + 2x) + ( 4 + 4 ) \)
化简。
\( = 5x + 8 \)
c)
在表达式 \( 0.2 ( 5 x + 10) \) 上使用分配律。
\( 0.2 ( 5 x + 10) + 3x - 4 = 0.2 \times 5 x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 \)
化简。
\( = x + 2 + 3x - 4 \\~\\ \qquad = (x+3x) + (2-4) \\~\\ \qquad = 4x - 2 \)
化简表达式。
a)
\( 2x \times 3 x = (2 \times 3) \times ( x \times x ) = 6 x^2\)
b)
\( \displaystyle \frac{1}{2}x \times \frac{4}{5} x = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} ) \times (x \times x) = \frac{2}{5} x^2 \)
c)
\( 3x^2 \times 5 x^3 = (3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15 x^{2+3} = 15 x^5 \)
a)
系数 \( 21 \) 和 \( 7 \) 的最大公因数是 \( 7 \)，因此：
\( 21 x + 7 = \color{red}7 \times 3 x + \color{red}7 \times 1\)
反向使用分配律提取公因数 \( 7 \)。
\( = 7 ( 3x + 1 ) \)
b)
系数 \( 24 \) 和 \( 20 \) 的最大公因数是 \( 4 \)，因此：
\( 24 - 20 x = \color{red}4 \times 6 - \color{red}4 \times 5x \)
反向使用分配律提取公因数 \( 4 \)。
\( = 4 (6 - 5x) \)
c)
系数 \( 8 \)、\( 4 \) 和 \( 32 \) 的最大公因数是 \( 4 \)，因此：
\( 8 b - 4 a + 32 = \color{red}4 \times 2 b - \color{red}4 \times a + \color{red}4 \times 8\)
反向使用分配律提取公因数 \( 4 \)。
\( = 4 (2b - a + 8) \)
13 - 一元方程及相关问题
a)
给定方程 \( 3(x - 2 ) = 3 \)
使用分配律展开表达式 \( 3(x - 2 ) \)：
\( 3 x - 6 = 3 \)
两边加 \( 6 \)。
\( 3 x - 6 + 6 = 3 + 6 \)
化简。
\( 3 x = 9 \)
两边除以 \( 3 \)。
\( 3 x \div 3 = 9 \div 3\)
化简并解出 \( x \)。
\( x = 3 \)
b)
给定方程 \( 2(9 - x) = - (x + 5) \)
使用分配律展开方程两边的括号。
\( 18 - 2 x = - x - 5 \)
方程两边加 \( 2x \) 并化简。
\( 18 - 2 x + 2x = - x - 5 + 2x \)
\( 18 = x - 5 \)
两边加 \( 5 \) 并化简。
\( x = 23 \)
c)
给定方程 \( \displaystyle \frac{x+1}{3} = 6 \)
两边乘以分母 \( 3 \)。
\( \displaystyle \frac{x+1}{3} \times 3 = 6 \times 3\)
化简。
\( x+1 = 18 \)
解出 \( x \)。
\(x = 17 \)
d)
给定方程 \( 4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15\)
使用分配律展开方程左边的括号。
\( 4 x + 4 \times \frac{1}{4} = -15\)
化简。
\( 4 x + 1 = -15\)
解出 \( x \)。
\( 4 x + 1 - 1 = -15 - 1\)
\( 4 x = -16\)
\( x = - 4 \)
e)
给定方程 \( x - \displaystyle \frac{x}{2} = 3 \)
所有项乘以分母 \( 2 \)。
\( x \times 2 - \displaystyle \frac{x}{2} \times 2 = 3 \times 2 \)
化简并解出 \( x \)。
\( 2 x - x = 6 \)
\( x = 6 \)
已知：
a)
外围长度：\( L = 12 + x + x = 12 + 2x\)
外围宽度：\( W = 8 + x + x = 8 + 2x \)
外围周长 \( = 2 \times L + 2 \times W = 2 (12 + 2x) + 2(8 + 2x) \)
展开并合并同类项。
外围周长 \( = 24 + 4x + 16 + 4x = 40 + 8x \)
