练习题
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一场音乐会售出了 120 张门票。学生票每张 8 美元，成人票每张 12 美元。总收入为 1,160 美元。每种门票各售出了多少张？
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设 \( x \) 为学生票的数量，\( y \) 为成人票的数量。利用已知信息列出方程：
\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]从方程 (1) 中，隔离 \( y \)：
\[ y = 120 - x \]将此表达式代入方程 (2)：
\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]现在，求 \( y \)：
\[ y = 120 - 70 = 50 \]答案：售出了 70 张学生票和 50 张成人票。
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在一个三角形中，其中一个角是最小角的三倍。第三个角比最小角大 \( 20^\circ \)。求所有的角。
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设最小角为 \( x \)。则第二个角为 \( 3x \)，第三个角为 \( x + 20 \)。
三角形的内角和始终为 \( 180^\circ \)：
\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]合并同类项并求解 \( x \)：
\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]现在求每个角：
- 最小角：\( x = 32^\circ \)
- 第二个角：\( 3x = 96^\circ \)
- 第三个角：\( x + 20 = 52^\circ \)
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已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求 \( f(2) \) 和 \( f(-1) \)。
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要求 \( f(2) \)，在函数中将 \( x \) 替换为 \( 2 \)：
\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]要求 \( f(-1) \)，在函数中将 \( x \) 替换为 \( -1 \)：
\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \] -
一个圆柱形水箱的半径为 3 米，高为 5 米。它能容纳多少水（以立方米为单位）？取 \( \pi \approx 3.14 \)。
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圆柱体体积公式为 \( V = \pi r^2 h \)。
\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \] -
掷两个六面骰子，点数之和为 9 的概率是多少？
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掷两个骰子时，总共有 \( 6 \times 6 = 36 \) 种可能的结果。
结果之和为 9 的组合有：
\( (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) \)
由于在 36 种可能的结果中有 4 种成功的结果，概率为：
\[ \text{概率} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \] -
解方程 \( 2^{x+1} = 32 \) 中的 \( x \)：
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首先，将 32 写成以 2 为底的幂：
\[ 32 = 2^5 \]重写方程：
\[ 2^{x+1} = 2^5 \]既然底数相同，我们可以令指数相等：
\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \] -
一把 13 米长的梯子靠在墙上。梯子底部距离墙壁 5 米。梯子在墙上能达到多高？
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梯子、地面和墙壁构成一个直角三角形，其中梯子是斜边。设高度为 \( h \)。应用勾股定理（\( a^2 + b^2 = c^2 \））：
\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]答案：梯子在墙上达到了 12 米高。
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自动售货机里只有 0.25 美元和 1 美元的硬币。共有 50 枚硬币，总价值为 35 美元。每种硬币各有多少枚？
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设 \( x \) 为 0.25 美元硬币的数量，\( y \) 为 1 美元硬币的数量。建立方程组：
\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]从方程 (1) 中，我们得到 \( y = 50 - x \)。将其代入方程 (2)：
\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]现在求 \( y \)：
\[ y = 50 - 20 = 30 \]答案：有 20 枚 0.25 美元的硬币和 30 枚 1 美元的硬币。
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三个连续奇数的和是 123。这些数字是多少？
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两个连续奇数之间的差是 2。设第一个数字为 \( x \)。第二个数字为 \( x + 2 \)，第三个数字为 \( x + 4 \)。它们的和为 123：
\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]这些数字是 \( x = 39 \)、\( x + 2 = 41 \) 和 \( x + 4 = 43 \)。
答案：这三个数字是 39、41 和 43。
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一个矩形花园的长比宽多 4 米。其面积为 96 m2。求花园的长和宽。
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设宽度为 \( x \) 米。则长度为 \( x + 4 \) 米。面积等于长乘以宽：
