Expressions radicales - Questions avec solutions pour la 10e année (Seconde)

Des questions de 10e année sur la façon d'utiliser des formules importantes pour simplifier des expressions algébriques radicales sont présentées ci-dessous. Examinez les formules et les exemples, essayez de résoudre les questions pratiques, et cliquez sur "Voir la solution" pour consulter les solutions détaillées étape par étape.

Formules importantes et exemples

Formule A

Si $n$ et $m$ sont des entiers positifs et si $\sqrt[n]{y}$ est un nombre réel, alors :

$$ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m} $$

Exemples :

  1. Puisque $\sqrt{5}$ est un nombre réel :
    $$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5$$
  2. Puisque $\sqrt[3]{-7}$ est un nombre réel :
    $$(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49$$

Formule B

Si $n$ est un entier positif PAIR, alors :

$$ \sqrt[n]{y^n} = |y| $$

Exemples :

  1. $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4$
  2. $\sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3$
  3. $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
  4. $\sqrt[4]{x^4} = |x|$
  5. $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$

Formule C

Si $n$ est un entier positif IMPAIR, alors :

$$ \sqrt[n]{y^n} = y $$

Exemples :

  1. $\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1$
  2. $\sqrt[5]{(-2)^5} = -2$
  3. $\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3$
  4. $\sqrt[5]{x^5} = x$
  5. $\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2$

Questions pratiques avec réponses

Réécrivez, si possible, les expressions suivantes sans radicaux (simplifiez) :

Question 1

Simplifiez : $\left( \sqrt[3]{x} \right)^3$

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L'indice du radical $3$ est impair et égal à la puissance du radicande.

$$ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x $$

Question 2

Simplifiez : $\left( \sqrt{x} \right)^2$

Voir la solution

Puisque $\sqrt{x}$ est un nombre réel, $x$ doit être positif ou nul, et par conséquent $|x| = x$.

$$ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x $$

Question 3

Simplifiez : $-\left( \sqrt{x} \right)^4$

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$$ -\left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 $$

Question 4

Simplifiez : $\sqrt{-x^2 - 1}$

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Puisque $-x^2 - 1$ est toujours un nombre négatif, $\sqrt{-x^2 - 1}$ n'est pas un nombre réel.

Question 5

Simplifiez : $\sqrt[8]{x^8}$

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L'indice $8$ est pair et égal à la puissance du radicande.

$$ \sqrt[8]{x^8} = |x| $$

Question 6

Simplifiez : $\sqrt{x^6}$

Voir la solution

$$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $$

Question 7

Simplifiez : $\sqrt{x \cdot |x|}$

Voir la solution

Si $x < 0$, alors $|x| = -x$ et $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2}$ qui n'est pas un nombre réel.

Si $x \geq 0$, alors $|x| = x$ et $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x$.

Question 8

Simplifiez : $\sqrt[10]{x^{10}}$

Voir la solution

L'indice $10$ du radical est pair et égal à la puissance du radicande.

$$ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| $$

Question 9

Simplifiez : $\sqrt[3]{(x - 2)^3}$

Voir la solution

L'indice $3$ du radical est impair et égal à la puissance du radicande.

$$ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 $$

Question 10

Simplifiez : $\sqrt{\frac{x^2}{9}}$

Voir la solution

$$ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} $$

Question 11

Simplifiez : $\sqrt[5]{\frac{x^5}{32}}$

Voir la solution

$$ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} $$

Question 12

Simplifiez : $\sqrt{(-x + 3)^2}$

Voir la solution

Le radical a un indice et une puissance du radicande qui sont pairs.

$$ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | $$

Question 13

Simplifiez : $\sqrt{x^2 + 4x + 4}$

Voir la solution

Le radical a un indice et une puissance du radicande qui sont pairs.

$$ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| $$

Liens et références