Exemples résolus étape par étape
Exemple 1 : Ensemble de paires ordonnées
Trouvez l'inverse de $f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\}$.
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Pour trouver l'inverse d'un ensemble de points, il suffit d'échanger les coordonnées x et y :
$$f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\}$$Domaine de $f^{-1}$ : $\{0, 1, 3, 4\}$
Image de $f^{-1}$ : $\{-2, 0, 2, 3\}$
Exemple 2 : Fonction linéaire
Trouvez l'inverse de $f(x) = 2x + 2$.
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- Remplacez $f(x)$ par $y$ : $y = 2x + 2$
- Échangez $x$ et $y$ : $x = 2y + 2$
- Résolvez pour $y$ :
$x - 2 = 2y$
$y = \dfrac{1}{2}x - 1$
Résultat : $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1$
Exemple 3 : Fonction racine cubique
Trouvez l'inverse de $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$.
Voir la solution
- Échangez les variables : $x = \sqrt[3]{y - 1}$
- Élevez au cube les deux côtés : $x^3 = y - 1$
- Résolvez pour $y$ : $y = x^3 + 1$
Résultat : $g^{-1}(x) = x^3 + 1$
Exemple 4 : Fonction logarithmique
Trouvez l'inverse de $h(x) = \ln(x - 1)$.
Voir la solution
- Échangez les variables : $x = \ln(y - 1)$
- Convertissez sous forme exponentielle : $e^x = y - 1$
- Résolvez pour $y$ : $y = e^x + 1$
Résultat : $h^{-1}(x) = e^x + 1$
Exemple 5 : Fonction racine carrée
Trouvez l'inverse de $m(x) = \sqrt{x + 2}$.
Voir la solution
- Échangez les variables : $x = \sqrt{y + 2}$
- Élevez au carré les deux côtés : $x^2 = y + 2$
- Résolvez pour $y$ : $y = x^2 - 2$
Remarque cruciale : Puisque l'image de la fonction d'origine est $y \ge 0$, le domaine de la fonction inverse doit être restreint.
Résultat : $m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ pour } x \ge 0$
Exemple 6 : Fonction rationnelle
Trouvez l'inverse de $t(x) = \dfrac{1}{x-1}$.
Voir la solution
- Échangez les variables : $x = \dfrac{1}{y-1}$
- Multipliez les deux côtés par $(y-1)$ : $x(y-1) = 1$
- Développez et isolez $y$ :
$xy - x = 1$
$xy = 1 + x$
$y = \dfrac{x+1}{x}$
Résultat : $t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x}$
