Problèmes de mathématiques avec solutions pour la 10e année (Seconde)

a) La hauteur maximale est atteinte au sommet de la parabole :
$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{secondes}$$

b) Remplacez $t = 1.5$ dans l'équation pour obtenir la hauteur maximale :
$$h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{mètres}$$

c) Posez $h(t) = 0$ :
$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
Factorisez :
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{ou}\ t = -1$$
Le temps ne peut pas être négatif, par conséquent la balle touche le sol $4$ secondes après avoir été lancée.

a) Soit $d$ le nombre de pièces de 10 cents et $q$ le nombre de pièces de 25 cents.
Le nombre total de pièces est de $30$ :
$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
Une pièce de 10 cents vaut $10$ cents et une de 25 cents vaut $25$ cents, donc :
$$0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)}$$

b) À partir de l'équation (1) : $d = 30 - q$
Remplacez dans l'équation (2) :
$$0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10$$
Développez et simplifiez :
$$3 - 0.10q + 0.25q = 5.10$$
$$0.15q = 2.10$$
$$q = 14$$
Alors $d = 16$.
Vous avez $16$ pièces de 10 cents et $14$ pièces de 25 cents.

a) Le rayon est la distance du centre à n'importe quel point du cercle, d'où l'utilisation de la formule de la distance pour trouver le rayon $r$ en utilisant le centre $(3,-2)$ et le point $(6,2)$ :
$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

b) L'équation du cercle est donnée par :
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Factorisez toutes les expressions :
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

Maintenant, remplacez dans l'expression donnée :
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$

Annulez les facteurs communs $(x - 3)$ et $(x + 3)$ pour obtenir :
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$

Lorsque nous annulons des facteurs communs, comme cela a été fait ci-dessus, nous divisons par des facteurs communs. Nous ne pouvons pas diviser par zéro, par conséquent nous devons imposer les conditions que les facteurs communs annulés ne peuvent pas être nuls :
$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$
$$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$

L'expression donnée se simplifie en :
$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{où } x \neq 3,\ -3$$

Élevez les deux côtés au carré :
$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$
$$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$

Réorganisez :
$$0 = x^2 - 4x - 2$$

Utilisez la formule quadratique :
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

Vérifiez les solutions étrangères (extruses) :

Essayez $x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45$ :
Côté gauche (LHS) = $\sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45$
Côté droit (RHS) = $4.45 - 1 = 3.45$ (Valide)

Essayez $x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45$ :
Côté gauche (LHS) = $\sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$
Côté droit (RHS) = $-0.45 - 1 = -1.45$ (Invalide)

La solution $x = 2 + \sqrt{6}$ vérifie les deux côtés de l'équation donnée mais $x = 2 - \sqrt{6}$ ne le fait pas et est donc une solution étrangère.

La solution à l'équation donnée est : $$x = 2 + \sqrt{6}$$

Trouvez la pente de $AB$ et $CD$ :
$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$

Trouvez la pente de $BC$ et $AD$ :
$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
$$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Puisque les deux paires de côtés opposés sont parallèles, ABCD est un parallélogramme.

D'abord, exprimez 625 comme une puissance de 5 :
$$625 = 5^4$$

Utilisez les règles des exposants pour écrire :
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$

Réécrivez l'équation :
$$5^{2x - 1} = 5^4$$

Ce qui donne l'équation algébrique :
$$2x - 1 = 4$$

Résolvez pour $x$ :
$$x = \frac{5}{2}$$

Utilisez la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi) :
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$
$$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$
$$c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5)$$
$$c^2 = 149 + 70 = 219$$
$$c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{cm}$$

Remplacez $x = 4$, $f(x) = 15$ dans l'équation :
$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$

Résolvez pour $a$ :
$$15 = a(2)^2 + 3$$
$$a = 3$$

La fonction $f(x)$ est une fonction quadratique donnée par :
$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$

À partir de la forme canonique $a(x - h)^2 + k$, le sommet est $(h, k) = (2, 3)$.

a) Soit $h$ la hauteur de la tour. Utilisez la formule de la tangente dans un triangle rectangle :
$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
Résolvez pour $h$ :
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{m}$$

b) Hauteur du drone : $31.2 + 30 = 61.2$
Soit $\theta$ l'angle d'élévation vers le drone :
$$\tan(\theta) = \frac{61.2}{50}$$
$$\theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.8^\circ$$

Soit :
$S$ la vitesse du bateau en eau calme (en km/h),
$r$ la vitesse du courant de la rivière (en km/h),
$d$ la distance entre les points A et B (en km).

D'après les données : En aval (dans le sens du courant) :
$$d = 3(S + r)$$
En amont (à contre-courant) :
$$d = 5(S - r)$$

En égalisant les deux expressions pour $d$ :
$$3(S + r) = 5(S - r)$$

Développez les deux côtés :
$$3S + 3r = 5S - 5r$$

Regroupez les termes avec $r$ d'un côté et les termes avec $S$ de l'autre côté :
$$8r = 2S$$

Résolvez pour $r$ :
$$r = \frac{S}{4}$$

Maintenant, remplacez $r = \frac{S}{4}$ dans l'équation en aval :
$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$

Maintenant, en eau calme (sans courant), la vitesse est simplement $S$. Temps pour voyager de A à B en eau calme :
$$\text{Temps} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ heures}$$

Donc, le temps qu'il faudrait au bateau pour aller de A à B en eau calme est de $3 \text{ heures et } 45 \text{ minutes}$.

Développez la fonction :
$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$

C'est une fonction quadratique de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a = -3, \, b = 42$.

