几何练习题
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问题 1：互余角
角 \( A \) 和 \( B \) 互余，且角 \( A \) 的度数是角 \( B \) 度数的两倍。求角 \( A \) 和 \( B \) 的度数。
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设 \( A \) 为角 \( A \) 的度数，\( B \) 为角 \( B \) 的度数。我们已知：
\[ A = 2B \]
因为角 \( A \) 和 \( B \) 互余，它们的和为 \( 90^\circ \)：
\[ A + B = 90^\circ \]
在方程中用 \( 2B \) 代替 \( A \)：
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \dfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
现在，将 \( B \) 代入以求 \( A \)：
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
答案：\( A \) 的度数 = \( 60^\circ \)，\( B \) 的度数 = \( 30^\circ \)。
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问题 2：平行四边形面积
\( ABCD \) 是一个平行四边形，其中 \( AB \) 平行于 \( DC \)，\( DA \) 平行于 \( CB \)。边 \( AB \) 的长度为 \( 20 \text{ cm} \)。点 \( E \) 在 \( A \) 和 \( B \) 之间，使得 \( AE \) 的长度为 \( 3 \text{ cm} \)。点 \( F \) 在点 \( D \) 和 \( C \) 之间。
求 \( DF \) 的长度，使得线段 \( EF \) 将平行四边形分割成面积相等的两个区域。
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设 \( A_1 \) 为梯形 \( AEFD \) 的面积。其面积公式为：
\[ A_1 = \dfrac{1}{2} h (AE + DF) = \dfrac{1}{2} h (3 + DF) \]
其中 \( h \) 是平行四边形的高。
设 \( A_2 \) 为梯形 \( EBCF \) 的面积。其面积公式为：
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (EB + FC) \]
我们可以求出其余底边的长度，因为平行四边形各边的总长度为 \( 20 \)：
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
将 \( EB \) 和 \( FC \) 代入 \( A_2 \) 的方程中：
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
为了让线段 \( EF \) 将平行四边形分成两个面积相等的区域，令 \( A_1 = A_2 \)：
\[ \dfrac{1}{2} h (3 + DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
两边乘以 2 并除以 \( h \)：
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
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问题 3：三角形内角
求下图中的角 \( A \) 的度数。
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要求出角 \( A \3），我们必须先利用互补的外角求出三角形的其他两个内角。
第一个内角（左下角）与 \( 129^\circ \) 的角互补。一条直线是 \( 180^\circ \)，因此：
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
第二个内角（右下角）与 \( 138^\circ \) 的角互补：
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
三角形所有三个内角的和总是 \( 180^\circ \)。因此：
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
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问题 4：直角三角形中的角
\( ABC \) 是一个直角三角形。\( AM \) 垂直于 \( BC \)。角 \( ABC \) 的大小等于 \( 55^\circ \)。求角 \( MAC \) 的大小。
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大三角形 \( \triangle ABC \) 的所有角之和为 \( 180^\circ \)。因为它在 \( A \) 处是直角，我们知道这些角是 \( 90^\circ \)、\( 55^\circ \)（给定 \( \angle ABC \)）和 \( \angle ACB \)：
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
代入 \( \angle ABC = 55^\circ \) 并求解 \( \angle ACB \)：
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
现在看较小的三角形 \( \triangle AMC \)。线段 \( AM \) 垂直于 \( BC \)，这意味着 \( \angle AMC = 90^\circ \)。\( \triangle AMC \) 中角的和为 \( 180^\circ \)：
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
注意 \( \angle ACM \) 与 \( \angle ACB \) 完全相同。将 \( 35^\circ \) 代入方程：
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
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问题 5：对顶角
求下图中的角 \( MBD \) 的大小。
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首先，求左侧三角形 \( \triangle AMC \) 中缺失的角。其角的和为 \( 180^\circ \)：
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
角 \( \angle AMC \) 和 \( \angle DMB \) 是对顶角，这意味着它们的度数相等：
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
现在，使用右侧三角形 \( \triangle DMB \) 的角的和，它也是 \( 180^\circ \)：
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
代入 \( \angle DMB = 46^\circ \)：
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
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问题 6：相交线与角
角 \( AOB \) 的大小等于 \( 132^\circ \)，角 \( COD \) 的大小等于 \( 141^\circ \)。求角 \( DOB \) 的大小。
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角 \( \angle AOB = 132^\circ \)，由角 \( \angle AOD \) 和 \( \angle DOB \) 的和组成：
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{（方程 1）} \]
角 \( \angle COD = 141^\circ \)，由角 \( \angle COB \) 和 \( \angle DOB \) 的和组成：
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{（方程 2）} \]
将方程 1 和方程 2 相加：
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
