一个三角形的两条边长分别为20毫米和13毫米。下列哪个长度不能代表第三边的长度？
- 35毫米
- 10厘米
- 20毫米
- 45毫米
解答
在任意三角形中，任意两边长度之和必须大于第三边的长度。
已知两边长分别为 \(20\, \text{毫米}\) 和 \(13\, \text{毫米}\)，它们的和为
\[ 20 + 13 = 33 \text{ 毫米}。 \]因此，第三边长度 \(x\) 必须满足
\[ x \lt 33 \text{ 毫米}。 \]现在检查给定选项：
- \(35 \text{ 毫米} > 33 \text{ 毫米}\) —— 不可能，
- \(10 \text{ 厘米} = 100 \text{ 毫米} > 33 \text{ 毫米}\) —— 不可能，
- \(20 \text{ 毫米} \lt 33 \text{ 毫米}\) —— 可能，
- \(45 \text{ 毫米} > 33 \text{ 毫米}\) —— 不可能。
因此，第三边不能是 \(35\, \text{毫米}\)、\(10\, \text{厘米}\) 或 \(45\, \text{毫米}\)。
ABC 是一个等腰三角形。求角 \( \angle ABC \) 的大小。
解答
三角形 \(ABC\) 内角和为
\[ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ。 \]因为 \(ABC\) 是等腰三角形，所以角 \(ACB\) 和角 \(ABC\) 相等：
\[ \angle ACB = \angle ABC。 \]设 \(\angle ABC = x\)。则，
\[ 72^\circ + 2x = 180^\circ \implies 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \implies x = 54^\circ。 \]因此，
\[ \angle ABC = 54^\circ。 \]一个等边三角形的周长是210厘米。这个三角形的一条边长是多少？
解答
在等边三角形中，所有边都相等。如果一条边长为 \(x\)，则周长为
\[ 3x = 210。 \]解 \(x\)：
\[ x = \frac{210}{3} = 70 \text{ 厘米}。 \]求 \(x\) 使得下图所示的三角形是直角三角形。
解答
使用勾股定理：
\[ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2。 \]计算各项：
\[ 144 x^2 + 256 x^2 = 100。 \]合并同类项：
\[ 400 x^2 = 100。 \]解 \(x^2\)：
\[ x^2 = \frac{100}{400} = \frac{1}{4}。 \]取正根（因为长度为正）：
\[ x = \frac{1}{2}。 \]将顶点为 \((1, 2)、(2, -3)\) 和 \((4, -1)\) 的三角形关于 x 轴反射后，得到的三角形顶点是什么？
解答
当一个点 \((x, y)\) 关于 x 轴反射时，其 y 坐标改变符号，因此反射后的点为 \((x, -y)\)。
因此，反射后的顶点为：
\[ (1, -2), \quad (2, 3), \quad (4, 1)。 \]下面所示的两个三角形相似。求较大三角形的斜边长度。
解答
在相似三角形中，对应边成比例。设 \(h\) 为较小三角形的斜边，\(H\) 为较大三角形的斜边。则，
\[ \frac{8}{15} = \frac{h}{H}。 \]使用勾股定理求 \(h\)：
\[ h^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, \] \[ h = 10。 \]将 \(h = 10\) 代入比例式：
\[ \frac{8}{15} = \frac{10}{H}。 \]交叉相乘：
\[ 8H = 150, \] \[ H = \frac{150}{8} = 18.75。 \]一个13英尺的梯子靠在竖直的墙上。梯子脚离墙4英尺。梯子触墙点的高度是多少？（答案四舍五入到十分之一英尺。）
解答
梯子、墙和地面形成一个直角三角形，其中梯子是斜边，长度为13英尺，一条直角边为4英尺。设高度为 \(x\)。使用勾股定理：
\[ x^2 + 4^2 = 13^2。 \]解 \(x^2\)：
\[ x^2 = 169 - 16 = 153。 \]计算 \(x\)：
\[ x = \sqrt{153} \approx 12.4 \text{ 英尺（四舍五入到十分之一英尺）}。 \]这个高度 \(x\) 就是梯子触墙点的高度。
一个直角三角形的斜边长度为40厘米。其中一个角为 \(45^\circ\)。求该三角形另外两条边的精确长度。
解答
在一个有一个角为 \(45^\circ\) 的直角三角形中，另一个非直角也是 \(45^\circ\)。因此，该三角形是等腰直角三角形，两条直角边相等。设每条直角边长为 \(x\)。
使用勾股定理：