\[ x(x + 4) = 96 \]将二次方程写成标准形式：
\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]这给出了解 \( x = 8 \) 或 \( x = -12 \)。由于宽度不能为负数，我们舍去 \(-12\)。
答案：宽度为 8 米，长度为 \( 8 + 4 = 12 \) 米。
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哪个（些）数字等于它（们）的平方？
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设 \( x \) 为该数字。如果它等于它的平方，我们写出方程：
\[ x = x^2 \]将其写成标准形式并因式分解：
\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]答案：解为 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)。
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哪个（些）数字等于它（们）平方的一半？
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设 \( x \) 为该数字。它等于其平方的一半：
\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]移项归零并因式分解：
\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]答案：解为 \( x = 0 \) 和 \( x = 2 \)。
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一辆汽车以每小时 40 英里的速度从 A 地驶往 B 地，然后原路返回，以每小时 60 英里的速度从 B 地驶回 A 地。往返行程的平均速度是多少？
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平均速度等于总路程除以总时间。设 \( x \) 为从 A 到 B 的单程距离。总往返路程为 \( x + x = 2x \)。
去程时间为 \( \dfrac{x}{40} \)，回程时间为 \( \dfrac{x}{60} \)。总时间 \( T \) 为：
\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]现在计算平均速度：
\[ \text{平均速度} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mph} \] -
汤姆以每小时 60 英里的速度去邻近城市，然后原路以每小时 50 英里的速度返回。他往返总共开了 5 小时。汤姆的家到他访问的城市的距离是多少？（将答案四舍五入到最接近的英里）。
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设 \( x \) 为到该城市的距离。去程所用时间为 \( \dfrac{x}{60} \)，回程所用时间为 \( \dfrac{x}{50} \)。总时间为 5 小时：
\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]将整个方程乘以公分母 (300)：
\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{英里} \end{aligned} \] -
上午 11:00，约翰开始以每小时 50 英里的恒定速度沿高速公路行驶。一刻钟后，吉米开始以每小时 65 英里的恒定速度沿同一高速公路同向行驶。吉米将在什么时间追上约翰？
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设 \( t \) 为自上午 11:00 起约翰行驶的时间（小时）。吉米晚出发一刻钟（0.25 小时），因此他的行驶时间为 \( t - 0.25 \)。
当吉米追上时，他们的行驶距离相等：
\[ 50t = 65(t - 0.25) \]求解 \( t \)：
\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{小时} \end{aligned} \]\( \dfrac{65}{60} \) 小时正好是 1 小时 5 分钟。将其加到出发时间（上午 11:00）上：
答案：吉米在 12:05 p.m. 追上约翰。
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求通过点 \( (-4, 5) \) 且垂直于直线 \( 5x - 3y = 4 \) 的直线方程。
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首先，将给定直线转换为斜截式（\( y = mx + b \）），以求出其斜率：
\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]这条直线的斜率是 \( \dfrac{5}{3} \)。垂直直线的斜率互为负倒数，因此我们新直线的斜率为 \( m = -\dfrac{3}{5} \)。
使用点斜式以及点 \( (-4, 5) \)：
\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]乘以 5 转换为标准形式：
\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \] -
一个矩形田地的面积为 300 平方米，周长为 80 米。这块田地的长和宽是多少？
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设 \( L \) 和 \( W \) 分别为长和宽。面积与周长方程为：
\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]从周长方程中，\( W = 40 - L \)。将其代入面积方程：
\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]解为 \( L = 30 \) 或 \( L = 10 \)。假设长是较长的一边，则 \( L = 30 \) 米，\( W = 10 \) 米。
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一个矩形花园长 100 米，宽 50 米。计划在花园内修建一个正方形游泳池。如果剩余面积（未被游泳池占用的面积）等于矩形花园面积的一半，求游泳池一边的边长。
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设 \( x \) 为游泳池的边长。游泳池的面积为 \( x^2 \)。
如果剩余面积是总面积的一半，那么游泳池本身也必须占据总面积的另一半。花园的总面积为 \( 100 \times 50 = 5000 \)。
