Problèmes et questions d'algèbre avec solutions - 12e année

Nous réécrivons les expressions données à la même puissance afin de pouvoir facilement comparer leurs bases. Pour ce faire, nous utilisons la règle de la puissance d'une puissance : \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \).

Réécrivons toutes les expressions pour avoir un exposant extérieur de 100 :

\[ 25^{100} \text{ (Possède déjà un exposant de 100)} \]

\[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \]

\[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \]

\[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \]

\[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \]

Maintenant que les exposants sont identiques, nous les classons du plus grand au plus petit en comparant simplement les nombres de base (81, 64, 25, 16, 8) :

\[ \mathbf{3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300}} \]

Selon le théorème des racines rationnelles, les zéros rationnels possibles d'un polynôme \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) sont donnés par :

\[ \dfrac{\text{facteurs du terme constant } a_0}{\text{facteurs du coefficient dominant } a_n} \]

Identifions le coefficient dominant et le terme constant du polynôme donné :

Le coefficient dominant est \( 1 \), et ses facteurs sont : \( \pm 1 \)

Le terme constant est \( 6 \), et ses facteurs sont : \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)

Par conséquent, diviser les facteurs du terme constant par les facteurs du coefficient dominant donne les zéros rationnels possibles :

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

Testons les zéros rationnels, en utilisant la substitution directe et des calculs pour voir lesquels sont égaux à 0 :

\[ P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

\[ P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \]

\[ P(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 \]

Puisque ces valeurs satisfont \( P(x) = 0 \), ce sont les zéros de \( P(x) \). Le polynôme \( P(x) \) a les zéros rationnels suivants :

\[ \mathbf{x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3} \]

Ainsi, le polynôme peut être factorisé complètement en utilisant ces racines sous la forme \( (x - \text{racine}) \) :

\[ \mathbf{P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)} \]

Nous analysons les abscisses à l'origine (zéros) sur le graphique pour déterminer les facteurs et leurs multiplicités. Si le graphique touche l'axe et rebondit, il a une multiplicité paire. S'il traverse l'axe, il a une multiplicité impaire.

• D'après le graphique, en \( x = -3 \), la courbe touche l'axe des x et rebondit. Cela signifie que \( x = -3 \) est un zéro de multiplicité 2. Cela nous donne le facteur \( (x + 3)^2 \).
• En \( x = 0 \), la courbe traverse directement l'axe. Cela signifie que \( x = 0 \) est un zéro de multiplicité 1. Cela nous donne le facteur \( x \).
• En \( x = 2 \), la courbe touche à nouveau l'axe des x et rebondit. Cela signifie que \( x = 2 \) est un zéro de multiplicité 2. Cela nous donne le facteur \( (x - 2)^2 \).

En additionnant les multiplicités (\( 2 + 1 + 2 \)), le polynôme a un degré minimal possible de 5.

Ensuite, nous déterminons le signe du coefficient dominant en observant le comportement aux limites. Le graphique descend à droite et monte à gauche. Un polynôme de degré impair avec ce comportement aux limites doit avoir un coefficient dominant négatif.

On nous dit que la valeur absolue du coefficient dominant est 1, donc le coefficient dominant doit être exactement \( -1 \).

En combinant le coefficient dominant et les facteurs, \( P(x) \) est donné par :

\[ \mathbf{P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2} \]

Selon le théorème des racines complexes conjuguées, puisque les coefficients du polynôme \( P(x) \) sont des nombres réels, toute racine complexe doit se présenter par paires conjuguées. Ainsi, si \( 2 - i \) est un zéro, alors \( 2 + i \) est également un zéro de \( P(x) \).

