Questions du test pratique de mathématiques de 10e année

Solution a : Développez les membres de gauche : \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (Éq. I) et \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (Éq. II). Additionnez (I) et (II) pour éliminer \( x \) : \( (-2x-y) + (2x-3y) = 2 + (-2) \rightarrow -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). Remplacez \( y=0 \) dans (I) : \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). Réponse finale : (-1, 0).

Solution b : Multipliez la première équation par 3 et la seconde par 5 : \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) et \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x+30-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). Multipliez (II) par 3 : \( 30x-3y=15 \). Additionnez à (I) : \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). Remplacez : \( 1+3y=16 \rightarrow 3y=15 \rightarrow y=5 \). Réponse finale : (1, 5).

Solution c : Résolvez (II) pour \( y \) : \( 2y = 4x-6 \rightarrow y = 2x-3 \). Remplacez dans (I) : \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-2x+1+2x-3 = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). Ainsi \( x = 1 \) ou \( x = -1 \). Pour \( x=1, y=-1 \). Pour \( x=-1, y=-5 \). Réponse finale : (1, -1) et (-1, -5).

Solution a : D'abord, développez les produits : \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) et \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). Appliquez le signe négatif : \( -(x^2+x-2) = -x^2-x+2 \). Combinez : \( (-x^2-x+2) + (x^2-4x+4) = -5x+6 \). Réponse finale : -5x+6.

Solution b : Développez le produit cubique : \( x(x^2+3x-3) - 2(x^2+3x-3) = x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). Développez la différence de deux carrés : \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). Combinez : \( (x^3+x^2-9x+6) - (x^2-1) = x^3+x^2-9x+6-x^2+1 = x^3-9x+7 \). Réponse finale : x³-9x+7.

Solution a : Identifiez le plus grand facteur commun (PGFC) : \( 3 \) et \( x^2 \). Forme factorisée : 3x²(x + 2).

Solution b : Mettez en facteur le binôme commun \( (x-3) \) : \( (x-3)[(x^2+3x+2) - (x+1)] = (x-3)(x^2+2x+1) \). En reconnaissant le trinôme carré parfait \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \), on obtient : (x - 3)(x + 1)².

Solution c : Utilisez la formule de la différence de carrés \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Ici \( a=9x \) et \( b=4y \). Réponse finale : (9x - 4y)(9x + 4y).

Solution d : Mettez -1 en facteur : \( -(6x^2-7x+2) \). En utilisant la méthode du trinôme où \( a \cdot c = 12 \) et \( b = -7 \), les nombres sont -3 et -4. La factorisation donne : -(2x - 1)(3x - 2).

Solution a : Mettez -2 en facteur pour les termes en x : \( -2(x^2+x)+4 \). Ajoutez et soustrayez \( (1/2)^2 = 1/4 \) à l'intérieur : \( -2[(x+1/2)^2 - 1/4] + 4 = -2(x+1/2)^2 + 1/2 + 4 \). Forme canonique : \( f(x) = -2(x+0.5)^2 + 4.5 \). Sommet : (-0.5, 4.5).

Solution b : Ordonnée à l'origine : \( f(0) = \mathbf{4} \). Pour les abscisses à l'origine, résolvez \( -2x^2-2x+4=0 \rightarrow -2(x^2+x-2)=0 \rightarrow -2(x+2)(x-1)=0 \). Abscisses à l'origine : x = 1, x = -2.

Solution c : L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet \( x = h \). Réponse finale : x = -0.5.

Tableau a : Testez le ratio \( y/x \) : \( 1.8/0.3 = 6, 4.2/0.7 = 6 \). Il s'agit d'une proportionnalité directe avec la formule \( y = 6x \). Pour \( x=0.2, y = 6(0.2) = \mathbf{1.2} \).

Tableau b : Testez le produit \( xy \) : \( 0.1 \cdot 2 = 0.2, 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \). Il s'agit d'une proportionnalité inverse avec la formule \( xy = 0.2 \). Pour \( x=20, y = 0.2/20 = \mathbf{0.01} \).

Tableau c : Les ratios et les produits ne sont pas constants. Par conséquent, aucune règle de proportionnalité spécifique ne peut être établie pour trouver la valeur manquante.

