Les règles de base de la dérivation des fonctions en analyse sont présentées ainsi que plusieurs exemples.
1. Dérivée d'une fonction constante
La dérivée de \( f(x) = c \), où \( c \) est une constante, est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = -10 \), on a donc :
\[ f'(x) = 0 \]2. Dérivée d'une fonction puissance (Règle de la puissance)
La dérivée de \( f(x) = x^r \), où \( r \) est un nombre réel constant, est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = x^{-2} \), on a donc :
\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]3. Dérivée d'une fonction multipliée par une constante
La dérivée de \( f(x) = c \cdot g(x) \), où \( c \) est une constante, est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = 3x^3 \), soit \( c = 3 \) et \( g(x) = x^3 \), ainsi \( f(x) = c \cdot g(x) \) :
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]4. Dérivée de la somme de fonctions (Règle de la somme)
La dérivée de \( f(x) = g(x) + h(x) \) est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = x^2 + 4 \), soit \( g(x) = x^2 \) et \( h(x) = 4 \) :
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]5. Dérivée de la différence de fonctions (Règle de la différence)
La dérivée de \( f(x) = g(x) - h(x) \) est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = x^3 - x^{-2} \), soit \( g(x) = x^3 \) et \( h(x) = x^{-2} \) :
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]6. Dérivée du produit de deux fonctions (Règle du produit)
La dérivée de \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \), soit \( g(x) = x^2 - 2x \) et \( h(x) = x - 2 \) :
\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]Développons et regroupons les termes semblables :
\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]7. Dérivée du quotient de deux fonctions (Règle du quotient)
La dérivée de \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) est donnée par :
Exemple et solution
Étant donné \( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \), soit \( g(x) = x - 2 \) et \( h(x) = x + 1 \). Ici, \( g'(x) = 1 \) et \( h'(x) = 1 \) :
\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]Regroupons et simplifions :
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]