Questions du test d'entraînement en mathématiques 11e année

a) Simplifiez chaque terme individuellement :
$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$\frac{16}{\sqrt{32}} = \frac{16}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Combinez : $(5\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \mathbf{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.

b) $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ et $2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3}(-6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}(-12\sqrt{3}) = -120(3) = \mathbf{-360}$.

Voir la solution vidéo

Rationalisez le dénominateur en multipliant par le conjugué $(2 + \sqrt{5})$ :
\[ \frac{(1+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5}{-1} = \frac{7+3\sqrt{5}}{-1} = -7-3\sqrt{5} \]
Simplifiez $4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$.
Résultat final : $-7 - 3\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = \mathbf{-7 + 5\sqrt{5}}$.

Voir la solution vidéo

Distribuez la première partie : $x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6 = x^3 - 5x^2 + 8x - 6$.
Développez la deuxième partie : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Soustrayez : $(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) - (x^2 + 6x + 9) = \mathbf{x^3 - 6x^2 + 2x - 15}$.

Voir la solution vidéo

Puisque $b > 0$, $\sqrt{9b^2} = 3b$.
Équation : $3b = 6b\sqrt{x}$.
Divisez par $6b$ : $\frac{3b}{6b} = \sqrt{x} \implies \frac{1}{2} = \sqrt{x}$.
Élevez au carré les deux côtés : $\mathbf{x = 1/4}$.

Voir la solution vidéo

a) Le dénominateur commun est $2(x-1)(x+2)$.
Numérateur : $2x(2)(x+2) - 1(2)(x-1) - 6 = 4x^2 + 8x - 2x + 2 - 6 = 4x^2 + 6x - 4 = 2(2x-1)(x+2)$.
Simplifiez : $\mathbf{\frac{2x-1}{x-1}}$.

b) Factorisez tous les termes et multipliez par l'inverse :
\[ \frac{2(x+2)(x-1)}{(x+3)(x+5)} \cdot \frac{(x+7)(x+3)}{2(x+1)(x+2)} = \mathbf{\frac{(x-1)(x+7)}{(x+5)(x+1)}} \]

Voir 5a | Voir 5b

Simplifiez la première partie : $\frac{9x^4y^4}{16x^4y^8} = \frac{9}{16y^4}$.
Simplifiez la deuxième partie : $\frac{27x^3y^3}{36x^{-2}y^4} = \frac{3x^5}{4y}$.
Divisez : $\frac{9}{16y^4} \cdot \frac{4y}{3x^5} = \mathbf{\frac{3}{4x^5y^3}}$.

Voir la solution vidéo

Réécrivez comme $x^2 + 2x - 2 < 0$.
Résolvez l'égalité $x^2 + 2x - 2 = 0$ en utilisant la formule quadratique pour trouver les points critiques : $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
Puisque la parabole est ouverte vers le haut ($a > 0$), l'expression est négative entre les racines : $\mathbf{(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})}$.

Voir la solution vidéo

a) Sommet : $x = -b/2a = -2/-2 = 1$. $f(1) = 3$. Le sommet est $\mathbf{(1, 3)}$.
b) Points d'intersection : intersection avec l'axe des y en $f(0) = 2$. Intersections avec l'axe des x en $\mathbf{1 \pm \sqrt{3}}$.
c) Symétrie : $x = 1$.
d) Domaine : Tous les nombres réels. Image : $(-\infty, 3]$.

Utilisez la forme canonique : $y = a(x-2)^2 + 2$.
Insérez l'intersection avec l'axe des y $(0, -2)$ : $-2 = a(0-2)^2 + 2 \implies -4 = 4a \implies a = -1$.
Développez : $f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 2 = \mathbf{-x^2 + 4x - 2}$.
Intersections exactes avec l'axe des x ($y=0$) : $\mathbf{x = 2 \pm \sqrt{2}}$.

En utilisant $(1, 1)$ : $1 = a^{1-b}$. Pour tout $a > 0$, cela implique $1-b = 0$, donc $\mathbf{b = 1}$.
En utilisant $(2, 3)$ : $3 = a^{2-1} \implies a^1 = 3$, donc $\mathbf{a = 3}$.
Équation : $\mathbf{g(x) = 3^{x-1}}$.