花园（白色部分）的周长 \( = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 40 \)
已知“外围周长等于花园周长的两倍”，我们可以写出方程：
\( 40 + 8x = 2 \times 40 \)
b)
化简 a) 中得到的方程的右边。
\( 40 + 8x = 80 \)
解出 \( x \)。
\( 8x = 40 \)
\( x = 5 \; \text{ m} \)
c) \( L = 12 + 2x = 12 + 2 \times 5 = 22 \; \text{ m} \)
\( W = 8 + 2x = 8 + 2 \times 5 = 18 \; \text{ m} \)
d)
花园和小径的面积 = \( = L \times W = 22 \times 18 = 396 \; m^2\)
e) 花园的面积 = \( 12 \times 8 = 96 \; m^2\)
f) 小径的面积 = 花园和小径的面积 - 花园的面积 \( = 396 - 96 = 300 \; m^2\)。
“一个数的两倍减去 10”写作：\( 2x - 10 \)
“结果乘以一半”写作：\( \frac{1}{2} (2x - 10) \)
“答案是 5”写作：\( \frac{1}{2} (2x - 10) = 5\)
方程两边乘以 2 并化简。
\( \frac{1}{2} (2x - 10) \times 2 = 5 \times 2\)
\( 2x - 10 = 10 \)
原数等于 \( 10 \)。
14 - 一元不等式
a)
给定不等式 \( x+2 \lt 4 \)
不等式两边减去 \( 2 \) 并化简。
\( x+2 -2 \lt 4 -2 \)
\( x \lt 2 \)
b)
给定不等式 \( 2(x + 3)\ge 2 \) 使用分配律展开不等式左边的括号并化简。
\( 2 \times x + 2 \times 3 \ge 2 \)
\( 2 x + 6 \ge 2 \)
不等式两边减去 \( 6 \) 并化简。
\( 2 x + 6 - 6 \ge 2 - 6 \)
\( 2 x \ge - 4 \)
不等式两边除以 \( 2 \) 并化简。
\( \frac{2 x}{2} \ge \frac{ - 4}{2} \)
\( x \ge -2 \)
c) 给定不等式 \( -3x+2 \le 11 \)
不等式两边减去 \( 2 \) 并化简。
\( -3x+2 -2 \le 11 - 2 \)
\( -3x \le 9 \)
不等式两边除以 \( -3 \) 并改变不等号的方向，因为 \(-3 \) 是负数。
\( \frac{-3x}{-3} \color{red}{ \ge } \frac{9}{-3} \)
化简。
\( x \ge - 3 \)
d) 给定不等式 \( \frac{4x+1}{2} \ge x+3 \)
不等式两边乘以分母 \( 2 \)。
\( \frac{4x+1}{2} \times 2 \ge (x+3) \times 2 \)
化简。
\( 4x+1 \ge 2x + 6 \)
不等式两边减去 \( 1 \) 并化简。
\( 4x+1 - 1\ge 2x + 6 - 1 \)
\( 4x \ge 2x + 5 \)
不等式两边减去 \( 2x \) 并化简。
\( 4x - 2x \ge 2x + 5 - 2x \)
\( 2x \ge 5 \)
不等式两边除以 \( 2 \) 并化简。
\( x \ge 5/2 \)
15 - 函数
函数是两个集合之间的一种关系，使得每个输入恰好对应一个输出。
a)
关系 \( \{ (1,2) , (3,4) , (5,7) , (5,9) \} \) 不是 一个函数，因为对于输入 \( 5 \) 对应两个输出：\(7 \) 和 \( 9 \)。
b)
关系 \( \{ (-1,-2) , (3,4) , (5,7) , (7,9) \} \) 是一个函数，因为每个输入恰好对应一个输出。
c)
关系 \( \{ (3,3) , (9,4) , (5,7) , (9,0) \} \) 不是 一个函数，因为对于输入 \( 9 \) 对应两个输出：\( 4 \) 和 \( 0 \)。
图 (3) 是一条直线，因此是线性函数的图像。
a)
当 \( x = 0 \) 时，\( y = 2 x + 1 = 2(0) + 1 = 1\)
当 \( x = 1 \) 时，\( y = 2 x + 1 = 2(1) + 1 = 3\)
b) a) 部分的结果可以用有序对 \( (x , y) \) 表示为 \( (0 , 1) \) 和 \( (1 , 3) \)。
给定函数 \( y = 2 x + 1 \) 是一个线性函数，其图像是一条直线，因此可以使用上面得到的两个有序对来绘制函数图像，如下所示。
a) 对应图 (1) 的函数有更高的变化率，因为随着 \( x \) 增加，它增加得更快。
b)
图 (1) 上的点：\( (0,1) \) , \( (3,7) \) ；还有许多其他点。
图 (2) 上的点：\( (0,3) \) , \( (8,8) \) ；还有许多其他点。
c)
