Cette page fournit des solutions détaillées, étape par étape, à des questions sur l'addition, la soustraction et la simplification d'expressions rationnelles. Vous y trouverez des explications claires, des exemples de base et des problèmes d'entraînement avancés conçus pour aider les élèves et les enseignants à maîtriser ce sujet d'algèbre.
Astuce : Vous pouvez utiliser notre calculatrice pour simplifier des expressions rationnelles afin de vérifier vos résultats !
L'addition, la soustraction et la simplification d'expressions rationnelles s'effectuent exactement de la même manière que pour les fractions numériques. Il y a deux cas principaux :
Cas 1 : Même dénominateur
Si les expressions rationnelles ont déjà le même dénominateur, il suffit d'additionner ou de soustraire les numérateurs et de conserver le même dénominateur.
$$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$$
Cas 2 : Dénominateurs différents
Si les expressions ont des dénominateurs différents, vous devez d'abord trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) pour les convertir au même dénominateur avant de combiner les numérateurs.
Soustrayez et simplifiez : $$\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}$$
Les deux fractions ont le même dénominateur, nous soustrayons donc directement les numérateurs :
$$\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3}$$
Soustrayez et simplifiez : $$\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10}$$
Les deux fractions ont des dénominateurs différents, nous devons donc trouver le plus petit commun multiple (PPCM) de 5 et 10.
Nous convertissons les fractions au dénominateur commun de 10 :
$$\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10}$$
Maintenant, simplifiez :
$$= \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2}$$
Soustrayez et simplifiez : $$\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}$$
Les deux expressions rationnelles ont le même dénominateur, nous soustrayons donc les numérateurs et conservons le même dénominateur :
$$\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2}$$
Simplifiez le numérateur :
$$= \dfrac{-x-2}{x+2}$$
Mettez $-1$ en évidence au numérateur et annulez le facteur commun :
$$= \dfrac{-(x+2)}{x+2} = -1 \quad \text{pour } x \neq -2$$
Pour les questions suivantes, vous devrez savoir comment trouver le PPCM d'expressions.
Évaluez : $$\frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24}$$
Trouvez le PPCM des dénominateurs 6, 18 et 24.
Convertissez les 3 dénominateurs au dénominateur commun 72 :
$$\frac{7 \times \color{red}{12}}{6 \times \color{red}{12}} + \frac{1 \times \color{red}{4}}{18 \times \color{red}{4}} - \frac{5 \times \color{red}{3}}{24 \times \color{red}{3}}$$
$$= \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72}$$
Simplifiez : $$\frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2}$$
Les deux dénominateurs $x + 5$ et $x + 2$ n'ont pas de facteurs communs, leur PPCM est donc donné par :
$$\text{PPCM} = (x + 5)(x + 2)$$
Réécrivez les expressions rationnelles avec le même dénominateur :
$$\frac{(x+3)\color{red}{(x+2)}}{(x+5)\color{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\color{red}{(x+5)}}{(x+2)\color{red}{(x+5)}}$$
$$= \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)}$$
Développez, simplifiez et factorisez le numérateur si possible :
$$= \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)}$$
$$= \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)}$$
Simplifiez : $$\frac{-3}{x-4} + x + 4$$
Pour ajouter une expression rationnelle à une expression sans dénominateur, multipliez l'expression entière par le dénominateur commun sur lui-même :
$$\frac{-3}{x-4} + (x+4) \cdot \frac{\color{red}{x-4}}{\color{red}{x-4}}$$
Les deux expressions ont maintenant le même dénominateur et sont additionnées comme suit :
$$= \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{-3 + x^2 - 16}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4}$$
Simplifiez : $$\frac{x-4}{x^2 - 3x + 2} - \frac{x+5}{x^2 + 2x - 3}$$
Factorisez complètement les dénominateurs pour trouver le PPCM :
$$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$
$$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$$
$$\text{PPCM} = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$$
Réécrivez les expressions rationnelles avec le dénominateur commun :
$$\frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{\color{red}{x+3}}{\color{red}{x+3}} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x-2}}$$
$$= \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)}$$
Soustrayez les numérateurs, développez et simplifiez :
$$= \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)}$$
$$= \frac{(x^2 - x - 12) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)}$$
Simplifiez : $$\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18}$$
Réécrivez l'expression donnée avec les numérateurs et dénominateurs sous forme factorisée et annulez d'abord les facteurs communs :
$$\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3}$$
Les deux nouveaux dénominateurs $(x + 1)$ et $(x + 3)$ n'ont pas de facteurs communs, donc leur PPCM est $(x + 1)(x + 3)$. Réécrivez avec le dénominateur commun :
$$= \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)}$$
Développez et simplifiez :
$$= \frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 1)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)}$$
Simplifiez : $$\frac{2}{2x - 1} + \frac{x + 8}{2x^2 + 9x - 5} - \frac{5}{2x + 10}$$
Factorisez complètement les trois dénominateurs pour trouver le PPCM :
$$2x - 1 = 2x - 1$$
$$2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5)$$
$$2x + 10 = 2(x + 5)$$
$$\text{PPCM} = 2(2x - 1)(x + 5)$$
Réécrivez les expressions rationnelles avec le dénominateur commun :
$$\frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}{2(x+5)}}{\color{red}{2(x+5)}} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{(2x-1)}}{\color{red}{(2x-1)}}$$
Combinez les numérateurs et simplifiez :
$$= \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)}$$
$$= \frac{4x + 20 + 2x + 16 - 10x + 5}{2(2x-1)(x+5)}$$
$$= \frac{-4x + 41}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)}$$
Simplifiez : $$\frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)} + \frac{x}{2x-2}$$
Factorisez complètement les deux dénominateurs pour trouver le PPCM :
$$y(xy - y + 3x - 3) = y(y(x - 1) + 3(x - 1)) = y(x - 1)(y + 3)$$
$$2x - 2 = 2(x - 1)$$
$$\text{PPCM} = 2y(x - 1)(y + 3)$$
Réécrivez les expressions rationnelles avec le dénominateur commun :
$$\frac{y-2}{y(x-1)(y+3)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} + \frac{x}{2(x-1)} \cdot \frac{\color{red}{y(y+3)}}{\color{red}{y(y+3)}}$$
$$= \frac{2(y-2) + xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)}$$
Développez et simplifiez :
$$= \frac{2y - 4 + xy^2 + 3xy}{2y(x-1)(y+3)} = \frac{xy^2 + 3xy + 2y - 4}{2y(x-1)(y+3)}$$