Problèmes de mathématiques de 11e année avec solutions

Étape 1 : Identifier les restrictions. Les dénominateurs ne peuvent pas être nuls, donc $x \neq 2$ et $x \neq -4$.

Étape 2 : Produit en croix. Pour éliminer les fractions, multipliez le numérateur de chaque côté par le dénominateur de l'autre côté :
$$ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) $$

Étape 3 : Développer les deux côtés. Utilisez la méthode de distribution :
$$ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 $$
$$ x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8 $$

Étape 4 : Regrouper les termes pour former une équation quadratique standard. Soustrayez $x^2 + 6x + 8$ des deux côtés :
$$ 0 = 2x^2 - 16x $$

Étape 5 : Factoriser et résoudre. Factorisez le terme commun $2x$ :
$$ 2x(x - 8) = 0 $$

En égalant chaque facteur à zéro, on obtient $x = 0$ et $x = 8$. Les deux sont valides car aucune ne correspond à nos valeurs restreintes.

Solutions finales : { 0 , 8 }.

Étape 1 : Utiliser le théorème des racines rationnelles. Les racines rationnelles possibles sont le rapport des facteurs du terme constant (10) aux facteurs du coefficient dominant (1).

Facteurs du terme constant ($p$) : $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$
Facteurs du coefficient dominant ($q$) : $\pm 1$

Liste des racines possibles ($p/q$) : $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Testons $x = 1$ :
$P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0$.
Puisque $P(1) = 0$, alors $(x - 1)$ est un facteur du polynôme.

Étape 2 : Effectuer une division polynomiale. Divisez $P(x)$ par $(x - 1)$ :
$$ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10 $$

Étape 3 : Factoriser le trinôme obtenu. Trouvez deux nombres qui multipliés donnent -10 et additionnés donnent -3. Ces nombres sont -5 et 2 :
$$ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) $$

Étape 4 : Combiner tous les facteurs.
Factorisation : $(x - 1)(x - 5)(x + 2)$.

Étape 1 : Isoler le terme exponentiel. Divisez les deux côtés par 6 :
$$ 3^x = \dfrac{162}{6} $$
$$ 3^x = 27 $$

Étape 2 : Exprimer les deux côtés avec la même base. Reconnaissez que 27 est une puissance de 3 :
$$ 3^x = 3^3 $$

Étape 3 : Égaliser les exposants. Puisque les bases sont égales, les exposants doivent être égaux.
x = 3.

Étape 1 : Rappeler la formule d'une suite arithmétique.
$$ a_n = a + (n-1)d $$

Étape 2 : Trouver la différence commune ($d$). Substituez les valeurs connues pour le 15e terme :
$$ -35 = 7 + (15 - 1)d $$
$$ -35 = 7 + 14d $$
$$ -42 = 14d \Rightarrow d = -3 $$

Étape 3 : Calculer le 30e terme. Utilisez à nouveau la formule avec $n = 30$ et $d = -3$ :
$$ a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3) $$
$$ a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80} $$.

Étape 1 : Traduire le problème en équation.
$$ N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15} $$

Étape 2 : Éliminer les fractions. Multipliez l'équation entière par le dénominateur commun, $15N$ :
$$ 15N(N) + 15N\left(\dfrac{1}{N}\right) = 15N\left(\dfrac{78}{15}\right) $$
$$ 15N^2 + 15 = 78N $$

Étape 3 : Simplifier et égaler à zéro. Déplacez tous les termes d'un côté :
$$ 15N^2 - 78N + 15 = 0 $$
Divisez par 3 pour simplifier :
$$ 5N^2 - 26N + 5 = 0 $$

Étape 4 : Factoriser l'équation quadratique.
$$ (5N - 1)(N - 5) = 0 $$

Étape 5 : Résoudre. Cela donne $N = 1/5$ et $N = 5$. Comme la question demande un entier, nous écartons la fraction.
Solution : N = 5.

Étape 1 : Produit en croix pour supprimer les fractions.
$$ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n $$

Étape 2 : Exprimer tous les nombres avec des bases premières. Nous savons que $128 = 2^7$, $4 = 2^2$, et $125 = 5^3$.
$$ 2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n $$

Étape 3 : Appliquer les règles des exposants. Combinez les termes avec la base 2 et la base 5 :
$$ 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n} $$

Étape 4 : Résoudre pour m et n. Comme 2 et 5 sont des nombres premiers distincts, la seule façon pour qu'une puissance de 2 soit égale à une puissance de 5 est qu'elles soient toutes deux égales à 1 (c'est-à-dire $2^0 = 5^0$). Par conséquent, les deux exposants doivent être égaux à zéro :
$$ 7 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = -7 \Rightarrow \mathbf{m = -3,5} $$
$$ 3 + n = 0 \Rightarrow \mathbf{n = -3} $$

Étape 1 : Déterminer les restrictions du domaine. Les logarithmes ne sont définis que pour des arguments positifs, donc $x > 0$ et $x - 2 > 0$. En combinant ces conditions, notre solution doit satisfaire $x > 2$.