图 (1) 的变化率：\( r_1 = \frac{\text{y 的变化量} }{\text{x 的变化量}} = \frac{7-1}{3 - 0} = 2 \)
图 (2) 的变化率：\( r_2 = \frac{\text{y 的变化量} }{\text{x 的变化量}} = \frac{8-3}{8 - 0} = 5/8 \)
d)
计算表明图 (1) 的变化率高于图 (2) 的变化率，这确认了上面 a) 部分的答案。
16 - 二维图形
设 \( h \) 为三角形的斜边，应用勾股定理写出：
\( h^2 = 6^2 + 8^2 \)
对上述方程两边取平方根，解出 \( h \)。
\( h = \sqrt {6^2 + 8^2} \\~\\ \qquad = \sqrt {36 + 64} \\~\\ \qquad = \sqrt{100} \\~\\ \qquad = 10 \text{ cm}\)
注意 \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \)
用已知角的度数替换。
\( 79^{\circ} = 31^{\circ} + \angle BOC \)
因此
\( \angle BOC = 79^{\circ} - 31^{\circ} = 48^{\circ} \)
注意角 \( \angle BOC \) 和 \( \angle EOF \) 是对顶角，因此度数相等。所以
\( \angle EOF = 48^{\circ} \)
正方形有 4 条对称轴，如下所示。
角 \( m \angle 1 \) 和 \( m \angle 2 \) 是互补角，因此它们的和等于 \( 180^{\circ} \)。所以：
\( 40^{\circ} + m \angle 2 = 180^{\circ} \)
解出 \( m \angle 2 \)。
\( m \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\)
\( m \angle 1 \) 和 \( m \angle 3 \) 是对顶角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 3 = m \angle 1 = 40^{\circ} \)
\( m \angle 2 \) 和 \( m \angle 4 \) 是对顶角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 4 = m \angle 2 = 140^{\circ} \)
\( m \angle 1 \) 和 \( m \angle 5 \) 是同位角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 5 = m \angle 1 = 40^{\circ}\)
\( m \angle 2 \) 和 \( m \angle 6 \) 是同位角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 6 = m \angle 2 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 4 \) 和 \( m \angle 8 \) 是同位角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 8 = m \angle 4 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 3 \) 和 \( m \angle 7 \) 是同位角，因此度数相等，所以：
\( m \angle 7 = m \angle 3 = 40^{\circ}\)
17 - 平面图形的周长和面积
半径：\( r = \text{直径} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm} \)
\( \text{面积} = \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314 \; cm^2 \)
直角三角形的面积 \( A \)（直角边为 \( a \) 和 \( b \)）由下式给出：
\( A = \frac{1}{2} \times a \times b \)
已知一条直角边的长度 \( a = 16 \)，我们需要求第二条直角边的长度 \(b\)。
使用勾股定理求直角三角形的第二条直角边 \( b\)。
\( b^2 + 16^2 = 20^2 \)
因此：
\( b^2 = 20^2 - 16^2 = 144\)
\( b = \sqrt {144} = 12 \; cm \)
直角三角形的面积等于：\( \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \; cm^2 \)
由于对称性，我们计算箭头下半部分的面积，这是一个梯形，其面积 \( A \) 由下式给出：