Ensuite, nous trouvons le facteur quadratique correspondant à ces deux racines complexes en les multipliant ensemble :

\[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \]

Le développement de cette expression est plus facile si nous la regroupons pour former une différence de carrés :

\[ = (x - 2 + i)(x - 2 - i) \]

\[ = (x - 2)^2 - i^2 \]

Rappelons que l'unité imaginaire au carré est \( -1 \) (c'est-à-dire \( i^2 = -1 \)). Substituez cela dans l'équation :

\[ = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \]

Développons maintenant le carré parfait :

\[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 \]

Puisque \( P(x) \) est divisible par ce facteur quadratique \( x^2 - 4x + 5 \), nous effectuons une division euclidienne de polynômes pour trouver les facteurs restants :

\[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5) \]

En divisant, nous obtenons un reste de 0 et le quotient \( x^2 - 2 \). Ce quotient peut être factorisé davantage comme une différence de carrés :

\[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

En posant ces facteurs égaux à zéro, nous obtenons les racines restantes. Ainsi, l'ensemble complet des zéros de \( P(x) \) est :

\[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}} \]

Nous utilisons la forme canonique (forme sommet) d'une fonction quadratique, ce qui facilite l'insertion directe des coordonnées du sommet :

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Substituez le sommet donné \( (h, k) = (-2,1) \) dans l'équation :

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

Maintenant, utilisez le point donné \( (0, -3) \) pour résoudre l'inconnue \( a \). Substituez \( x = 0 \) et \( f(0) = -3 \) :

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

Simplifiez le terme au carré :

\[ -3 = 4a + 1 \]

Soustrayez 1 des deux côtés et résolvez pour \( a \) :

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

En substituant \( a = -1 \) dans la forme canonique, on obtient notre équation complète :

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

Pour trouver les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \), nous devons développer cette équation sous la forme standard \( ax^2 + bx + c \) :

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

Distribuez le signe négatif :

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

Combinez les termes constants :

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

En comparant ceci à la forme quadratique standard \( f(x) = ax^2 + bx + c \), nous trouvons :

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

Méthode 1 : Substitution algébrique

La forme standard d'une fonction quadratique est :

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Sachant \( f(1) = 3 \), nous substituons \( x = 1 \) pour créer notre première équation :

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{(Équation B)} \]

Sachant \( f(5) = 3 \), nous substituons \( x = 5 \) pour créer notre seconde équation :

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{(Équation C)} \]

Soustraire l'équation B de l'équation C nous permet d'éliminer la variable \( c \) :

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

Divisez par 4 pour simplifier : \( 6a + b = 0 \), ce qui implique \( b = -6a \).

La coordonnée x du sommet pour toute fonction quadratique est donnée par la formule \( \dfrac{-b}{2a} \). En substituant \( -6a \) à \( b \) :

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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Notez que ce problème peut être résolu beaucoup plus rapidement en utilisant la géométrie comme suit :

Puisque \( f(x) \) est une fonction quadratique telle que \( f(1) = 3 \) et \( f(5) = 3 \), les deux points \( (1, 3) \) et \( (5, 3) \) se trouvent sur la parabole. Parce qu'ils ont exactement la même ordonnée (3), ils représentent des points horizontalement symétriques sur le graphique.

Comme la fonction est quadratique, la coordonnée x du sommet est située exactement à mi-chemin entre deux points symétriques quelconques. Par conséquent, elle est égale à la coordonnée x du milieu de ces deux points.

Calculez la coordonnée x du milieu :

\[ x_{\text{sommet}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

La coordonnée \( x \) du sommet du graphique de \( f(x) \) est 3.

L'asymptote oblique (ou slant) d'une fonction rationnelle est le quotient résultant de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

Effectuons la division euclidienne de \( a x^4 + b x^3 + 3 \) par \( x^3 - 2 \) :

1. Divisez le terme dominant \( ax^4 \) par \( x^3 \), ce qui donne \( ax \). C'est le premier terme du quotient.

2. Multipliez \( ax \) par le dénominateur entier \( (x^3 - 2) \), ce qui donne \( ax^4 - 2ax \).

3. Soustrayez cela du numérateur : \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. Maintenant, divisez le nouveau terme dominant \( bx^3 \) par \( x^3 \), ce qui donne \( b \). C'est le deuxième terme du quotient.

