多项式的加法与减法 - 九年级数学

本页旨在帮助九年级学生掌握多项式的加法和减法。我们提供清晰的规则、引导示例以及附有分步解答的练习题。展开隐藏的解答，准确查看如何分组项以及处理棘手的负号。

本页涵盖的核心技能包括：

基础知识：定义与规则

什么是多项式？

多项式是由变量和系数组成的代数表达式，通过加减几个单项式形成。例如：

规则 1：分配符号以去括号

要相加或相减多项式，必须首先使用分配律去括号：\( a(b+c) = ab + ac \)。

规则 2：同类项的加法与减法

你只能合并具有完全相同的变量且对应变量具有完全相同指数的项。顺序无关紧要（例如，\( x^2y^2 \) 与 \( y^2x^2 \) 相同）。

示例：

练习题

第一部分：合并同类项

  1. 化简表达式：\( 2x - 2x + 9x \)
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    • \( 2x - 2x + 9x \)
    • \( = (2 - 2 + 9)x \) （提取变量并对系数分组）
    • \( = 9x \) （简化数字）
  2. 化简表达式：\( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
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    • \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    • \( = (-1 + 3 + 1)x^2 \) （记住 \( -x^2 \) 意味着 \( -1x^2 \) 且 \( x^2 \) 意味着 \( 1x^2 \)）
    • \( = 3x^2 \)
  3. 化简表达式：\( -xy + \dfrac{2}{3}xy + \dfrac{1}{2}xy \)
    提示：寻找公分母以相加分数。
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    • \( \left(-1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)xy \) （提取 \( xy \)）
    • \( = \left(-\dfrac{6}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6}\right)xy \) （找到公分母 6）
    • \( = \left(\dfrac{-6 + 4 + 3}{6}\right)xy \)
    • \( = \dfrac{1}{6}xy \)
  4. 化简表达式：\( 0.2x^3 + 2x^3 - 0.5x^3 \)
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    • \( (0.2 + 2 - 0.5)x^3 \) （提取变量）
    • \( = (2.2 - 0.5)x^3 \)
    • \( = 1.7x^3 \) （或写成分数形式：\( \dfrac{17}{10}x^3 \)）
  5. 化简表达式：\( x - 0.3x - \dfrac{1}{5}x \)
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    • \( \left(1 - 0.3 - \dfrac{1}{5}\right)x \) （提取变量）
    • \( = \left(\dfrac{10}{10} - \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10}\right)x \) （全部转换为分母为 10 的分数）
    • \( = \left(\dfrac{10 - 3 - 2}{10}\right)x \)
    • \( = \dfrac{5}{10}x = \dfrac{1}{2}x \) （或写成小数形式：\( 0.5x \)）

第二部分：多项式的加法与减法

  1. 相加多项式：\( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
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    • \( +1(2x^2 - 2x + 1) + 1(x + 5) \) （识别括号前的符号）
    • \( = 2x^2 - 2x + 1 + x + 5 \) （分配正号去括号）
    • \( = 2x^2 + (-2x + x) + (1 + 5) \) （同类项分组）
    • \( = 2x^2 - x + 6 \) （合并系数）
  2. 相减多项式：\( (-4x^3 - 2x + 1) - (-x^3 - 5x) \)
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    • \( +1(-4x^3 - 2x + 1) - 1(-x^3 - 5x) \) （识别括号前的符号）
    • \( = -4x^3 - 2x + 1 + x^3 + 5x \) （分配 -1，反转第二个括号内的符号）
    • \( = (-4x^3 + x^3) + (-2x + 5x) + 1 \) （同类项分组）
    • \( = -3x^3 + 3x + 1 \) （简化）
  3. 相加并相减多项式：\( -(2x^3 - 2x^2 + 1) + (-x^3 - 5x^2) \)
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    • \( -1(2x^3 - 2x^2 + 1) + 1(-x^3 - 5x^2) \)
    • \( = -2x^3 + 2x^2 - 1 - x^3 - 5x^2 \) （分配符号去括号）
    • \( = (-2x^3 - x^3) + (2x^2 - 5x^2) - 1 \) （同类项分组）
    • \( = -3x^3 - 3x^2 - 1 \) （简化）
  4. 化简：\( -(-x^4y - 2x^2 - 9) - (-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    提示：\( x^4y \) 与 \( yx^4 \) 是完全相同的项。
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    • \( -1(-x^4y - 2x^2 - 9) - 1(-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    • \( = x^4y + 2x^2 + 9 + yx^4 + 5x^2 - 1 \) （将 -1 分配给两个括号，翻转所有符号）
    • \( = (x^4y + yx^4) + (2x^2 + 5x^2) + (9 - 1) \) （同类项分组）
    • \( = 2x^4y + 7x^2 + 8 \) （简化系数）
  5. 化简表达式：\( (-x^2 - 2x) - (-x^2 - 5x + 3) + (x^2 - 4) \)
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    • \( +1(-x^2 - 2x) - 1(-x^2 - 5x + 3) + 1(x^2 - 4) \)
    • \( = -x^2 - 2x + x^2 + 5x - 3 + x^2 - 4 \) （分配符号去括号）
    • \( = (-x^2 + x^2 + x^2) + (-2x + 5x) + (-3 - 4) \) （同类项分组）
    • \( = x^2 + 3x - 7 \) （合并系数）
  6. 相减多项式：\( (x^3 - 2x^2 + 3) - \left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
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    • \( +1(x^3 - 2x^2 + 3) - 1\left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    • \( = x^3 - 2x^2 + 3 - \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3} \) （分配符号去括号）
    • \( = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-2 - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(3 + \dfrac{1}{3}\right) \) （提取变量使相加分数更轻松）
    • \( = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(\dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3}\right) \) （寻找公分母）
    • \( = \dfrac{3}{4}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{10}{3} \)

链接与参考资料