\( A = \frac{1}{2} (\overline{FG}+ \overline{ED}) \times \overline{HE} \)
\( \overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24 \)
\( \overline{ED} = 16 \)
由于 ABDE 是正方形，我们有 \( \quad \overline{AE} = \overline{AB} = 16 \) 。
\( \overline{HE} = \frac{1}{2} \overline{AE} = \frac{1}{2} 16 = 8 \)
因此：
\( A = \frac{1}{2} (24 + 16) \times 8 = 160 \)
箭头的面积是梯形面积的两倍。因此：
箭头的面积等于 \( 2 \times 160 = 320 \; 单位^2\)
我们将给定图形分解为基本形状，这些形状的面积很容易用公式计算。
等腰三角形 ABG 的面积 \( = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \)
梯形 BCFG 的面积 \( = \frac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5 \)
梯形 CDEF 的面积 \( = \frac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6 \)
直径 DE 的半圆面积 \( = \frac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 = 3.14 \times 1.5^2 = 3.53 \)
阴影部分的总面积 \( = 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \; mm^2 \) ，保留两位小数。
18 - 体积和表面积
半球的体积 \( = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \; m^3\)
圆柱体的体积 \( = \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \; m^3 \)
半球的表面积 \( = \frac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \; m^2\)
圆柱体的表面积（不含底面） \( = 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 377.00 \; m^2\)
筒仓的总体积 \( = 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \; m^3 \)
筒仓的总表面积 \( = 226.08 + 377.00 = 603.08 \; m^2 \)
由于长方体的对称性，三棱柱的体积等于长方体体积的一半。
给定长方体的体积 \( = 6 \times 3 \times 4 = 72 \; 单位^3\)
三棱柱的体积 \( \frac{1}{2} \times 72 = 36 \; 单位^3\)
三棱柱的表面积等于长方体表面积的一半，再加上由红色对角线以及长方体的边 AE 和 BC 构成的矩形 ABCE 的面积。
长方体的表面积 \( = 2 \times ( 6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4 ) = 108 \; 单位^2\)
使用勾股定理求对角线长度 \( d \)，该对角线是直角三角形 CDE 的斜边（红色）。
\( d^2 = 3^2+4^2 = 25 \)
取平方根得到：
\( d = 5 \)
由对角线和边构成的矩形的面积 \( = 5 \times 6 = 30 \; 单位^2\)
三棱柱的表面积 \( = \frac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \; 单位^2\)
注意，还有其他方法可以求出三棱柱的体积和表面积。
19 - 数据和图表
a)
一月的平均气温最低，为 \( -5^{\circ} \)，因此是最冷的月份。
b)
七月的平均气温最高，为 \( 26^{\circ} \)，因此是一年中最热的月份。
c)
最冷月和最热月之间的温差 \( = 26 - (-5) = 31^{\circ} \)
d)
最小的增幅出现在一月到二月以及六月到七月。
e)
最小的降幅出现在七月到八月。
a) 给定数据从小到大排列如下：
\( 31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97 \)
b)
极差 = 最大值 - 最小值 \( = 97 - 31 = 66 \)
c)
从区间 \( 30 - 39 \) 开始，加上组距以获得其余区间，并覆盖所有数据值，最大值为 \( 97 \)。
要获得下一个区间，我们在给定区间的下限和上限上各加 \( 10 \)。
因此，区间 \( 30 - 39 \) 之后的下一个区间是：