Appliquez le théorème de Pythagore : \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \)
\( (4x^2 + 4x + 1) + 144 = 16x^2 - 8x + 1 \)
\( 12x^2 - 12x - 144 = 0 \). Divisez par 12 : \( x^2 - x - 12 = 0 \).
La factorisation donne \( (x-4)(x+3) = 0 \). Puisqu'une longueur doit être positive, x = 4.
Côtés : \( \overline{AB}=2(4)+1=9 \), \( \overline{BC}=12 \), \( \overline{AC}=4(4)-1=15 \).
Angles : \( \angle C = \tan^{-1}(9/12) \approx \mathbf{36.87^\circ} \). \( \angle A = 90 - 36.87 = \mathbf{53.13^\circ} \).

En utilisant l'identité de Pythagore : \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Remplacez par la valeur donnée : \( (0.6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 0.64 \).
Puisque \( \alpha \) est aigu, nous prenons la racine positive : \( \cos \alpha = 0.8 \).
En utilisant l'identité \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) :
\( \tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \mathbf{0.75} \).

Puisque \( BE \parallel CD \), les triangles \( ABE \) et \( ACD \) sont semblables (\( \triangle ABE \sim \triangle ACD \)) par le cas de similitude AA.
Trouvez x : \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \rightarrow \frac{10}{10+2} = \frac{6}{x} \rightarrow 10x = 72 \rightarrow \mathbf{x = 7.2} \).
Trouvez y : \( \frac{AE}{AD} = \frac{EB}{DC} \rightarrow \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \).
\( 6(11+y) = 79.2 \rightarrow 66 + 6y = 79.2 \rightarrow 6y = 13.2 \rightarrow \mathbf{y = 2.2} \).

Appliquez la loi des sinus : \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
\( \frac{10}{\sin A} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow \sin A = \frac{10 \cdot \sin 49^\circ}{14} \approx 0.539 \).
\( A = \sin^{-1}(0.539) \approx \mathbf{32.62^\circ} \).
Trouvez l'angle B : \( B = 180^\circ - (49^\circ + 32.62^\circ) = \mathbf{98.38^\circ} \).
Trouvez le côté \( b \) : \( \frac{b}{\sin 98.38^\circ} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow b = \frac{14 \cdot \sin 98.38^\circ}{\sin 49^\circ} \approx \mathbf{18.35 \text{ cm}} \).

1. L'ordonnée à l'origine est à \( (0, 3) \). Remplacez dans l'équation : \( A(0) + B(3) = 1 \rightarrow 3B = 1 \rightarrow \mathbf{B = 1/3} \).
2. La droite passe par \( (1, 5) \). Remplacez \( x=1, y=5, B=1/3 \) :
\( A(1) + (1/3)(5) = 1 \rightarrow A + 5/3 = 1 \).
\( A = 1 - 5/3 = \mathbf{-2/3} \).

Soit \( x \) = volume de la solution à 20 % et \( y \) = volume de la solution à 55 %.
Équation 1 (Volume Total) : \( x + y = 5 \)
Équation 2 (Teneur en Acide) : \( 0.20x + 0.55y = 0.45(5) \rightarrow 0.20x + 0.55y = 2.25 \).
Multipliez l'Éq. 1 par 0.20 : \( 0.20x + 0.20y = 1.0 \).
Soustrayez de l'Éq. 2 : \( 0.35y = 1.25 \rightarrow \mathbf{y \approx 3.57 \text{ L}} \).
Remplacez en retour : \( x = 5 - 3.57 = \mathbf{1.43 \text{ L}} \).

Soit \( x \) = distance à 80 km/h et \( y \) = distance à 120 km/h.
En utilisant la formule \( \text{Temps} = \frac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}} \) :
Éq 1 (Distance Totale) : \( x + y = 1000 \)
Éq 2 (Temps Total) : \( \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \).
Multipliez l'Éq 2 par 240 (PPCM) : \( 3x + 2y = 2400 \).
À partir de l'Éq 1, \( y = 1000 - x \). Remplacez dans l'Éq 2 simplifiée :
\( 3x + 2(1000 - x) = 2400 \rightarrow 3x + 2000 - 2x = 2400 \).
x = 400 km à 80 km/h, et y = 600 km à 120 km/h.

