Quelles sont les propriétés d'une fonction quadratique sous forme canonique (forme sommet) ?

Une fonction sous forme canonique $f(x) = a(x-h)^2 + k$ a un sommet à $(h, k)$ et un axe de symétrie à $x = h$. Elle s'ouvre vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.

Représentation graphique de fonctions quadratiques : Forme canonique, forme générale et exemples

Les fonctions quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré 2. Leurs graphiques sont des paraboles. Nous allons explorer la fonction de base $f(x) = x^2$, la forme canonique transformée $f(x) = a(x - h)^2 + k$, et la forme générale $f(x) = ax^2 + bx + c$.

1. La parabole de base : $f(x) = x^2$

Avant de tracer les transformations, nous analysons la fonction mère. Nous utilisons un tableau de valeurs pour tracer les points clés.

$x$	$f(x) = x^2$
-3	9
-2	4
-1	1
0	0 (Sommet)
1	1
2	4
3	9

graphique de la fonction quadratique de base f(x) = x^2

2. Propriétés de la forme canonique : $g(x) = a(x - h)^2 + k$

La **forme canonique** permet d'identifier immédiatement le sommet et l'orientation de la parabole :

Sommet : Situé au point $(h, k)$.
Axe de symétrie : La droite verticale $x = h$.
Sens d'ouverture :
- Si $a > 0$ : S'ouvre vers le haut (le sommet est un minimum).
- Si $a < 0$ : S'ouvre vers le bas (le sommet est un maximum).
Image (Domaine de valeurs) :
- $y \ge k$ si $a > 0$.
- $y \le k$ si $a < 0$.

Exemple 2 : Tracer le graphique de $g(x) = 4(x - 1)^2 - 1$

Voir la solution étape par étape

1. Identifier les paramètres : $a=4, h=1, k=-1$. Le sommet est (1, -1).

2. Points d'intersection :
Intersection avec l'axe des y : $g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3$. Point : (0, 3).
Intersections avec l'axe des x : Résoudre $4(x-1)^2 - 1 = 0$. Points : (0,5, 0) et (1,5, 0).

graphique de la fonction quadratique g(x) = 4(x-1)^2 - 1

3. Représentation graphique sous forme générale : $f(x) = ax^2 + bx + c$

Pour tracer la forme générale, nous calculons d'abord les coordonnées du sommet $(h, k)$ :

$$h = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad k = f(h)$$

Exemple 5 : Tracer le graphique de $p(x) = -2x^2 + 3x + 1$

Trouvez le sommet, les points d'intersection et esquissez le graphique.

Voir la solution

1. Sommet :
$h = -3 / (2 \cdot -2) = 0,75$
$k = p(0,75) = -2(0,75)^2 + 3(0,75) + 1 = 2,125$. Sommet : (0,75, 2,13).

2. Graphique : Puisque $a = -2$, la parabole s'ouvre vers le bas.

Représentation graphique de fonctions quadratiques

1. La parabole de base : $f(x) = x^2$

2. Propriétés de la forme canonique : $g(x) = a(x - h)^2 + k$

Exemple 2 : Tracer le graphique de $g(x) = 4(x - 1)^2 - 1$

3. Représentation graphique sous forme générale : $f(x) = ax^2 + bx + c$

Exemple 5 : Tracer le graphique de $p(x) = -2x^2 + 3x + 1$

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