\( (30 + 10) - (39 + 10) \) = \( 40 - 49 \)
继续此操作，直到覆盖所有数据值，如下面的频率表所示。
d)
直方图使用纵轴表示学生人数，横轴表示区间，如下所示。
e)
三个区间 \( 30-39 \)、\( 40-49 \) 和 \( 50-59 \) 中的分数低于 60 分，这些区间中的学生人数可以从频率表和直方图中找到。
区间 \( 30-39 \) 中有 1 名学生。
区间 \( 40-49 \) 中有 2 名学生。
区间 \( 50-59 \) 中有 3 名学生。
不及格的学生总数为：
\( 1 + 2 + 3 = 6 \)
不及格学生的百分比为：
\( \frac{\text{不及格学生人数} }{\text{学生总数}} = \frac{6}{25} = 0.24 = 24\% \)
20 - 统计
首先将数据值从小到大排序。
\( \{ 0 , 1 , 2 , 2 , 3 , \color{red}{3} , 3 , 4 , 9 , 9 , 10\} \)
中位数是位于中间（红色）的值，即 \( 3 \)
下四分位数 是中位数 \( 3 \) 以下数据值的中位数，在上述数据中是 \( \{0 , 1 , \color{red}2 , 2 , 3 \} \)
下四分位数 = \( 2 \)
上四分位数 是中位数 \( 3 \) 以上数据值的中位数，在上述数据中是 \( \{ 3 , 4 , \color{red} 9 , 9 , 10 \} \)
上四分位数 = \( 9\)
设 \( x \) 为第五次测验的分数。这 5 次测验的平均分由下式给出：
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \)
平均分“至少为 90”用数学形式表示为：
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90 \)
将上述不等式两边乘以 5。
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \times 5 \ge 90 \times 5\)
化简。
\( 83 + 94 + 97 + 93 + x \ge 450 \)
解出 \( x \)。
\( x \ge 450 - (83 + 94 + 97 + 93) \)
\( x \ge 83 \)
Mark 需要在第五次测验中至少得到 \( 83 \) 分，才能使平均分至少达到 \( 90 \)。
21 - 概率
样本空间 = 所有可能的结果 = \( \{ 1,2,3,4,5,6 \} \)
结果中的偶数集 = \( \{ 2,4,6 \} \)
有 \( 6 \) 种可能的结果，其中 \( 3 \) 种是偶数；因此：
得到偶数的概率 \( = \frac{\text{偶数集中的元素个数}}{\text{样本空间中的元素个数}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
a)
得到正面的概率是 \( \quad P_1 = \frac{1}{2} \)
得到“4”的概率是 \( \quad P_2 = \frac{1}{6} \)
事件是独立的，因此：
得到正面（硬币）和 4（骰子）的概率 = \( \quad P_1 \times P_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
b)
得到正面的概率是 \( \quad P_3 = \frac{1}{2} \)
得到奇数的概率是 \( \quad P_4 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
事件是独立的，因此：
得到正面（硬币）和奇数（骰子）的概率 \( \quad P_3 \times P_3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
a)
使用计数原理，我们有 \( 3 \times 3 = 9 \) 种可能的结果，写作：\[ (1,1) , (1,2), (1,3) , (2,1) , (2,2), (2,3) , (3,1) , (3,2), (3,3) \] 有 一种 结果在两次随机选择中都选到 \( 3 \)，即 \( (3,3) \)
因此：
两次随机选择都选到 3 的概率 \( = \frac{1}{9} \)
b)
在 \( 9 \) 种可能的结果中，有 三种 结果在两次随机选择中选到相同的数字，它们是：\( (1,1) \)、\( (2,2) \) 和 \( (3,3) \)
两次随机选择都选到相同数字的概率 \( = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
如果 5 人说蓝色是他们最喜爱的颜色，6 人说棕色是他们最喜爱的颜色，那么：
\( 20 - 5 - 6 = 11 \) 人选择了一种既不是蓝色也不是棕色的颜色。
因此，下一个被调查的学生选择一种既不是蓝色也不是棕色的颜色的概率为：
\( \frac{11}{20} \)