因为 \( A, O, \) 和 \( C \) 形成一条直线，角 \( \angle AOD, \angle DOB, \) 和 \( \angle COB \) 形成一个平角，这意味着：
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
将 \( 180^\circ \) 代入我们的组合方程中：
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
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问题 7：四边形内角
求图中角 \( x \) 的大小。
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要求出 \( x \)，我们首先需要确定四边形的所有内角。
其中两个内角分别给出为 \( 41^\circ \) 和 \( 94^\circ \3）。
与外角 \( x \) 互补的内角是：\( 180^\circ - x \3）。
与外角 \( 111^\circ \) 互补的内角是：\( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \3）。
四边形所有内角的和为 \( 360^\circ \)。因此：
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
合并常数值：
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
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问题 8：网格周长与面积
下面的矩形由 12 个全等（大小相同）的正方形组成。如果矩形的面积等于 \( 432 \text{ cm}^2 \)，求该矩形的周长。
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如果矩形的总面积为 \( 432 \text{ cm}^2 \)，则单个小正方形的面积为：
\[ \dfrac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
设 \( x \) 为一个小正方形的边长。一个正方形的面积为 \( x^2 \)：
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
网格显示该矩形长 4 个正方形，宽 3 个正方形。大矩形的尺寸为：
\[ \text{长 } (L) = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{宽 } (W) = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
矩形的周长 \( P \) 为：
\[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
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问题 9：直角三角形中的等腰三角形
\( ABC \) 是一个直角三角形，角 \( ACB \) 的大小等于 \( 74^\circ \)。线段 \( AM \)、\( MQ \) 和 \( QP \) 的长度都相等。求角 \( QPB \) 的度数。
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假设直角在 \( B \) 处（这使得 \( \angle ABC = 90^\circ \3）。直角三角形 \( \triangle ACB \) 中的角 \( \angle CAB \) 为：
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
由于线段 \( AM \) 和 \( MQ \) 的长度相等，三角形 \( \triangle AMQ \) 是一个等腰三角形。因此，它的底角相等：
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
\( \triangle AMQ \) 中所有内角的和为 \( 180^\circ \3）：
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
角 \( \angle QMP \) 与角 \( \angle AMQ \) 互补（它们在底边上形成一条直线）：
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
由于长度 \( QM \) 和 \( QP \) 相等，三角形 \( \triangle QMP \) 也是一个等腰三角形。因此：
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
角 \( \angle QPB \) 与角 \( \angle QPM \) 互补（形成一条直线）：
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
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问题 10：面积减法
求给定复合图形的面积。
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通过计算完整边界矩形的面积并减去右上角“缺失”的直角三角形，可以轻松求出给定图形的面积。
完整边界矩形的尺寸为 \( 20 \text{ cm} \) 乘 \( 15 \text{ cm} \3）。
“缺失”直角三角形（图中为红色）的边为：
\[ \text{底} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{高} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
计算面积：
\[ \text{面积} = \text{矩形面积} - \text{三角形面积} \]
\[ \text{面积} = (20 \times 15) - \left( \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{面积} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
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问题 11：阴影面积
求阴影区域的面积。
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阴影形状的面积可以通过从大外部矩形的总面积中减去左上角未阴影矩形的面积来求出。
首先，求出左上角未阴影矩形的尺寸：
\[ \text{长} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{宽} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
现在，执行面积减法：
\[ \text{面积} = \text{大矩形面积} - \text{未阴影矩形面积} \]
\[ \text{面积} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{面积} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
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问题 12：内接正方形面积比
内接（内部）正方形的顶点平分第二个（外部）正方形的边。求外部正方形面积与内接正方形面积的比值。
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设 \( 2x \) 为大外部正方形的边长。这意味着边的中点将其平分为长度为 \( x \) 的线段。
大外部正方形的面积为：
\[ \text{Area}_{\text{outer}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
设 \( y \) 为内接正方形的边长。其面积为 \( y^2 \)。
由于顶点平分外部正方形，它们在角上创建了四个底为 \( x \) 高为 \( x \) 的直角三角形。我们可以使用勾股定理来求 \( y^2 \3）：
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
外部正方形面积与内部正方形面积的比值 \( R \) 为：
\[ R = \dfrac{\text{Area}_{\text{outer}}}{\text{Area}_{\text{inner}}} = \dfrac{4x^2}{2x^2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} \]
答案：比值为 2:1。