Questions d'algèbre pour la 10e année (Seconde)

Posez l'équation \( x^3 = x \).

Soustrayez \( x \) des deux côtés : \( x^3 - x = 0 \).

Mettez \( x \) en facteur : \( x(x^2 - 1) = 0 \).

Factorisez la différence de carrés : \( x(x - 1)(x + 1) = 0 \).

Réponse : 0, 1, -1

Voir la solution en vidéo

L'exposant \(-2\) indique qu'il faut déplacer la virgule de 2 positions vers la gauche.

Réponse : 0.04

Voir la solution en vidéo

L'exposant \(-3\) indique qu'il faut déplacer la virgule de 3 positions vers la gauche à partir de sa position actuelle dans 0.12.

Réponse : 0.00012

Utilisez la règle de la puissance pour les logarithmes \( a \log_b(c) = \log_b(c^a) \) :
\( 2 \log_3 x = \log_3(x^2) \)

Utilisez la règle du produit pour les logarithmes \( \log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n) \) :
\( \log_3(x^2) + \log_3 5 = \log_3(5x^2) \)

Réponse : \( \log_3(5x^2) \)

Voir la solution en vidéo

Factorisez par regroupement. Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes :
\( (6x^2 - 21xy) + (8xz - 28yz) \)

Mettez en évidence le plus grand facteur commun pour chaque groupe :
\( 3x(2x - 7y) + 4z(2x - 7y) \)

Mettez en facteur le binôme commun \( (2x - 7y) \) :

Réponse : \( (2x - 7y)(3x + 4z) \)

Voir la solution en vidéo

Utilisez la formule de la différence de deux carrés \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) où \( A = (x - 1) \) et \( B = (y - 2) \) :

\( [ (x - 1) - (y - 2) ] [ (x - 1) + (y - 2) ] \)

Simplifiez à l'intérieur des crochets :
\( (x - 1 - y + 2)(x - 1 + y - 2) \)

Réponse : \( (x - y + 1)(x + y - 3) \)

Voir la solution en vidéo

Réécrivez \( z^4 \) comme \( (z^2)^2 \) pour faire apparaître la différence de deux carrés :

\( x^2 - (z^2)^2 \)

Appliquez la formule de la différence de carrés :

Réponse : \( (x - z^2)(x + z^2) \)

Voir la solution en vidéo

Remplacez les valeurs données dans l'expression de la valeur absolue :

\( |-2(3) - 5 + 3| \)
\( = |-6 - 5 + 3| \)
\( = |-11 + 3| \)
\( = |-8| \)

Réponse : 8

Voir la solution en vidéo

Distribuez les termes à travers les parenthèses :

\( -2x + 6 - 8x + 32 \)

Regroupez les termes semblables :

Réponse : \( -10x + 38 \)

Voir la solution en vidéo

Développez la différence de carrés \( (x + 3)(x - 3) \) :

\( x^2 - 9 \)

Distribuez le signe négatif dans le second terme :

\( x^2 - 9 + x + 9 \)

Regroupez les termes semblables (le 9 et le -9 s'annulent) :

Réponse : \( x^2 + x \)

Voir la solution en vidéo

Cette propriété algébrique montre que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

Réponse : Propriété de distributivité (La distributivité)

Divisez les coefficients : \( 8 / 2 = 4 \).

Utilisez la règle du quotient pour les exposants \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \) :
\( x^{3 - (-3)} = x^{3 + 3} = x^6 \)

Réponse : \( 4x^6 \)

Tout d'abord, rappelez-vous que toute base non nulle élevée à la puissance 0 est égale à 1. Donc, \( (c^2)^0 = 1 \).

Élevez le premier terme au carré en multipliant les exposants :
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 1 \cdot a^4 \cdot b^6 \)

Réponse : \( a^4b^6 \)

Remplacez \( x = -2 \) et \( y = k \) dans l'équation :

\( -3(-2) + 3(k) = 4 \)
\( 6 + 3k = 4 \)

Soustrayez 6 des deux côtés :
\( 3k = -2 \)

Divisez par 3 :

Réponse : \( k = -2/3 \)

Voir la solution en vidéo

Un système d'équations linéaires n'a pas de solution si les droites sont parallèles, c'est-à-dire si leurs pentes sont égales mais que leurs ordonnées à l'origine sont différentes.

Trouvez la pente de la première droite : \( 6y = -2x - 2 \Rightarrow y = -1/3x - 1/3 \) (La pente est \(-1/3\)).

Trouvez la pente de la deuxième droite : \( ay = 3x + 4 \Rightarrow y = (3/a)x + 4/a \) (La pente est \(3/a\)).

