Questions, solutions et interprétations graphiques étape par étape
Une fonction rationnelle est définie comme le rapport de deux polynômes. Le domaine se compose de tous les nombres réels à l'exception de ceux qui rendent le dénominateur égal à zéro.
La fonction $y = \frac{1}{x}$ n'est définie que lorsque $x \neq 0$. En notation d'intervalle, le domaine est $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Comme on peut le voir sur le graphique ci-dessous, la fonction n'est pas définie au niveau de la droite verticale $x = 0$.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
La fonction n'est pas définie là où le dénominateur est égal à zéro :
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]Domaine : Tous les nombres réels sauf $x = 2$.
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
Le dénominateur est égal à zéro si l'un ou l'autre facteur est nul :
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{ou} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]Domaine : $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Trouvez le domaine de la fonction : \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
Posez le dénominateur égal à zéro et factorisez :
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]Domaine : $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.
Trouvez le domaine de : \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
Factorisez le dénominateur trinôme :
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]Le dénominateur est nul pour $x = -2$ et $x = 1$.
Domaine : $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Trouvez le domaine de : \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
Vérifiez si $x^2 + x + 5 = 0$ a des racines réelles en utilisant le discriminant ($\Delta$) :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]Puisque $\Delta < 0$, aucune valeur réelle ne rend le dénominateur égal à zéro.
Domaine : Tous les nombres réels, $(-\infty, \infty)$.
