Concept fondamental
La fonction $y = \sqrt{x}$ n'existe que lorsque $x \ge 0$. Comme le montre le graphique ci-dessous, il n'existe aucune valeur réelle pour la fonction lorsque $x$ est négatif.
Guide étape par étape, interprétations graphiques et exemples résolus
Le domaine d'une fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{g(x)}$ est l'ensemble de toutes les valeurs réelles de $x$ pour lesquelles l'expression $g(x)$ est non négative ($g(x) \ge 0$). Cela garantit que le résultat reste un nombre réel.
La fonction $y = \sqrt{x}$ n'existe que lorsque $x \ge 0$. Comme le montre le graphique ci-dessous, il n'existe aucune valeur réelle pour la fonction lorsque $x$ est négatif.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
La fonction prend des valeurs réelles si la quantité sous le radical satisfait la condition :
\[ x - 2 \ge 0 \]La résolution de l'inéquation donne :
\[ x \ge 2 \]Vérification graphique : Le graphique "existe" seulement pour les valeurs de $x$ supérieures ou égales à 2.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
La condition pour obtenir des valeurs réelles est :
\[ |x - 1| \ge 0 \]Comme une expression de valeur absolue est toujours supérieure ou égale à zéro pour tout nombre réel, la condition est satisfaite pour tout $x$.
Domaine : Tous les nombres réels $\mathbb{R}$, ou $(-\infty, \infty)$.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
Puisque la division par zéro est interdite, le radicande doit être strictement positif :
\[ x + 3 > 0 \]La résolution donne :
\[ x > -3 \]Vérification graphique : Le graphique commence juste après $x = -3$ et s'étend vers la droite.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
Deux conditions doivent être remplies simultanément :
Le domaine est l'intersection de ces ensembles :
\[ x > 2 \]
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
Condition : \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
Les points critiques sont $x = -4$ et $x = 2$. Test des intervalles :
Domaine : $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (Note : $x=2$ est exclu à cause du dénominateur).
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
Condition : \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
Puisque $x^2 + 4$ est toujours au moins égal à 4 pour tout $x$ réel, il ne peut jamais être inférieur ou égal à 0.
Domaine : Ensemble vide (aucune solution réelle).
Trouvez le domaine de : \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
Conditions :
Intersection : $2 < x \le 6$. En notation d'intervalle : $(2, 6]$.
Trouvez le domaine de : \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
Condition : \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
Cette inéquation est vraie quand $x$ est en dehors des racines $-2$ et $2$.
Domaine : $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Trouvez le domaine de : \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
Condition : \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
Cette inéquation est vraie quand $x$ est compris entre les racines $-2$ et $2$.
Domaine : $[-2, 2]$.
