La définition de la concavité d'une courbe est introduite en même temps que les points d'inflexion. Des exemples, accompagnés de solutions détaillées, sont utilisés pour clarifier le concept de concavité à l'aide des première et seconde dérivées.
Exemples visuels de concavité
Exemple 1 : Concavité vers le haut
Notez que la pente de la droite tangente (première dérivée) augmente. Le graphique de la figure ci-dessous est dit concave vers le haut.
Figure 1
Exemple 2 : Concavité vers le bas
La pente de la droite tangente (première dérivée) diminue dans le graphique ci-dessous. Nous qualifions le graphique ci-dessous de concave vers le bas.
Figure 2
Définition de la concavité
Soit \(f'\) la première dérivée d'une fonction \(f\) qui est dérivable sur un intervalle donné \(I\). Le graphique de \(f\) est :
- (i) concave vers le haut sur l'intervalle \(I\), si \(f'\) est croissante sur \(I\), ou
- (ii) concave vers le bas sur l'intervalle \(I\), si \(f'\) est décroissante sur \(I\).
Le signe de la dérivée seconde nous indique quand \(f'\) est croissante ou décroissante.
Théorème
Soit \(f''\) la dérivée seconde d'une fonction \(f\) sur un intervalle donné \(I\). Le graphique de \(f\) est :
- (i) concave vers le haut sur \(I\) si \(f''(x) > 0\) sur l'intervalle \(I\).
- (ii) concave vers le bas sur \(I\) si \(f''(x) < 0\) sur l'intervalle \(I\).
Définition du point d'inflexion
Un point \(P\) sur le graphique de \(y = f(x)\) est un point d'inflexion si \(f\) est continue en \(P\) et que la concavité du graphique change en \(P\). Au vu du théorème ci-dessus, il existe un point d'inflexion chaque fois que la dérivée seconde change de signe.
Exemples résolus
Exemple 3 : Fonctions quadratiques
Problème : Déterminez les valeurs du coefficient dominant \(a\) pour lesquelles le graphique de la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est concave vers le haut ou vers le bas.
Solution :
Nous trouvons d'abord les première et seconde dérivées de la fonction \(f\) :
\[f'(x) = 2ax + b\] \[f''(x) = 2a\]Étudions maintenant le signe de \(f''(x)\), qui est égal à \(2a\) :
- Si \(a\) est positif, \(f''(x)\) est positif sur l'intervalle \((-\infty, +\infty)\). D'après le théorème ci-dessus, le graphique de \(f\) sera concave vers le haut pour les valeurs positives de \(a\).
- Si \(a\) est négatif, le graphique de \(f\) sera concave vers le bas sur l'intervalle \((-\infty, +\infty)\) puisque \(f''(x) = 2a\) est négatif.
Les graphiques de deux fonctions quadratiques sont présentés ci-dessous : \(y = 2x^2 - 2x - 1\) (concave vers le haut car \(a = 2 > 0\)) et \(y = -x^2 + 3x + 1\) (concave vers le bas car \(a = -1 < 0\)).