Égalez les pentes l'une à l'autre :
\( -1/3 = 3/a \)
Effectuez un produit en croix pour trouver \(a\) : \( -a = 9 \Rightarrow a = -9 \).

Réponse : \( a = -9 \)

Voir la solution en vidéo

Tout d'abord, trouvez la pente (\(m\)) en utilisant les points (0, -4) et (4, -20) :
\( m = \frac{-20 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-16}{4} = -4 \).

L'ordonnée à l'origine (\(b\)) est donnée lorsque \(x = 0\), ce qui est -4.

En utilisant \( y = mx + b \) :

Réponse : C) \( y = -4x - 4 \)

Le diagramme montre un rectangle avec une longueur de \( (x + 1) \) et une largeur de \( (x - 1) \). Il suffit de les multiplier ensemble pour trouver l'aire :

\( \text{Aire} = (x + 1)(x - 1) \)

En développant, on obtient la différence de deux carrés :

Réponse : \( \text{aire} = x^2 - 1 \)

Trouvez la pente (\(m\)) :
\( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

Utilisez la forme point-pente avec (1, -1) :
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = 3(x - 1) \)
\( y + 1 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 4 \)

Multipliez l'équation entière par 2 pour correspondre aux formats à choix multiples standard souvent présentés :

Réponse : \( 2y = 6x - 8 \)

Isolez l'expression de la valeur absolue :
\( 2|3x - 2| = 10 \)
\( |3x - 2| = 5 \)

Établissez les deux équations possibles :
Cas 1 : \( 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \)
Cas 2 : \( 3x - 2 = -5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)

Réponse : Ensemble des solutions : \( \{ 7/3, -1 \} \)

Voir la solution en vidéo

Utilisez la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) où \( a = 1/2 \), \( b = m \), et \( c = -2 \) :

\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4(1/2)(-2)}}{2(1/2)} \)

\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)

Réponse : \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)

Une équation du second degré possède une solution réelle unique lorsque son discriminant \( D = b^2 - 4ac \) est exactement égal à 0.

\( D = (2k)^2 - 4(-1)(-4) = 0 \)
\( 4k^2 - 16 = 0 \)
\( 4k^2 = 16 \)
\( k^2 = 4 \)

Réponse : \( k = 2, k = -2 \)

Une équation du second degré possède deux solutions réelles lorsque son discriminant est tel que \( D > 0 \).

\( D = (-4)^2 - 4(1)(4b) > 0 \)
\( 16 - 16b > 0 \)
\( 16 > 16b \)
\( 1 > b \)

Réponse : Toutes les valeurs de \( b < 1 \)

Voir la solution en vidéo

Remplacez chaque valeur du domaine dans la fonction pour trouver l'image :

\( f(1) = -(1)^2 + 7 = -1 + 7 = 6 \)
\( f(5) = -(5)^2 + 7 = -25 + 7 = -18 \)
\( f(7) = -(7)^2 + 7 = -49 + 7 = -42 \)
\( f(12) = -(12)^2 + 7 = -144 + 7 = -137 \)

Réponse : \( \{6, -18, -42, -137\} \)

La formule du périmètre d'un rectangle est \( P = 2L + 2l \).

Remplacez \( L = 3l \) et \( P = 160 \) dans la formule :
\( 160 = 2(3l) + 2l \)
\( 160 = 6l + 2l \)
\( 160 = 8l \)
\( l = 20 \)

Si la largeur (\(l\)) est de 20, la longueur (\(L\)) est de \( 3 \times 20 = 60 \).

Réponse : Largeur = 20 cm, Longueur = 60 cm

Utilisez la propriété des valeurs absolues \( |-a| = |a| \) :

\( |-x| = |x| \)
\( |3x| = 3|x| \)
\( |-2x| = 2|x| \)

Remplacez cela dans l'expression :
\( |x| + 3|x| - 2|x| + 3|x| \)

Regroupez les termes semblables : \( (1 + 3 - 2 + 3)|x| = 5|x| \).

Réponse : \( 5|x| \)

Voir la solution en vidéo

Factorisez la différence de carrés : \( (x - y)(x + y) = 10 \).

Remplacez \( (x + y) = 2 \) dans l'équation :
\( (x - y)(2) = 10 \)
\( x - y = 5 \)

Vous avez maintenant un système linéaire simple :
1) \( x + y = 2 \)
2) \( x - y = 5 \)

Additionnez les deux équations pour éliminer \( y \) :
\( 2x = 7 \Rightarrow x = 3.5 \).

Remplacez \( x = 3.5 \) dans la première équation : \( 3.5 + y = 2 \Rightarrow y = -1.5 \).

Réponse : \( x = 3.5, y = -1.5 \)

Voir la solution en vidéo