\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]答案：游泳池的边长为 50 米。
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ABC 是一个边长为 50 cm 的等边三角形。BH 垂直于 AC。MN 平行于 AC。如果 MN 的长度等于 12 cm，求三角形 BMN 的面积。
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因为 \( \triangle ABC \) 是等边三角形且 \( BH \perp AC \)，所以 \( H \) 是 \( AC \) 的中点，因此 \( HC = \dfrac{50}{2} = 25 \) cm。
因为 \( MN \parallel HC \)，三角形 \( \triangle BMN \) 和 \( \triangle BHC \) 相似。对应边的比值为：
\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]相似三角形的面积之比等于其边长比的平方：
\[ \dfrac{\text{面积 } BMN}{\text{面积 } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]接下来，在 \( \triangle BHC \) 中利用勾股定理求出高 \( BH \)：
\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]\( \triangle BHC \) 的面积为：
\[ \text{面积 } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]最后，求出 \( \triangle BMN \) 的面积：
\[ \text{面积 } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \] -
一个半径 \( r = 5 \) cm 的圆柱形容器中，水的高度为 10 cm。彼得需要测量一个形状复杂的石头的体积，于是他把石头放入容器中。水的高度上升到了 13.2 cm。这块石头的体积是多少立方厘米？
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求水的初始体积（\( V_1 \））：
\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]求放入石头后的总体积（\( V_2 \））：
\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]石头的体积为两者的差：
\[ V_{\text{石头}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]取 \( \pi \approx 3.14159 \)，体积约为 \( 251.3 \; \text{cm}^3 \)。
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在下图中的正方形，其所有顶点都在圆上。正方形的面积等于 400 cm2。该圆形的面积是多少？
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根据正方形的面积可求出其边长 \( x \)：
\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]正方形的对角线 \( D \) 等于圆的直径。利用勾股定理求出 \( D \)：
\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]圆的面积为 \( A = \pi r^2 \)。因为 \( r = \dfrac{D}{2} \)，所以 \( r^2 = \dfrac{D^2}{4} \)：
\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]取 \( \pi \approx 3.14 \)，面积约为 \( 628 \; \text{cm}^2 \)。
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数字 2、3、5 和 \( x \) 的平均数等于 4。求 \( x \)。
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平均数是所有数字之和除以数字个数。建立方程：
\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]求解 \( x \)：
\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \] -
数字 \( x, y, z \) 和 \( w \) 的平均数等于 25。\( x, y \) 和 \( z \) 的平均数等于 27。求 \( w \)。
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4 个数字的平均数给出了它们的总和：
\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]3 个数字的平均数给出了它们的部分和：
\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]将此部分和代入第一个方程：
\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \] -
求 \( x, y, z \)，使得数字 41、46、\( x, y, z \) 的算术平均数为 50，众数为 45。
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这五个数字的算术平均数为 50：
\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]众数是出现频率最高的值。由于目前没有重复的数字，未知变量中至少有两个必须等于 45。我们不能让 \( x = y = z = 45 \)，因为 \( 45 \times 3 = 135 \)，不等于 163。
因此，其中两个变量必须是 45（设 \( x = y = 45 \））：
\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]答案：这三个数值分别为 45、45 和 73。
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\( A \) 是一个常数。求 \( A \)，使得方程 \( 2x + 1 = 2A + 3(x + A) \) 在 \( x = 2 \) 处有一个解。
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将 \( x = 2 \) 代入给定方程：
\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \] -