Soit \( C = (-1, b) \). Pour que \( AC \) soit l'hypoténuse, l'angle droit doit être au sommet \( B \). D'après le théorème de Pythagore : \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
Formule du carré de la distance : \( d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \).
\( AB^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 25 + 1 = 26 \).
\( BC^2 = (-3 - (-1))^2 + (4 - b)^2 = 4 + (4 - b)^2 \).
\( AC^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - b)^2 = 9 + (3 - b)^2 \).
Établissez l'équation : \( 9 + (3 - b)^2 = 26 + 4 + (4 - b)^2 \).
\( 9 + 9 - 6b + b^2 = 30 + 16 - 8b + b^2 \).
\( 18 - 6b = 46 - 8b \rightarrow 2b = 28 \rightarrow \mathbf{b = 14} \). Coordonnée finale : (-1, 14).

1. Trouvez le budget total (\(B\)) :
Puisque 5 % du budget correspond à 200 $, nous écrivons l'équation :
\( 0.05 \cdot B = 200 \)
\( B = \frac{200}{0.05} \)
\( B = 4000 \$ \)

2. Déterminez le total combiné pour le logement (\(h\)) et la nourriture (\(f\)) :
Ces catégories représentent 70 % du budget :
\( h + f = 0.70 \cdot 4000 \)
\( h + f = 2800 \$ \) — (Équation I)

3. Liez le logement à la nourriture :
Le logement coûte 500 $ de plus que la nourriture :
\( h = f + 500 \) — (Équation II)

4. Résolvez le système d'équations :
Remplacez l'Équation II dans l'Équation I :
\( (f + 500) + f = 2800 \)
\( 2f + 500 = 2800 \)
\( 2f = 2300 \)
\( f = 1150 \$ \)

5. Trouvez le coût du logement :
\( h = 1150 + 500 \)
\( h = 1650 \$ \)

Réponse finale : Linda dépense 1650 $ pour le logement et 1150 $ pour la nourriture.

Formule pour l'aire d'un cerf-volant : \( \text{Aire} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} \).
Dans le triangle rectangle \( DMC \), \( \angle MDC = 45^\circ \), il est donc isocèle. \( \overline{DM} = \overline{MC} \).
\( \overline{DM}^2 + \overline{MC}^2 = 10^2 \rightarrow 2\overline{DM}^2 = 100 \rightarrow \overline{DM} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
Diagonale 1 (\( \overline{BD} \)) = \( 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
Diagonale 2 (\( \overline{AC} \)) = \( \overline{AM} + \overline{MC} \). \( \overline{AM} = 5\sqrt{2} \cdot \tan(65^\circ) \approx 15.15 \).
\( \overline{AC} = 15.15 + 7.07 = 22.22 \).
Aire : \( \frac{22.22 \cdot 14.14}{2} \approx \mathbf{157.23 \text{ cm}^2} \).

1. Soit l'angle de la sécante sur la droite \( n \) égal à \( \alpha = 33^\circ \). Puisque \( m \parallel n \), l'angle correspondant \( \beta \) sur la droite \( m \) est également de \( 33^\circ \).
2. Dans le triangle formé par les intersections, la somme des angles doit être de \( 180^\circ \). Les angles connus sont \( 89^\circ \) et \( 34^\circ \). Le troisième angle \( \theta = 180 - (89 + 34) = \mathbf{57^\circ} \).
3. L'angle total entre la droite \( m \) et la droite \( r \) est la somme des angles adjacents \( \beta \) et \( \theta \) :
\( \text{Angle Total} = 33^\circ + 57^\circ = \mathbf{90^\circ} \).
Puisque l'angle est de \( 90^\circ \), les droites \( m \) et \( r \) sont perpendiculaires.

Volume d'une pyramide : \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Aire de la Base} \cdot h \).
Soit \( s \) le côté de la base carrée. La diagonale \( d = s\sqrt{2} \rightarrow 10 = s\sqrt{2} \rightarrow s^2 = 50 \) (Aire de la base).
Remplacez les valeurs : \( 1500 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \).
\( 4500 = 50h \rightarrow \mathbf{h = 90 \text{ cm}} \).