En utilisant la division euclidienne, nous obtenons l'expression complète :

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

Le quotient \( ax + b \) est l'asymptote oblique. On nous donne que l'asymptote oblique doit être égale à la droite \( 2x - 3 \).

Par conséquent, nous les rendons égaux :

\[ ax + b = 2x - 3 \]

Puisque deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients correspondants sont égaux, nous comparons les termes et obtenons :

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

Étant donné l'équation :

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

Simplifiez d'abord le membre de droite de l'équation donnée. Puisque 8 peut être écrit comme \( 2^3 \), le logarithme se simplifie facilement :

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

Réécrivez l'équation originale en substituant cette nouvelle valeur :

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

Pour résoudre pour \( x \), nous pouvons réécrire le nombre 3 en utilisant un logarithme de base 9 afin que les deux côtés correspondent, en utilisant la règle \( c = \log_b(b^c) \) :

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

Comme les bases logarithmiques des deux côtés sont identiques, nous pouvons supprimer les logarithmes et écrire l'équation algébrique pour les arguments :

\[ x^3 = 9^3 \]

Prenez la racine cubique des deux côtés pour résoudre pour \( x \) :

\[ \mathbf{x = 9} \]

Étant donné l'équation logarithmique initiale :

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

Pour établir une relation algébrique entre \( x \) et \( y \), réécrivez l'équation sous forme exponentielle (\( \text{base}^{\text{réponse}} = \text{argument} \)) :

\[ x^2 = y^3 \]

L'expression cible que nous voulons évaluer est \( \log_y(x^4) \), qui contient \( x^4 \). Nous devons manipuler notre équation exponentielle pour créer \( x^4 \). Élevez les deux côtés de l'équation au carré :

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

Simplifiez en utilisant la règle de la puissance d'une puissance :

\[ x^4 = y^6 \]

Maintenant, substituez cette valeur pour \( x^4 \) dans l'expression cible que nous voulons évaluer. Prenez le logarithme en base \( y \) des deux côtés et simplifiez :

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

En utilisant la propriété des logarithmes \( \log_b(b^k) = k \), l'expression s'évalue à :

\[ \mathbf{6} \]

Étant donné l'équation logarithmique :

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

Pour résoudre pour la base \( x \), réécrivez l'équation sous forme exponentielle (\( \text{base}^{\text{réponse}} = \text{argument} \)) :

\[ x^3 = 8e^3 \]

Pour isoler \( x \), nous inversons la puissance cubique en prenant la racine cubique des deux côtés de l'équation :

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

Nous pouvons simplifier l'expression à l'intérieur du radical. Puisque \( 8 \) est un cube parfait (\( 8 = 2^3 \)), nous le substituons et regroupons les termes :

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

La racine cubique et la puissance cubique s'annulent, laissant la réponse finale :

\[ \mathbf{x = 2e} \]

Étant donné l'équation exponentielle :

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

Tout d'abord, utilisez les règles exponentielles pour séparer et réécrire les termes afin qu'ils partagent une base commune de 4. Nous savons que \( 16 = 4^2 \) :

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

Pour le deuxième terme, utilisez la règle \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \) et la substitution ci-dessus :

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

Substituez ces termes simplifiés dans l'équation donnée :

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

Mettez en facteur le terme commun \( 4^{2x} \) pour l'isoler. \( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \), ce qui devient \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \). Multipliez les deux côtés par \( \dfrac{16}{17} \) pour résoudre pour \( 4^{2x} \) :

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

Pour réduire la base de 4 à 2, prenez la racine carrée positive des deux côtés de l'équation ci-dessus (les fonctions exponentielles sont toujours positives) :

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

Ainsi, puisque \( 4^x \) est mathématiquement identique à \( 2^{2x} \) (car \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \)), nous avons notre réponse :

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

Note : Cette question pourrait également être résolue en commençant par convertir directement en base 2.

Substituez \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \) directement dans l'équation et suivez des étapes de factorisation similaires à celles de la solution donnée ci-dessus.

