Explorez des questions d'algèbre de 11e année couvrant les fonctions, les polynômes, les équations de cercles et de paraboles, et la simplification d'expressions. Chaque sujet inclut des solutions détaillées étape par étape conçues pour aider les élèves à comprendre et à maîtriser les concepts algébriques clés. Idéal pour les révisions, la pratique et pour renforcer la confiance dans la résolution de problèmes.
Complétez le carré dans la fonction quadratique $f$ donnée par :
$$ f(x) = 2x^2 - 6x + 4 $$
Mettez 2 en facteur pour les deux premiers termes :
$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$
Ajoutez et soustrayez $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$ à l'intérieur des parenthèses :
$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$
Écrivez $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ comme un carré parfait $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$ :
$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$
Regroupez $-\dfrac{9}{2} + 4$ :
$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$
Trouvez le(s) point(s) d'intersection de la parabole d'équation $y = x^2 - 5x + 4$ et de la droite d'équation $y = 2x - 2$.
Les coordonnées des points d'intersection de la parabole et de la droite sont trouvées en résolvant le système d'équations :
$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$
Remplacez $y$ par $2x - 2$ dans la première équation :
$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$
Écrivez l'équation quadratique sous forme standard (un côté égal à zéro) :
$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$
Solution de l'équation quadratique :
$$ x = 1 \quad \text{et} \quad x = 6 $$
Trouvez les coordonnées $y$ :
Pour $x = 1$, $y = 2(1) - 2 = 0$
Pour $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$
Points d'intersection :
$$ (1, 0) \quad \text{et} \quad (6, 10) $$
Trouvez la constante $k$ telle que : $$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$ pour toutes les valeurs réelles de $x$.
Équation donnée :
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$
Développement du membre de droite :
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$
Deux polynômes sont égaux si leurs coefficients correspondants sont égaux, d'où :
$$ -(k + 7) = 6 $$
Résolution pour $k$ :
$$ k = -13 $$
Trouvez le centre et le rayon du cercle d'équation : $$ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 $$
Regroupez les termes en $x$ et les termes en $y$ :
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$
Complétez le carré pour $x^2 - 2x$ :
$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$
Complétez le carré pour $y^2 + 4y$ :
$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$
Réécrivez l'équation donnée comme :
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$
Écrivez l'équation du cercle sous forme standard $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ :
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$
Identifiez le centre $(h,k)$ et le rayon $r$ :
$$ x - h = x - 1 \quad \text{donne} \quad h = 1 $$
$$ y - k = y + 2 \quad \text{donne} \quad k = -2 $$
$$ r^2 = 4^2 \quad \text{donne} \quad r = 4 $$
Ainsi :
$$ \text{Centre : } (1, -2), \quad \text{Rayon = } 4 $$
Trouvez la constante $k$ telle que l'équation quadratique $$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$ possède deux solutions réelles.
Équation quadratique donnée :
$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$
Calculez le discriminant :
$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$
Une équation quadratique possède deux solutions réelles lorsque le discriminant est strictement positif :
$$ 25 + 8k > 0 $$
Résolvez pour $k$ :
$$ k > -\frac{25}{8} $$
Trouvez la constante $k$ telle que le système de deux équations : $$ 2x + ky = 2 \quad \text{et} \quad 5x - 3y = 7 $$ n'ait aucune solution.
Selon la règle de Cramer, si le déterminant $D$ de la matrice des coefficients est égal à zéro et que l'un des déterminants $D_x$ ou $D_y$ n'est pas égal à zéro, le système n'a pas de solution.
La matrice des coefficients $A$ est :
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$
Son déterminant $D$ est :
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$
En posant $D = 0$ :
$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$
Nous définissons le déterminant $D_x$ en remplaçant la première colonne de $A$ par la matrice des constantes $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$ :
$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$
En remplaçant $k = -\frac{6}{5}$ :
$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$
Puisque le déterminant des coefficients $D = 0$ mais $D_x \neq 0$, le système est inconsistant et n'a pas de solution lorsque :
$$ k = -\frac{6}{5} $$
Factorisez l'expression : $$ 6x^2 - 13x + 5 $$
Dans l'expression quadratique $ax^2 + bx + c$, nous identifions $a = 6$, $b = -13$ et $c = 5$. Multipliez $a$ et $c$ :
$$ 6 \times 5 = 30 $$
Nous cherchons deux nombres dont le produit est 30 et la somme est -13. Les nombres -10 et -3 satisfont ces conditions :
$$ -10 \times -3 = 30 $$
$$ -10 + (-3) = -13 $$
Nous utilisons ces nombres pour décomposer $-13x$ en $-10x - 3x$ :
$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$
Regroupez les termes et factorisez par des éléments communs :
$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$
Comme $(3x - 5)$ est commun, l'expression est factorisée en :
$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$
Simplifiez $i^{231}$ où $i$ est l'unité imaginaire définie par $i = \sqrt{-1}$.
