Problèmes textuels de trigonométrie de 10e année avec solutions détaillées

$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8,1 \; \text{ (2 chiffres significatifs)} $$

$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (2 chiffres significatifs) } $$

L'aire est donnée par :

$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$

Résolvez pour $x$ :

$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$

Utilisez le théorème de Pythagore :

$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$

Résolvez pour $H$ :

$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$

$BH$ perpendiculaire à $AC$ signifie que les triangles $\triangle ABH$ et $\triangle HBC$ sont des triangles rectangles. Ainsi :

$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle $\triangle HBC$ :

$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$

Remplacez $HC$ et résolvez pour $x$ :

$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$

$$ x \approx 12,3 \quad \text{(arrondi à 3 chiffres significatifs)} $$

Puisque $\angle A$ est droit, les deux triangles $\triangle ABC$ et $\triangle ABD$ sont rectangles, et nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore :

$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$

Résolvez pour $AD$ et $AC$ :

$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$

Aussi, $x = AC - AD$ :

$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$

$$ x \approx 2,69 \quad \text{(arrondi à 3 chiffres significatifs)} $$

Utilisez le triangle rectangle $\triangle ABC$ pour écrire :

$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$

Utilisez le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $\triangle BCD$ pour écrire :

$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$

Résolvez pour $BD$ et remplacez $BC$ :

$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$

$$ BD \approx 13,4 \quad \text{(arrondi à 3 chiffres significatifs)} $$

Le triangle est rectangle et l'un de ses angles est de $45^\circ$. Le troisième angle est également de $45^\circ$, par conséquent le triangle est rectangle et isocèle.

Soit $x$ la longueur de l'une des cathètes, et $H$ l'hypoténuse.

$$ \text{Aire} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$

Utilisez le théorème de Pythagore :

$$ x^2 + x^2 = H^2 $$

$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$

Soit $a$ la longueur du côté opposé à l'angle $A$, $b$ la longueur du côté adjacent à l'angle $A$ et $h$ la longueur de l'hypoténuse.

$$ \tan(A) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$

Nous pouvons écrire : $a = 3k$ et $b = 4k$, où $k$ est un coefficient de proportionnalité.

Trouvons $h$. En utilisant le théorème de Pythagore, nous écrivons :

$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$

$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$

$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$

Soit $b$ la longueur du côté opposé à l'angle $B$, $c$ la longueur du côté opposé à l'angle $C$, et $h$ l'hypoténuse.

$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$

$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$

Puisque les deux côtés sont de longueur égale, le triangle est isocèle, et les angles $B$ et $C$ sont égaux, chacun mesurant $45^\circ$.

Le diagramme ci-dessous montre un rectangle avec des diagonales et la moitié de l'un des angles marquée $x$.

$$ \tan(x) = \frac{5}{2,5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$

L'angle plus grand formé par les diagonales est $2x$ :

$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 chiffres significatifs)} $$

$$ \text{Angle plus petit formé par les diagonales : } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$

Soit $x$ la longueur du côté AC. Utilisez la loi des cosinus :

$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$

Résolvez l'équation quadratique pour $x$ :

$$ x = 14,0 \quad \text{et} \quad x = -5,7 $$

Puisque $x$ ne peut pas être négatif, la solution est :

$$ x = 14,0 \quad \text{(arrondi à une décimale)} $$

$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$

$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \text{Hauteur du deuxième bâtiment} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ mètres} $$

Soit $h$ la hauteur initiale du ballon au-dessus du point $P$. Après la montée, la nouvelle hauteur est $h + 50$ mètres.

La distance horizontale de la voiture à $P$ est $d$ (qui reste constante).

L'angle de dépression depuis le ballon vers la voiture est égal à l'angle d'élévation depuis la voiture vers le ballon (par alternes-internes).

Donc, pour la position initiale :

$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(puisque } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$

Ainsi,

$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$

Après être montée de 50 mètres, la nouvelle hauteur est $h + 50$, et l'angle de dépression est de $35^\circ$ :

$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$

Donc,

$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$

Maintenant, remplacez l'équation (1) dans l'équation (2) :

$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$

Réorganisez pour résoudre pour $d$ :

$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$

$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$

$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$

Utilisez les valeurs numériques : $\tan(35^\circ) \approx 0,7002$ et $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,57735$ pour obtenir :

$$ d = \frac{50}{0,7002 - 0,57735} = \frac{50}{0,12285} \approx 406,97 $$

Par conséquent, la voiture est à environ $407$ mètres du point $P$.

Soit $h$ la hauteur du bâtiment. Initialement, quand l'angle d'élévation est de $70^\circ$, la longueur de l'ombre est $s$.

Quand l'angle d'élévation diminue à $60^\circ$, la longueur de l'ombre devient $s + 10$.

Pour le cas initial (angle $70^\circ$) :

$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$

Donc,

$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$

Pour le nouveau cas (angle $60^\circ$) :

$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$

Donc,

$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$

Maintenant, soustrayez l'équation (1) de l'équation (2) :

$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$

$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$

Donc,

$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$

Simplifiez l'expression :

$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$

Évaluez numériquement :

$$ h \approx 46,86474 $$

Par conséquent, la hauteur du bâtiment est d'environ $46,9$ mètres.