Étant donné la première équation :

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

Parce que nous voulons trouver la somme de termes élevés à la puissance 4, nous devons élever au carré les deux côtés de l'équation donnée pour générer ces puissances supérieures :

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

Développez le membre de gauche en utilisant la règle du carré parfait d'un binôme \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) :

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

En réorganisant les termes, nous obtenons une expression contenant notre cible souhaitée \( a^4 + b^4 \) :

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{(I)} \]

Utilisons maintenant la deuxième information donnée :

\[ ab = 2 \]

Élevez au carré les deux côtés de l'équation ci-dessus pour qu'elle corresponde au terme central de notre expression développée :

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

Substituez cette valeur de \( 4 \) à la place de \( a^2b^2 \) dans l'équation (I) :

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

Multipliez pour simplifier :

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

Ajoutez 8 des deux côtés pour trouver la valeur finale. Ainsi :

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

Pour trouver les valeurs minimale et maximale d'une fonction trigonométrique complexe, nous la construisons de l'intérieur vers l'extérieur. Nous savons que la plage fondamentale d'une fonction sinus de base est toujours comprise entre -1 et 1, indépendamment de ses arguments internes :

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

Multipliez tous les termes de la double inégalité par le coefficient d'amplitude 2 :

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

Ajoutez le décalage vertical de -5 à tous les termes de l'inégalité :

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

Simplifiez les bornes :

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

Maintenant, modifiez l'inégalité ci-dessus en appliquant l'opération de valeur absolue. Parce que l'expression entière à l'intérieur des barres de valeur absolue varie strictement dans les nombres négatifs (de -7 à -3), prendre la valeur absolue inverse les signes en positifs et inverse l'ordre numérique des bornes :

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

Enfin, ajoutez la constante extérieure 3 à tous les termes de la double inégalité pour compléter la fonction \( f(x) \) :

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

Simplifiez les bornes pour révéler la plage finale :

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

Par conséquent, la valeur maximale de \( f(x) \) est égale à 10 et la valeur minimale de \( f(x) \) est égale à 6.

Lors de la simplification des valeurs absolues imbriquées, nous travaillons de l'intérieur vers l'extérieur. Nous utilisons la condition de domaine donnée pour déterminer le signe de l'expression à l'intérieur des barres. Si l'expression est négative, nous la multiplions par -1 pour évaluer la valeur absolue.

Nous avons la condition : Si \( x \lt -7 \), alors en ajoutant 4 aux deux côtés, nous savons que :

\[ x \lt -3 \]

Ajoutez 3 à l'inégalité ci-dessus et simplifiez pour déterminer le signe de l'expression interne \( (3 + x) \) :

\[ x + 3 \lt 0 \]

Puisque \( (3+x) \) est définitivement inférieur à zéro, selon la définition de la valeur absolue, nous devons le multiplier par -1 pour supprimer les barres :

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

Substituez cela. L'expression donnée se simplifie en :

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

Évaluons maintenant la valeur absolue extérieure \( |x + 7| \). Nous revenons à notre condition initiale \( x \lt -7 \). Ajouter 7 aux deux côtés révèle que :

\[ x + 7 \lt 0 \]

Puisque la nouvelle expression est également définitivement négative, nous multiplions à nouveau par -1 pour évaluer la valeur absolue :

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

Et donc, l'expression entièrement simplifiée est :

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

La vitesse moyenne n'est pas calculée en faisant simplement la moyenne de deux vitesses ; elle doit être calculée en utilisant la formule : Distance totale divisée par Temps total. Nous devons établir des expressions pour la distance et le temps.

Soit \( d \) la distance entre \( A \) et \( B \). Le temps pris pour voyager le premier trajet de A à B est calculé en divisant la distance par la vitesse :

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

où 50 km/heure est la vitesse moyenne de \( A \) à \( B \).