Étape 2 : Condenser les logarithmes. Utilisez la règle du produit des logarithmes ($\log(a) + \log(b) = \log(ab)$) :
$$ \log_2[x(x - 2)] = 3 $$

Étape 3 : Convertir sous forme exponentielle. Par définition d'un logarithme :
$$ x(x - 2) = 2^3 $$
$$ x^2 - 2x = 8 $$

Étape 4 : Résoudre l'équation quadratique.
$$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$
$$ (x - 4)(x + 2) = 0 $$

Cela donne des solutions potentielles $x = 4$ et $x = -2$. En vérifiant notre restriction de domaine ($x > 2$), nous voyons que $-2$ est une solution étrangère.
Solution finale : x = 4.

Étape 1 : Reconnaître l'addition répétée. Ajouter trois termes identiques revient à multiplier ce terme par 3 :
$$ 3 \cdot \left(3^{n + 4001}\right) $$

Étape 2 : Appliquer les règles des exposants. Le nombre 3 peut être écrit comme $3^1$. Lors de la multiplication de termes ayant la même base, on additionne les exposants :
$$ 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001} $$

Forme simplifiée : $3^{n + 4002}$

Étape 1 : Remplacer $f(x)$ par $y$.
$$ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} $$

Étape 2 : Échanger $x$ et $y$. C'est l'étape clé pour trouver une fonction inverse :
$$ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} $$

Étape 3 : Isoler le nouveau $y$. Multipliez les deux côtés par $y + 3$ :
$$ x(y + 3) = 2y - 1 $$
$$ xy + 3x = 2y - 1 $$

Déplacez tous les termes contenant $y$ d'un côté, et tous les autres termes de l'autre :
$$ xy - 2y = -3x - 1 $$

Factorisez $y$ :
$$ y(x - 2) = -3x - 1 $$

Divisez par $x - 2$ :
$$ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} $$

Fonction inverse : $f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2}$.

Étape 1 : Égaliser les équations. Puisque les deux équations sont égales à $y$ :
$$ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 $$

Étape 2 : Simplifier sous forme quadratique standard. Déplacez tous les termes du côté gauche :
$$ x^2 - 6x + 4 = 0 $$

Étape 3 : Résoudre en utilisant la formule quadratique. ($a=1, b=-6, c=4$)
$$ x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} $$
$$ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} $$

Simplifiez le radical ($\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$) :
$$ x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} $$

Étape 4 : Trouver les valeurs de $y$ correspondantes. Remplacez les valeurs de $x$ dans l'équation linéaire $y = 2x - 1$ :
Si $x = 3 + \sqrt{5}$ : $y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5}$.
Si $x = 3 - \sqrt{5}$ : $y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5}$.

Solutions : $(3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5})$ et $(3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5})$.

Étape 1 : Écrire la forme canonique d'une parabole.
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
Substituez le sommet $(h, k) = (2, -1)$ :
$$ y = a(x - 2)^2 - 1 $$

Étape 2 : Trouver le facteur d'étirement vertical ($a$). Substituez le point connu $(x, y) = (4, 7)$ dans l'équation :
$$ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 $$
$$ 7 = a(2)^2 - 1 $$
$$ 7 = 4a - 1 $$
$$ 8 = 4a \Rightarrow a = 2 $$

Étape 3 : Écrire l'équation finale.
$y = 2(x - 2)^2 - 1$.

Étape 1 : Établir les équations du périmètre et de l'aire. Soit $x$ la largeur (deux côtés perpendiculaires au mur) et $y$ la longueur (le côté parallèle au mur).
Clôture totale : $2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$.
Aire : $A = x \cdot y$.

Étape 2 : Exprimer l'aire comme fonction de $x$. Substituez $y$ dans l'équation de l'aire :
$$ A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 $$

Étape 3 : Trouver le maximum. C'est une parabole tournée vers le bas ($a = -2$). Le maximum se situe au sommet, où $x = \dfrac{-b}{2a}$ :
$$ x = \dfrac{-100}{2(-2)} = \dfrac{-100}{-4} = 25 $$

Étape 4 : Trouver les dimensions restantes et l'aire.
Si $x = 25$, alors $y = 100 - 2(25) = 50$.
Dimensions : 25m par 50m.
Aire max : $25 \cdot 50 =$ 1250m².

Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Numérateur : $x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)$
Dénominateur (différence de carrés) : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
$$ f(x) = \dfrac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} $$

Étape 2 : Identifier les trous. Le facteur $(x - 3)$ s'annule, ce qui signifie qu'il y a un trou à $x = 3$.
Pour trouver la coordonnée y du trou, remplacez $x = 3$ dans la fonction simplifiée $\dfrac{x - 1}{x + 3}$ :
$y = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Trou à (3, 1/3).