Notez que $i^4 = 1$. Observez aussi que $231 = 4 \times 57 + 3$. Ainsi :
$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$
Puisque $i^4 = 1$, nous obtenons :
$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$
Quel est le reste de la division de $f(x) = (x - 2)^{54}$ par $x - 1$ ?
Selon le théorème du reste, le reste $r$ de la division de $f(x)$ par $x - c$ est donné par $f(c)$. Ici, $c = 1$.
$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$
Trouvez $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = 4x^2 - bx - c$ possède un sommet aux coordonnées $(2, 4)$.
La formule de la coordonnée x du sommet $h$ est $-\frac{b}{2a}$ :
$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$
Résolvez pour $b$ :
$$ b = 16 $$
Le point du sommet est une solution à l'équation de la parabole, donc remplacez $x=2$ et $y=4$ :
$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$
$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$
Résolvez pour $c$ :
$$ c = -20 $$
Ainsi $b = 16$ et $c = -20$.
Trouvez tous les zéros du polynôme $P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ sachant que $x = 2$ est un zéro de $P(x)$.
Puisque $x = 2$ est une racine, $(x - 2)$ est un facteur de $P(x)$. Divisez $P(x)$ par $(x - 2)$ pour trouver le quotient quadratique $Q(x)$ :
$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$
Nous avons maintenant :
$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$
Factorisez la quadratique :
$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$
Factorisation finale :
$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$
Posez chaque facteur égal à zéro pour lister toutes les racines :
$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$
Si $x$ est un entier, quelle est la plus grande valeur de $x$ qui satisfait l'inéquation $5 \lt 2x + 2 \lt 9$ ?
Résolvez l'inéquation composée en soustrayant 2 de toutes les parties :
$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$
Divisez par 2 :
$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$
Puisque $\frac{7}{2} = 3,5$, la plus grande valeur entière de $x$ qui satisfait l'inéquation donnée est $3$ (le plus grand entier strictement inférieur à $3,5$).
Les ensembles $A$ et $B$ sont donnés par $A = \{2, 3, 6, 8, 10\}$ et $B = \{3, 5, 7, 9\}$.
a) Trouvez l'intersection des ensembles $A$ et $B$.
b) Trouvez l'union des ensembles $A$ et $B$.
a) Le seul élément commun à $A$ et $B$ est 3, donc l'intersection est :
$$ A \cap B = \{3\} $$
b) Tous les éléments de $A$ et $B$ sont dans l'union. Les éléments communs aux deux ne sont listés qu'une seule fois :
$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$
Simplifiez : $\left| -x^2 + 4x - 4 \right|$
Réécrivez l'expression en mettant le signe négatif en facteur :
$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$
Complétez le carré :
$$ = | -(x - 2)^2 | $$
Utilisez la propriété $|-A| = |A|$. Puisque $(x-2)^2$ est toujours non négatif pour tout nombre réel $x$, nous pouvons supprimer complètement les barres de valeur absolue :
$$ = (x - 2)^2 $$
Trouvez la constante $k$ telle que la droite d'équation $y = kx$ soit tangente au cercle d'équation $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$.
Une droite et un cercle sont tangents s'ils ont exactement un point d'intersection. Remplacez $y = kx$ dans l'équation du cercle :
$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$
Développez :
$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$
Regroupez les termes pour écrire l'équation quadratique sous forme standard $(Ax^2 + Bx + C = 0)$ :
$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$
Pour que la droite soit tangente, cette équation quadratique doit avoir exactement une solution, ce qui signifie que son discriminant $\Delta$ doit être égal à zéro :
$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$
Développez l'équation du discriminant :
$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$
$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$
Divisez toute l'équation par $-4$ pour simplifier :
$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$
Résolvez cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique pour $k$ :
$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$
Simplifiez le radical ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$) :
$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$
Réponses finales :
$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{ou} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$