Soit \( v \) la vitesse moyenne inconnue pour le trajet de retour (de \( B \) à \( A \)). Le temps pris pour le trajet de retour est :

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

Le temps total pour tout l'aller-retour est la somme des deux temps :

\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

La distance totale couverte (aller et retour) est simplement deux fois la distance :

\[ d + d = 2d \]

La vitesse moyenne pour tout le trajet est donnée par la distance totale sur le temps total. Égalisez cette formule à notre vitesse moyenne cible de 60 km/heure :

\[ \text{Vitesse moyenne} = \dfrac{\text{Distance totale}}{\text{Temps total}} = \dfrac{2d}{t_{\text{total}}} \]

Substituez les expressions que nous avons construites dans la formule :

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

Remarquez que la distance \( d \) est présente dans chaque terme. Annulez \( d \) du numérateur et du dénominateur en le divisant :

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

Pour éliminer la fraction, multipliez les deux côtés par l'expression du dénominateur \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \) :

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

Distribuez le 60 pour simplifier les termes à l'intérieur des parenthèses :

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1.2 + \dfrac{60}{v} \]

Soustrayez 1.2 des deux côtés pour isoler le terme avec la variable :

\[ 0.8 = \dfrac{60}{v} \]

Résolvez pour \( v \) en multipliant par \( v \) et en divisant par 0.8 :

\[ v = \dfrac{60}{0.8} = 75 \]

Ainsi, la vitesse moyenne pour le trajet de retour de \( B \) à \( A \) doit être de 75 km/heure pour avoir une moyenne de 60 km/heure pour tout le trajet.

Étant donné l'équation non linéaire, nous pouvons utiliser l'identité algébrique pour une différence de carrés afin de la factoriser en binômes plus simples :

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

Nous avons une seconde équation : \( x + y = 6 \). Substituez l'expression \( (x + y) \) dans notre équation factorisée par le nombre 6 :

\[ (x - y)(6) = -12 \]

Divisez les deux côtés par 6 pour résoudre pour \( x - y \) :

\[ (x - y) = -2 \]

Nous avons maintenant un système linéaire simple d'équations à résoudre en utilisant l'élimination ou la substitution :

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

Additionnez les deux équations verticalement pour éliminer la variable \( y \) : \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \), ce qui donne \( 2x = 4 \), signifiant \( x = 2 \).

Substituez \( x = 2 \) dans la seconde équation : \( 2 + y = 6 \), ce qui donne \( y = 4 \).

La résolution du système ci-dessus donne la réponse finale :

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

Étant donné l'équation fonctionnelle :

\[ f(x) + 3 f(8 - x) = x \]

Pour évaluer une valeur spécifique comme \( f(2) \), nous devons substituer des valeurs stratégiques pour \( x \) afin de construire un système d'équations résoluble. Tout d'abord, substituez \( x = 2 \) dans l'équation donnée :

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

Cela crée une équation avec une nouvelle inconnue, \( f(6) \). Pour trouver un moyen de l'éliminer, substituez \( x = 6 \) dans l'équation originale donnée :

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

Nous avons maintenant un système de deux équations. Nous pouvons résoudre l'équation (B) pour isoler \( f(6) \) :

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

Substituez cette expression pour \( f(6) \) dans l'équation (A) :

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

Développez l'expression en distribuant le 3 et regroupez les termes semblables :

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

Soustrayez 18 des deux côtés et résolvez pour \( f(2) \) :

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

Étant donné l'équation fonctionnelle récursive :

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

Nous devons utiliser la valeur connue \( f(0) = 2 \) comme tremplin pour trouver \( f(3) \). Nous devons déterminer quelles valeurs de \( x \) produiront les évaluations de fonction dont nous avons besoin.

Pour trouver l'étape suivante dans la chaîne à partir de \( x=0 \), posons \( x = 0 \) dans l'équation \( A \) :

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

Substituez la valeur connue \( f(0) = 2 \) dans l'équation :

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Maintenant nous savons que \( f(1) = 5 \). Nous voulons trouver \( f(3) \). Nous avons besoin que l'argument intérieur du côté gauche, \( (2x+1) \), soit égal à 3. Cela se produit lorsque \( x = 1 \). Posons \( x = 1 \) dans l'équation \( A \) :

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

Substituez notre valeur nouvellement calculée \( f(1) = 5 \) dans l'équation \( B \) pour obtenir la réponse finale :

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

Trouvons les points d'intersection du cercle et de la droite en résolvant le système des deux équations données. Une droite tangente à un cercle l'intersecte en exactement un point, ce qui signifie que le système résultant devrait avoir exactement une solution.

