Les règles importantes pour simplifier les expressions radicales et les expressions avec des exposants sont présentées ci-dessous avec des exemples. Des questions d'entraînement interactives avec des réponses étape par étape sont fournies au bas de la page.
| Règle | Exemple |
|---|---|
| $0^0$ est indéfini | |
| $0^m = 0$ , $m > 0$ | $0^{10} = 0$ |
| $x^0 = 1$ , $x \neq 0$ | $21^0 = 1$ |
| $1^m = 1$ | $1^{12} = 1$ |
| $(-1)^m = 1$ si $m$ est un entier pair | $(-1)^6 = 1$ |
| $(-1)^m = -1$ si $m$ est un entier impair | $(-1)^9 = -1$ |
| $x^m x^n = x^{m+n}$ | $2^3 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$ |
| $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ | $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3$ |
| $(x^m)^n = x^{m \times n}$ | $(4^5)^2= 4^{5 \times 2} = 4^{10}$ |
| $(x \; y)^m = x^m \; y^m$ | $(3 \; b)^2 = 3^2 \; b^2 = 9 b^2$ |
| $\left ( \dfrac{x}{y} \right )^m = \dfrac{x^m}{y^m}$ , $y \neq 0$ | $\left ( \dfrac{4}{b} \right )^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2}$ |
| $(-x)^m = (-1)^m \; x^m$ | $(-3)^4 = (-1)^4 (3^4) = 1 \times 81 = 81$ |
| $\left (\dfrac{x}{y} \right)^{-m} = \left (\dfrac{y}{x} \right)^{m}$ , $x \neq 0$ , $y \neq 0$ | $\left (\dfrac{4}{3} \right)^{-2} = \left (\dfrac{3}{4} \right)^{2}$ |
| $\dfrac{1}{y^{-m}} = y^m$ , $y \neq 0$ | $\dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2$ |
| $| x^m| = | x |^m$ | $| (- 5)^4 | = |-5|^4 = 5^4 = 625$ |
Si $x = y^n$ , alors $x$ est la racine $n^{ième}$ de $y$.
La racine $n^{ième}$ principale d'un nombre $x$ a le même signe que $x$.
Des symboles spéciaux appelés radicaux sont utilisés pour indiquer la racine principale d'un nombre.
$$ y = \sqrt[n]{x} $$
$n$ est l'indice, et $x$ est le radicande. Pour la racine carrée ($n = 2$), nous n'écrivons pas l'indice.
| Règle | Exemple |
|---|---|
| $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ | $\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2$ |
| $x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$ | $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3$ |
| $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x y}$ | $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \times 2} = \sqrt[5]{32} = 2$ |
| $\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}$ | $\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = -2$ |
| $(\sqrt[m]{x})^m = x$ | $(\sqrt[3]{ - 2})^3 = - 2$ |
| $\sqrt[m]{x^m} = | x |$ si $m$ est pair | $\sqrt[4]{(- 2)^4} = | - 2| = 2$ |
| $\sqrt[m]{x^m} = x$ si $m$ est impair | $\sqrt[5]{ (- 2)^5} = - 2$ |
Utilisez les règles énumérées ci-dessus pour simplifier les expressions suivantes et les réécrire avec des exposants positifs. Notez que parfois, vous devez utiliser plus d'une règle pour simplifier une expression donnée.
$(-1)^{125} = -1$
$2^5 \; 2^{-2} = 2^3 = 8$
$9^3 / 9^5 = 1 / 9^2 = 1/81$
$0^3 = 0$
$( 2 / y)^5 = 2^5 / y^5 = 32 / y^5$
$(- 3)^4 = 3^4 = 81$
$(2 / 5)^{-1} = 5/2$
$| - 2 |^4 = 2^4 = 16$
$(-3)^0 = 1$
$(- 1)^4 = 1$
$(- 1)^{15} = -1$
$(3^2)^3 = 3^6 = 729$
$(- 4 x)^3 = (- 4)^3 x^3 = - 4^3 \; x^3 = - 64 x^3$
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$
$27^{5/3} = (\sqrt[3]{27})^5 = 3^5 = 243$
$\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{64} = 4$
$\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\dfrac{160}{40}} = \sqrt{4} = 2$
$(\sqrt[6]{ 3})^6 = 3^{(6/6)} = 3^1 = 3$
$\sqrt[4]{ (- 7)^4 } = | - 7 | = 7$
$\sqrt[5]{(- 9)^5} = - 9$