练习题
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化简下列表达式：
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)查看视频解答
本题涉及化简带有平方根和根式的表达式。
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展开并化简以下多项式：
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)查看视频解答
本题需要应用分配律并合并同类项。
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化简以下表达式：
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)查看视频解答
应用指数运算法则（乘积法则、商法则和幂法则）进行化简。
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化简下列分式表达式：
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)查看视频解答
对分子和分母进行因式分解，找出可以约分的公因式。
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求给定变量值下的表达式的值并进行化简：
a) \( \sqrt{x + 6} \)，当 \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \)，当 \( x = -4 \) 且 \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \)，当 \( x = -2 \)查看视频解答
将给定值代入代数表达式中，并使用运算顺序进行化简。
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对下列代数表达式进行因式分解：
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)查看视频解答
找出最大公因式（GCF），或使用分组分解法或平方差公式等方法。
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解下列方程：
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)查看视频解答
通过在方程两边执行逆运算来隔离变量。
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解下列一元二次方程：
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)查看视频解答
对于标准二次方程，将其设为等于零并因式分解，或者使用求根公式。
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解下列方程：
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)查看视频解答
隔离根式表达式，然后将两边平方以消去平方根。
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解下列不等式，并分别用区间、数轴上的图象和不等式符号表示解集：
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)查看视频解答
记住如果乘以或除以负数，必须改变不等号的方向。
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参数 \( a \) 取何值时，坐标为 \( (a, 3) \) 的点位于方程为 \( 2x - 3y = 4 \) 的直线上？
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将坐标代入方程并求解未知参数。
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方程 \( 2x + y = 5 \) 和 \( 3x - 2y = 4\) 所确定的两条直线的交点是什么？
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使用代入法或消元法来解线性方程组。
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下列方程所表示的各条直线的斜率是多少？
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)查看视频解答
将每个方程重写为斜截式（\(y = mx + b\)）以确定斜率（\(m\)）。
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求下列方程所表示的直线的 x 轴截距和 y 轴截距（如果存在）：
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)查看视频解答
令 \( x = 0 \) 求 y 轴截距，令 \( y = 0 \) 求 x 轴截距。
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a) 求参数 \( s \) 的值，使得通过点 \( (-2, s) \) 和 \( (-4, 5) \) 的直线的斜率等于 \( -1 \)。
b) 求该直线的方程。查看视频解答
使用斜率公式：\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。
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求经过点 \( (-2, 4) \) 且垂直于方程为 \( -2y + 4x = -2 \) 的直线的方程。
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记住垂直的直线的斜率互为负倒数。
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已知线段 AB 的长度为 3.1，BC 的长度为 6.2，且点 \( D \) 在直线上，求下图所示直线的方程。
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利用给定的长度计算垂直上升与水平走过的比值（斜率），然后推导出方程。
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下面给出的方程所表示的直线中，哪一条的斜率为负？
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)查看视频解答
将每个方程转换为 \( y = mx + b \) 格式以检查 \( m \) 的符号。
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在下图中，一栋建筑的一楼顶部位于点 C，二楼顶部位于点 D。在地面上距离建筑 40 米的点 A 处，向上观测点 C 和点 D 的仰角分别为 \( 14^\circ \) 和 \( 21^\circ \)，点 B 位于建筑物的底部。求从一楼到二楼的高度 \( DC \)。
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在两个直角三角形中使用正切比求出垂直高度，然后相减。
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一个小镇的人口在一年内增加了 600 人。这比前一年增加了 5%。增加人口前该镇的人口是多少？
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建立百分比方程：\( 0.05 \times \text{原始人口} = 600 \)。
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已知 AE 平行于作为半圆直径的 CD。BC 平行于 ED，且 ED 垂直于 AE。求阴影图形的面积。所有长度单位均为毫米（mm）。
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将复杂图形分解为更简单的几何图形（矩形、三角形、半圆）来计算总面积。
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求周长为 18 cm 的正六边形的面积。