一升等于 1 立方分米（\( \text{dm}^3 \）），1 升水重 1 公斤。盛放在半径为 50 厘米、高为 1 米的圆柱形容器中的水有多重？
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首先将所有单位转换为分米 (dm) 以便轻松计算升数，因为 10 cm = 1 dm：
- 半径 \( r = 50 \) cm = 5 dm
- 高 \( h = 1 \) m = 100 cm = 10 dm
求圆柱体的体积：
\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]由于 1 \( \text{dm}^3 \) 重 1 kg，因此总重量为 785 kg。
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在下图展示的三角形 ABC 中，它是一个等腰直角三角形。AM 垂直于 BC，MN 垂直于 AC。求三角形 MNC 的面积与三角形 ABC 的面积之比。
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因为 \( \triangle ABC \) 是等腰直角三角形，向斜边引出的高 \( AM \) 将三角形分成两个更小的、全等的等腰直角三角形：\( \triangle ABM \) 和 \( \triangle ACM \)。
因此，\( \triangle ACM \) 的面积正好是 \( \triangle ABC \) 面积的一半。
类似地，在等腰直角三角形 \( \triangle ACM \) 中，高 \( MN \) 将其分成两个全等的等腰直角三角形：\( \triangle AMN \) 和 \( \triangle CMN \)。
因此，\( \triangle MNC \) 的面积是 \( \triangle ACM \) 面积的一半。
综合起来，\( \triangle MNC \) 的面积是 \( \triangle ABC \) 面积的 \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)。
答案：比例为 1:4。
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水泵 A 可以在 4 小时内充满一个水箱。水泵 B 可以在 6 小时内充满同一个水箱。两台水泵于上午 8:00 开始同时给同一个空水箱注水。一小时后，水泵 B 发生故障，花了一小时修理，然后重新启动。水箱什么时候能充满？（将答案四舍五入到最接近的分钟）。
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水泵 A 的注水速率是每小时 \( \dfrac{1}{4} \) 个水箱。水泵 B 的速率是每小时 \( \dfrac{1}{6} \) 个水箱。
设 \( t \) 为水泵 A 运行的总时间（小时）。因为水泵 B 损坏了正好 1 小时，所以它运行了 \( t - 1 \) 小时。
两台水泵共同充满 1 个完整的水箱：
\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]将方程乘以 12 以消去分母：
\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{小时} \end{aligned} \]将 2.8 小时转换为小时和分钟：
\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{分钟} \]总时间为 2 小时 48 分钟。从上午 8:00 开始算起，水箱将在上午 10:48 充满。
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方程为 \( 2x + y = 2 \) 和 \( x - 2y = 0 \) 的两条直线是平行、垂直还是既不平行也不垂直？
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将每个方程转换为斜截式（\( y = mx + b \））：
\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{斜率 } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{斜率 } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]这两条直线的斜率互为负倒数，因为它们的乘积为 \(-1\)：
\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]答案：这两条直线垂直。
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一个面积为 \( 50\pi \) cm2 的半圆内切于一个矩形。半圆的直径与矩形的长度重合。求矩形的面积。
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设 \( R \) 为半圆的半径。半圆的面积是完整圆面积的一半：
\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]既然半圆的直径与矩形的长度重合，则长度 \( L = 2R = 20 \) cm。
因为半圆内切，其半径触及矩形的顶宽，所以宽度 \( W = R = 10 \) cm。
计算矩形的面积：
\[ \text{面积} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \] -
一个三角形的面积为 200 cm2。该三角形的两条边长分别为 26 cm 和 40 cm。求第三条边的精确值。
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设 \( a = 26 \)，\( b = 40 \)，\( \alpha \) 为它们之间的夹角。三角形的面积公式为：
\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]代入已知值求出 \( \sin(\alpha) \)：
\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]利用恒等式 \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) 求出 \( \cos(\alpha) \)。因为三角形中的角可以是锐角或钝角，\( \cos(\alpha) \) 有两个可能的值：
\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]现在，应用余弦定理求第三条边 \( c \)：
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]计算 \( c^2 \) 的两种可能情况：
\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]答案：第三条边的两个精确可能值分别为 \( 2\sqrt{89} \) cm 和 \( 2\sqrt{1049} \) cm。