Multipliez par le dénominateur commun $(x-2)(x+1)$ :
$(2x+1)(x+1) = -1(x-2)(x+1) - 1(x-2)$
$2x^2 + 3x + 1 = -(x^2 - x - 2) - x + 2$
$2x^2 + 3x + 1 = -x^2 + 4 \implies 3x^2 + 3x - 3 = 0$.
Divisez par 3 : $x^2 + x - 1 = 0$. Solution : $\mathbf{x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$.

a) $\cos(45+30) = \cos(45)\cos(30) - \sin(45)\sin(30) = \mathbf{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
b) $\sec(15) = 1/\cos(45-30) = 1/(\cos45\cos30 + \sin45\sin30) = \mathbf{\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.

a) $\tan(-330^{\circ}) = \tan(30^{\circ}) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
b) $\csc(480^{\circ}) = \csc(120^{\circ}) = 1/\sin(60^{\circ}) = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$.

Membre de gauche : $\tan x \cdot \frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\cos x} \cdot \sin x$
$= 1 + \frac{\sin x}{\cos x}$
$= 1 + \tan x$. Membre de droite obtenu.

a) $\theta = \arctan(0,2) \approx 11,3^{\circ}$. Également une solution dans le quadrant 3 : $11,3 + 180 = \mathbf{191,3^{\circ}}$.
b) $\theta + 30 = 60^{\circ}$ ou $300^{\circ} \implies \theta = \mathbf{30^{\circ}, 270^{\circ}}$.

a) Profondeur max : $7,2 + 5,8 = \mathbf{13,0 \text{ m}}$. Se produit lorsque $\cos = 1$ : $t - 6,5 = 0 \implies \mathbf{t=6,5}$.
b) Profondeur min : $-7,2 + 5,8 = \mathbf{-1,4 \text{ m}}$. Se produit lorsque $\cos = -1$ : $30(t-6,5) = 180 \implies t = 12,5 $.

Fonction de base $2^x$. Réflexion par rapport à l'axe des x ($-2^x$), décalage de 2 vers la droite, décalage de 3 vers le bas. Asymptote en $y = -3$.

Amplitude : 3. Ligne médiane : $y=3$. Réflexion par rapport à la ligne médiane. Déphasage : $30^{\circ}$ vers la droite.

Multipliez les coefficients : $2^{1/5} \cdot (16)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot (2^4)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^1 = 2$.
Multipliez les variables : $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^1 = x$.
Résultat final : $\mathbf{2x}$.

Exprimez $8 ^x \; 4^x$ en base 2 : $8 ^x \; 4^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} = 2^{5x} \implies \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x} = 2^{-5x} $.
Égalisez les exposants : $-5x = -7x + 0,5 \implies 2x = 0,5 \implies \mathbf{x = 0,25}$.

Forme standard : $2x^2 - x + (m-1) = 0$.
Deux solutions réelles nécessitent $D = b^2 - 4ac > 0$.
$(-1)^2 - 4(2)(m-1) > 0 \implies 1 - 8m + 8 > 0 \implies 9 > 8m \implies \mathbf{m < 9/8}$.

Résolvez l'équation de la droite pour $y$ : $2y = 4x - 4 \implies y = 2x - 2$.
Substituez : $(x-2)^2 + (2x-2+1)^2 = 5 \implies $(x-2)^2 + (2x-1)^2 = 5$.
Développez : $5x^2 - 8x + 5 = 5 \implies 5x^2 - 8x = 0$.
$x(5x-8)=0 \implies x = 0, x = 1,6$. Points : $\mathbf{(0, -2)}$ et $\mathbf{(1,6 ; 1,2)}$.

Raison $r = 54/-18 = -3$. Premier terme $a = -18/(-3)^2 = -2$.
$a_7 = -2(-3)^6 = \mathbf{-1458}$.
$S_{10} = \frac{-2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \frac{-2(-59048)}{4} = \mathbf{29524}$.

Utilisez la formule $VP = VA(1 + r/n)^{-nt}$.
$VP = 20000(1 + 0,03)^{-20} = \mathbf{11 073,52 \$}$.