\[ x^2 + x^2 = 40^2, \] \[ 2x^2 = 1600, \] \[ x^2 = 800 = 2 \times 400, \] \[ x = \sqrt{2 \times 400} = 20 \sqrt{2}。 \]因此，另外两条边的长度均为 \(20 \sqrt{2} \, \text{厘米}\)。
三角形ABC是一个等腰三角形。底边长为20米，对应的高为24米。求三角形ABC的周长。（答案四舍五入到十分之一米。）
解答
等腰三角形ABC如下图所示。画出高AM。三角形AMB和AMC全等，因为AB和AC两边相等且AM是公共边。同时，角B和角C的度数相等，且M处的直角相等。因此，AM和CM的长度相等，所以MC的长度为10米。
现在我们使用勾股定理求边AB的长度 \(x\)：
\[ x^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 \] \[ x = \sqrt{676} = 26 \text{ 米}。 \]三角形的周长为：
\[ \text{周长} = AB + AC + BC = 26 + 26 + 20 = 72 \text{ 米}。 \]一个三角形的面积为90平方厘米。如果底边比高长3厘米，求底边的长度。
解答
设 \(b\) 为底边长度，\(h\) 为高度。三角形的面积 \(A\) 为：
\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h = 90。 \]已知：
\[ b = h + 3。 \]将 \(b = h + 3\) 代入面积公式：
\[ \frac{1}{2} (h + 3) h = 90。 \]两边乘以2：
\[ (h + 3) h = 180。 \]展开：
\[ h^2 + 3h = 180。 \]重写为二次方程：
\[ h^2 + 3h - 180 = 0。 \]因式分解：
\[ (h - 12)(h + 15) = 0。 \]所以：
\[ h = 12 \quad \text{（因为高度必须为正）}。 \]计算底边：
\[ b = 12 + 3 = 15 \text{ 厘米}。 \]一个三角形的周长为74英寸。第一条边的长度是第二条边的两倍。第三条边比第一条边长4英寸。求每条边的长度。
解答
设 \(x\) 为第二条边的长度。则：
\[ \text{第一条边} = 2x, \] \[ \text{第三条边} = 2x + 4。 \]周长为：
\[ 2x + x + (2x + 4) = 5x + 4 = 74。 \]解 \(x\)：
\[ 5x = 70, \] \[ x = 14。 \]各边长度为：
\[ \text{边1} = 2x = 28 \text{ 英寸}, \] \[ \text{边2} = x = 14 \text{ 英寸}, \] \[ \text{边3} = 2x + 4 = 28 + 4 = 32 \text{ 英寸}。 \]求直线 \(y = -4\)、\(x = 1\) 和 \(y = -2x + 8\) 所围成的三角形的面积。
解答
该三角形的顶点为这些直线的交点。通过找出点A、B和C，求其底边和高的长度以计算面积。
求直线 \(x=1\) 和 \(y=-2x + 8\) 的交点 \(A\)：
\[ x=1 \implies y = -2(1) + 8 = 6。 \] \[ A = (1, 6)。 \]求直线 \(y = -4\) 和 \(y = -2x + 8\) 的交点 \(B\)：
\[ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6。 \] \[ B = (6, -4)。 \]高度 \(AB\) 是垂直距离：
\[ AB = |6 - (-4)| = 10。 \]底边 \(BC\) 是 \(B\) 和 \(C\) 之间的水平距离，其中 \(C\) 在 \(x=1\) 和 \(y=-4\) 上：
\[ C = (1, -4), \] \[ BC = |6 - 1| = 5。 \]面积 \(A\) 为：
\[ A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ 平方单位}。 \]证明顶点为 \(A(-1,6)\)、\(B(2,6)\) 和 \(C(2,2)\) 的三角形是直角三角形，并求其面积。
解答
计算各边的平方长度：
\[ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9, \] \[ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16, \] \[ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。 \]验证勾股定理：
\[ CA^2 = AB^2 + BC^2 \implies 25 = 9 + 16。 \]由于等式成立，三角形ABC是直角三角形，斜边为 \(CA\)。
面积 \(A\) 为：
\[ A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ 平方单位}。 \]