Exemples étape par étape utilisant le cercle trigonométrique et les identités
La résolution d'équations trigonométriques nécessite d'isoler la fonction trigonométrique, de trouver l'angle de référence et d'utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les angles dans les bons quadrants. Lorsque les équations sont plus complexes, des identités trigonométriques sont utilisées pour les simplifier au préalable. Explorons des exemples allant des formes linéaires de base aux équations du second degré stimulantes.
Trouvez toutes les solutions de l'équation trigonométrique : \[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \]
En utilisant l'identité réciproque \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \), nous pouvons réécrire l'équation pour isoler le cosinus :
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
Trouvez l'angle de référence \( \theta_r \) en prenant la valeur absolue : \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) :
\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]
Puisque \( \cos(\theta) \) est négatif, les angles réels doivent se trouver dans les Quadrants II ou III.
\[ \text{Quadrant II : } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ \text{Quadrant III : } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
Solutions générales : Ajoutez \( 2n\pi \) pour tenir compte de la nature périodique du cosinus (où \(n\) est un entier).
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{et} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]
Résolvez l'équation trigonométrique : \[ 2 \sin(\theta) = -1 \]
Isolez la fonction sinus en divisant les deux côtés par 2 :
\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]
L'angle de référence où le sinus est \( 1/2 \) est \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \). Parce que la valeur du sinus est négative, les angles doivent être dans les Quadrants III et IV.
\[ \text{Quadrant III : } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
\[ \text{Quadrant IV : } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]
Solutions générales :
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{et} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Résolvez l'équation suivante impliquant un déphasage et un angle multiple : \[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]
D'abord, substituez l'argument intérieur par une variable temporaire. Soit \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \). Isolez le cosinus :
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
L'angle de référence est \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \). Le cosinus est négatif dans les Quadrants II et III. Trouvez les solutions pour \(\theta\) :
\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
Maintenant, remplacez \(\theta\) par \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) et résolvez pour \(x\).
Première équation :
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]
\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Deuxième équation :
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]
\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Résolvez l'équation trigonométrique du second degré : \[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]
Lorsqu'une équation contient à la fois un sinus carré et un cosinus, utilisez l'identité pythagoricienne \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) pour convertir tout en cosinus.
\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]
\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]
Déplacez tout d'un côté pour former une équation du second degré standard (\(ax^2+bx+c=0\)) :
\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]
Factorisez l'équation du second degré (en traitant \(\cos x\) comme une variable \(u\)) :
\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
Résolvez chaque facteur indépendamment :
Cas 1 : \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)
\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{et} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]
Cas 2 : \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)
Le cosinus vaut 1 à 0 radians.
\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]
Défi 1 (Identité d'angle double) : Résolvez pour \(x\) : \[ \sin(2x) + \cos(x) = 0 \]
Étape 1 : Appliquez l'identité d'angle double pour le sinus : \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).
\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]
Étape 2 : Factorisez le terme commun, \( \cos(x) \).
\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]
Étape 3 : Égalisez chaque facteur à zéro et résolvez.
Facteur 1 : \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)
Facteur 2 : \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)
\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{et} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Défi 2 (Identité pythagoricienne) : Résolvez pour \(x\) : \[ \tan^2(x) - \sec(x) = 1 \]
Étape 1 : Utilisez l'identité \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \) pour tout obtenir en termes de sécante.
\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]
Étape 2 : Réorganisez en une équation du second degré égale à zéro.
\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]
Étape 3 : Factorisez l'équation du second degré.
\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]
Étape 4 : Résolvez pour le cosinus en utilisant les identités réciproques.
Facteur 1 : \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)
Facteur 2 : \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)
Défi 3 (Solutions étrangères) : Résolvez pour \(x\) sur l'intervalle \( [0, 2\pi) \) : \[ \sin(x) - \cos(x) = 1 \]
Étape 1 : Élevez les deux côtés de l'équation au carré. Attention : L'élévation au carré peut introduire des solutions étrangères, vous devez donc vérifier vos réponses finales.
\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]
\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]
Étape 2 : Utilisez les identités \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) et \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \).
\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) = 0 \]
Étape 3 : Résolvez pour \( 2x \). Le sinus est nul aux multiples entiers de \( \pi \).
\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]
Sur l'intervalle \( [0, 2\pi) \), les angles possibles sont \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \).
Étape 4 : Vérifiez les solutions étrangères dans l'équation originale \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \).
Réponse : \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) et \( \mathbf{x = \pi} \)