本页旨在帮助学生、家长和教师通过精心挑选的问题以及每个问题下方直接提供的详细分步解答，掌握指数的属性。
指数形式是将同一个数自乘多次的简便书写方式：
\[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ 次} } = a^n \]
这里，\( a \) 称为底数（实数），\( n \) 称为指数（整数）。表达式 \( a^n \) 读作“\(a\) 的 \(n\) 次方”。理解这些法则是学习高等代数和微积分的关键基石。
在尝试下方的练习题之前，请复习这些基本属性：
| # | 法则名称 | 定义 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 1 | 指数形式 | \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ 次} } = a^n \) | \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \) \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) |
| 2 | 负指数法则 | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) 或 \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) | \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} \) \( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \) |
| 3 | 乘积法则（同底数） | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \) \( 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6 \) |
| 4 | 乘积法则（同指数） | \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) | \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \) \( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \) |
| 5 | 商法则（同底数） | \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) | \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \) \( 3^{5-2} = \dfrac{3^5}{3^2} \) |
| 6 | 商法则（同指数） | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \) \( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 \) |
| 7 | 商法则（负指数） | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \) |
| 8 | 幂的乘方 | \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) | \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12} \) \( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \) |
| 9 | 零指数法则 | \( a^0 = 1 \) （对于 \(a \neq 0\)） | \( 10000000^0 = 1 \) 注意： \( \color{red}{0^0 \text{ 是未定义的}} \) |
| 10 | 一次幂法则 | \( a^1 = a \) | \( 45^1 = 45 \) \( 100 = 100^1 \) |
| 11 | 底数为 1 法则 | \( 1^n = 1 \) | \( 1^{230} = 1 \) \( 1^{-100} = 1 \) |
| 12 | 底数为 -1 法则 | \( (-1)^n = \begin{cases} 1, & \text{如果 } n \text{ 是偶数} \\ -1, & \text{如果 } n \text{ 是奇数} \end{cases} \) | \( (-1)^{19} = -1 \) \( (-1)^{18} = 1 \) |
提示：在展开解答块之前，请尝试在不使用计算器的情况下解决以下所有问题。