La fonction atteint son maximum au sommet dont l'abscisse (coordonnée x) est donnée par :
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$

Pour trouver la valeur maximale, remplacez $x = 7$ dans la fonction :
$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$

La fonction a un maximum à $x = 7$ et la valeur maximale de $f(x)$ est $f(7) = 27$.

Soit $n$ le nombre d'élèves ayant obtenu moins de 60 et $N$ le nombre d'élèves ayant obtenu 60 ou plus.

La moyenne pour les élèves ayant obtenu moins de 60 est :
$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$

La moyenne pour les élèves ayant obtenu 60 ou plus est :
$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$

La moyenne globale de la classe est 70 :
$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$

Remplacez :
$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$

Multipliez tous les termes par 20 et simplifiez :
$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$

Nous avons aussi :
$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$

Remplacez $N$ dans l'équation (1) :
$$50n + 75(20 - n) = 1400$$

Développez et simplifiez :
$$-25n + 1500 = 1400$$

Résolvez pour $n$ :
$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$

$n = 4$ élèves ont obtenu moins de 60.

Soit $h$ la hauteur du trapèze.
$$\text{Aire} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{base}_1 + \text{base}_2) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$

Résolvez pour $h$ :
$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle rectangle de gauche (hypoténuse $L$) :
$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle rectangle de droite (hypoténuse $R$) :
$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$

Le périmètre du trapèze est :
$$\text{Périmètre} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68 \text{ unités}$$

Soit la longueur $L$ mètres et la largeur $W$ mètres de sorte que $L > W$.

Utilisez l'aire pour écrire :
$$L \times W = 300$$

Utilisez le périmètre pour écrire :
$$2L + 2W = 70$$

Divisez tous les termes par 2 :
$$L + W = 35$$

Résolvez pour $L$ :
$$L = 35 - W$$

Remplacez dans l'équation de l'aire :
$$(35 - W) \cdot W = 300$$

Développez et réorganisez sous forme quadratique standard :
$$35W - W^2 = 300$$
$$W^2 - 35W + 300 = 0$$

Résolvez en utilisant la formule quadratique :
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$

$$W = 20 \text{ ou } W = 15$$

Pour $W = 15$, $L = 35 - 15 = 20$.
Pour $W = 20$, $L = 35 - 20 = 15$.

Puisque $L > W$, le rectangle a pour dimensions $L = 20$ et $W = 15$.

Le moteur a une vitesse de $3\,000$ tours par minute.
1 tour correspond à $360^\circ$
1 minute correspond à $60$ secondes

Utilisez l'analyse dimensionnelle :
$$\frac{3000 \, \text{tr}}{1 \, \text{min}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{tr}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{sec}}$$

Annulez les unités pour obtenir des degrés par seconde :
$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1\,080\,000}{60} = 18\,000^\circ \, \text{par seconde}$$

Soit $x$ le prix de vente de la maison.
$$6\% \text{ de } x = 8\,880$$
$$0.06x = 8\,880$$

Résolvez pour $x$ :
$$x = \frac{8\,880}{0.06}$$
$$x = 148\,000$$

Le prix de vente de la maison était de $148\,000\ \$ $.

Nous avons :
Vitesse de rotation : $400 \, \text{tr/min}$
Vitesse linéaire : $72 \, \text{km/h} = 72\,000 \, \text{m/h}$

D'abord, convertissez les tours par minute en tours par heure :
$$400 \, \dfrac{\text{tr}}{\text{min}} \times 60 \, \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 24\,000 \, \dfrac{\text{tr}}{\text{h}}$$

Soit $C$ la circonférence du pneu en mètres. La distance totale parcourue en une heure est égale au nombre de tours par heure multiplié par la circonférence :
$$24\,000 \cdot C = 72\,000$$

Résolution pour $C$ :
$$C = \frac{72\,000}{24\,000} = 3 \, \text{mètres}$$

Soit $x$ le coût d'une chemise, $y$ le coût d'un pantalon, et $z$ le coût d'un chapeau. Nous avons :
(1) $4x + 4y + 2z = 560$
(2) $9x + 9y + 6z = 1290$

Divisez l'équation (2) par 3 :
(3) $3x + 3y + 2z = 430$

Maintenant, soustrayez l'équation (1) de l'équation (3) :
$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$
$$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$

Remplacez l'équation (4) dans l'équation (3) :
$$3(x + y) + 2z = 430$$
$$3(130) + 2z = 430$$
$$390 + 2z = 430$$
$$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$

Maintenant, remplacez pour trouver le coût total de 1 chemise, 1 pantalon et 1 chapeau :
$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$

Le coût total est de $150\ \$ $.

Soit $x$ le nombre total de jouets.
Le premier enfant a $\frac{x}{10}$ jouets.
Le deuxième enfant a $\frac{x}{10} + 12$ jouets.
Le troisième enfant a $\frac{x}{10} + 1$ jouets.
Le quatrième enfant a $2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)$ jouets.

Nous établissons l'équation pour le nombre total de jouets :
$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$

Développez :
$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$

Regroupez les termes semblables :
$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$
$$\frac{x}{2} + 15 = x$$

Soustrayez $\frac{x}{2}$ des deux côtés :
$$15 = \frac{x}{2}$$

Résolvez pour $x$ :
$$x = 30$$

Ainsi, le nombre total de jouets est $30$.

D'abord, nous écrivons chaque terme du produit sous forme de fraction :
$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$

Maintenant, observez le modèle d'annulation en cascade (télescopique). Le numérateur de chaque fraction annule le dénominateur de la fraction précédente, ne laissant que le premier numérateur et le dernier dénominateur :

$$\frac{9}{100}$$