Étape 3 : Identifier les asymptotes verticales (AV). Mettez le dénominateur restant à zéro :
$x + 3 = 0 \Rightarrow$ AV à x = -3.

Étape 4 : Identifier les asymptotes horizontales (AH). Puisque le degré du numérateur (2) est égal au degré du dénominateur (2), l'AH est le rapport de leurs coefficients dominants :
$y = \dfrac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow$ AH à y = 1.

Étape 1 : Trouver la pente de la deuxième droite ($m_2$).
$$ m_2 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -1,5 $$

Étape 2 : Déterminer la pente requise pour la première droite ($m_1$). Les droites perpendiculaires ont des pentes inversement opposées ($m_1 \cdot m_2 = -1$).
$$ m_1 = \dfrac{-1}{-1,5} = \dfrac{2}{3} $$

Étape 3 : Établir l'équation de la pente pour la première droite afin de trouver $k$.
$$ \dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} $$
$$ \dfrac{5}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} $$

Étape 4 : Produit en croix et résoudre.
$15 = 2(-5 - k)$
$15 = -10 - 2k$
$25 = -2k \Rightarrow$ k = -12,5.

Étape 1 : Substituer l'équation de la parabole dans l'équation du cercle. De la parabole, nous pouvons isoler $x^2$ :
$x^2 = y + 4$

Substituez $(y+4)$ pour $x^2$ dans l'équation du cercle :
$$ (y + 4) + y^2 = 25 $$

Étape 2 : Résoudre l'équation quadratique résultante.
$$ y^2 + y - 21 = 0 $$

Utilisez la formule quadratique :
$$ y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-21)}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} $$

Étape 3 : Trouver les valeurs de $x$ correspondantes. Remplacez ces valeurs de $y$ dans $x^2 = y + 4$ :
$$ x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} $$
$$ x = \pm \sqrt{\dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2}} $$

Note : $7 - \sqrt{85}$ donne un nombre négatif, et puisque $x^2$ doit être positif, nous rejetons le cas négatif sous la racine.
Points d'intersection :
$\left( \sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right)$ et $\left( -\sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right)$.

Étape 1 : Trouver le rayon du premier cercle en complétant le carré.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4$
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$.
Le rayon au carré est $r_1^2 = 4$, donc $r_1 = 2$.

Étape 2 : Trouver le rayon du second cercle.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4$
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.
Le rayon au carré est $r_2^2 = 16$, donc $r_2 = 4$.

Étape 3 : Soustraire la plus petite aire de la plus grande aire.
Aire = $\pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2$
Aire = $16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi}$.

Étape 1 : Isoler y dans l'équation de la droite et substituer.
$y = r - x$.
Substituez dans le cercle :
$$ x^2 + (r - x)^2 = 4 $$
$$ x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = 4 $$
$$ 2x^2 - 2rx + (r^2 - 4) = 0 $$

Étape 2 : Utiliser la condition du discriminant pour une tangente. Une droite est tangente à un cercle si elles se coupent en un seul point, ce qui signifie que le discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) de cette équation quadratique doit être égal à zéro.
Ici, $a = 2$, $b = -2r$, $c = r^2 - 4$.
$$ (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 0 $$
$$ 4r^2 - 8r^2 + 32 = 0 $$
$$ -4r^2 = -32 \Rightarrow r^2 = 8 $$

Résultat : $r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Étape 1 : Établir deux triangles rectangles. Soit $h = 80m$ la hauteur de la falaise. Les angles de dépression sont égaux aux angles d'élévation des bateaux vers le haut de la falaise.

Étape 2 : Trouver la distance jusqu'au bateau le plus proche ($d_1$).
En utilisant la tangente (opposé/adjacent) :
$\tan(28^\circ) = \dfrac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150,44m$

Étape 3 : Trouver la distance jusqu'au bateau le plus éloigné ($d_2$).
$\tan(18^\circ) = \dfrac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246,30m$

Étape 4 : Trouver la différence.
$$ \text{Distance} = d_2 - d_1 \approx 246,30 - 150,44 = \mathbf{95,86 m} $$.

Étape 1 : Utiliser l'identité pythagoricienne. Substituez $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ pour obtenir l'équation entièrement en termes de sinus :
$$ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 $$
$$ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 $$

Étape 2 : Réarranger en une équation quadratique standard. Déplacez tous les termes du côté droit pour garder le terme au carré positif :
$$ 0 = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 $$

Étape 3 : Factoriser le quadratique. Considérez $\sin x$ comme une variable $u$ ($2u^2 - 3u + 1 = 0$) :
$$ (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 $$

Étape 4 : Résoudre pour x.
Cas 1 : $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$. L'angle de référence est 30°. Le sinus est positif dans les quadrants I et II, donc $x = 30^\circ$ et $x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Cas 2 : $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$. Cela se produit à $x = 90^\circ$.

Solutions : 30°, 90°, 150°.