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正六边形由 6 个等边三角形组成。利用周长求出边长。
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求由圆的四分之一和一个对角线为 10 mm 的正方形所包围的阴影区域面积。
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利用对角线求出正方形的边长，并通过几何分析计算面积相减。
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直棱柱的体积等于 \( 1500 \text{ cm}^3 \)。
a) 求该棱柱的长度 \( L \)。
b) 求该棱柱的总表面积（侧面积和底面积）。
c) 用每平方米 200 美元的材料制作该棱柱的成本是多少？查看视频解答
先计算底面积，用体积除以底面积求出长度 \( L \)，然后计算总表面积和成本。
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在 100 名学生中，70 人学习数学（其中有些人也学习物理），50 人学习物理（其中有些人也学习数学）。假设每个学生至少学习这两门学科中的一门：
a) 有多少学生同时修读数学和物理？
b) 有多少学生只修读数学？
c) 有多少学生只修读物理？查看分步解答
设 \( M \) 表示学习数学的学生集合，\( P \) 表示学习物理的学生集合。
- 学生总数：\( n(M \cup P) = 100 \)
- 学习数学的学生：\( n(M) = 70 \)
- 学习物理的学生：\( n(P) = 50 \)
a) 同时学习两门学科的学生（\( M \cap P \)）：
使用集合论公式：
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) 只学习数学的学生：
从数学总人数中减去同时学习两门学科的学生人数：
\( 70 - 20 = 50 \)c) 只学习物理的学生：
从物理总人数中减去同时学习两门学科的学生人数：
\( 50 - 20 = 30 \) -
在下图中，BC 平行于 DE。如果三角形 ABC 的面积等于 \( 30 \text{ cm}^2 \)，求三角形 ADE 的面积。
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因为线段 \( BC \) 平行于线段 \( DE \)，所以三角形 \( ABC \) 和三角形 \( ADE \) 是相似三角形。
当两个三角形相似时，其面积之比等于对应边长之比的平方。设其对应边长比为 \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \)。
两个三角形面积关联的公式为：
\( \text{Area}(ADE) = \text{Area}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Area}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
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一升水的重量是 1 公斤，1 立方分米（\( \text{dm}^3 \)）等于 1 升。一个长方体容器的尺寸为 10 cm、20 cm 和 200 cm，其中盛有的水有多重？
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第一步：求以立方厘米（\( \text{cm}^3 \)）为单位的体积。
体积 \( = \text{长} \times \text{宽} \times \text{高} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40,000 \text{ cm}^3 \)第二步：将立方厘米转换为立方分米（升）。
我们知道 \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \)，因此 \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1,000 \text{ cm}^3 \)。
\( \text{升数体积} = \dfrac{40,000 \text{ cm}^3}{1,000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ 升} \)第三步：计算重量。
由于 1 升水重 1 公斤，因此水的重量为：
\( 40 \text{ 升} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
琳达去某城市时的平均速度为每小时 65 英里，走同一条路返回时的平均速度为每小时 50 英里。她往返一共开车 6 小时。琳达的家到她访问的城市的距离是多少？（将答案四舍五入到最接近的英里）。
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设 \( D \) 为到该城市的单程距离。
使用公式 \( \text{时间} = \dfrac{\text{距离}}{\text{速度}} \)：
去时时间 = \( \dfrac{D}{65} \)
返回时间 = \( \dfrac{D}{50} \)总驾驶时间为 6 小时，因此我们建立方程：
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)寻找 65 和 50 的公分母。（最小公倍数是 650）。
将第一个分数的分子和分母乘以 10，第二个乘以 13：
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
两边同乘以 650：
\( 23D = 3900 \)除以 23：
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ 英里} \)四舍五入到最接近的英里，距离为 170 英里。
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哪个实数的平方等于它的一半与它的三分之一的和？
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设未知的实数为 \( x \)。
将文字应用题转化为代数方程：
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)寻找公分母以相加右侧的分数：
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)将所有项移到一边，使二次方程等于零：
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)提取公因式 \( x \)：
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)这给出两个可能的解：
\( x = 0 \) 或 \( x = \dfrac{5}{6} \)
0 和 5/6 都是满足条件的实数。 -
某学校男生与女生的比例等于 6:5。男生与学生总数的比例是多少？
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男生与女生的比例是 6:5。这意味着每有 6 个男生，就有 5 个女生。
比例中的“总份数”是男生份数与女生份数的和：
总份数 = \( 6 + 5 = 11 \)男生与学生总数的比例即为男生份数除以总份数：
比例 = 6:11 -
容器中有 200 个球。球有红、蓝、绿三种颜色之一。蓝球与红球的比例为 3:10，绿球与蓝球的比例为 7:3。每种颜色的球各有多少个？
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让我们看看给定的比例：
- 蓝色 : 红色 = 3 : 10
- 绿色 : 蓝色 = 7 : 3
因为“蓝色”部分在两个比例中都由数字 3 表示，我们可以轻松地将它们合并为绿、蓝、红的单一连比：
绿色 : 蓝色 : 红色 = 7 : 3 : 10
将此连比中的总份数相加：
总份数 = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)用球的总数（200）除以总份数以求出一份的值：
一份的值 = \( 200 / 20 = 10 \text{ 个球} \)将比例数字乘以一份的值以求出每种颜色的数量：
- 绿色：\( 7 \times 10 = 70 \text{ 个球} \)
- 蓝色：\( 3 \times 10 = 30 \text{ 个球} \)
- 红色：\( 10 \times 10 = 100 \text{ 个球} \)