Substituez l'expression pour \( y \), qui est \( 2 x + b \), dans l'équation du cercle :

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

Développez le binôme au carré et simplifiez l'équation en combinant les termes semblables :

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

Le nombre de points d'intersection est donné par le nombre de solutions de l'équation quadratique ci-dessus. La droite et le cercle sont tangents si l'équation quadratique ci-dessus a une seule solution. Une équation quadratique a exactement une solution lorsque son discriminant (\( \Delta = B^2 - 4AC \)) est égal à zéro.

Trouvez le discriminant \( \Delta \) en fonction de \( b \), en utilisant \( A=5 \), \( B=4b \), et \( C=(b^2 - 4) \) :

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

Égalisez le discriminant à zéro et résolvez pour \( b \) :

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

Prenez la racine carrée des deux côtés. Résolvez pour \( b \) afin d'obtenir deux solutions :

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

Soit le polynôme numérateur \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \) et le polynôme diviseur \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \).

La division des deux polynômes peut s'écrire algébriquement comme :

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

où \( Q(x) \) est le quotient et \( r(x) \) est le reste. Par définition de la division polynomiale, le reste aura un degré inférieur d'au moins un au degré du diviseur \( D(x) \) (qui est de 2). Ainsi, nous pouvons exprimer le reste comme une équation linéaire \( r(x) = ax + b \).

Nous devons maintenant trouver les valeurs de \( a \) et \( b \) qui définissent le reste.

Notez que \( D(x) \) peut être factorisé en binômes comme suit :

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

Ainsi, nous substituons le diviseur factorisé et le reste linéaire dans notre équation de division :

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

En utilisant les zéros de \( D(x) \) (qui sont 1 et 2), nous pouvons évaluer \( P(x) \). Parce que substituer un zéro du diviseur fera multiplier tout le terme du quotient par zéro, cela isole nos termes de reste. Tout d'abord, nous écrivons l'équation pour \( x=1 \) :

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

Ceci se simplifie en :

\[ a + b = P(1) \]

De même, nous écrivons l'équation pour \( x=2 \) :

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

Ceci se simplifie en :

\[ 2a + b = P(2) \]

Maintenant nous devons évaluer \( P(1) \) et \( P(2) \) en utilisant l'équation polynomiale originale.

Substituez \( x=1 \) dans \( P(x) \) :

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

Ensuite, nous réécrivons \( P(x) \) en le factorisant légèrement pour faciliter l'évaluation de nombres plus grands :

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

Par conséquent, nous calculons \( P(2) \) en substituant \( x=2 \) :

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

Nous avons maintenant un système linéaire d'équations à résoudre pour \( a \) et \( b \) :

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

De la première équation, nous savons que \( b = -a \). Substituez cela dans la seconde équation : \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

En résolvant le système, nous obtenons :

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{et} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

Ainsi, en substituant \( a \) et \( b \) dans \( r(x) = ax+b \), le reste est :

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

Nous pouvons résoudre ce radical imbriqué en égalant l'expression infinie entière à une variable.

Soit \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

Élevez les deux côtés de l'équation au carré pour éliminer la racine carrée la plus externe :

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

Parce que la série de racines carrées est infinie, l'expression sous le premier radical est identique à notre définition originale de la variable \( y \). Par conséquent, nous pouvons substituer \( y \) dans le membre de droite de l'équation. Nous pouvons écrire :

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

Il s'agit d'une équation quadratique standard. Réorganisez-la pour l'égaliser à zéro afin que nous puissions la résoudre. Multipliez par 3 pour éliminer les fractions, donnant \( 3y^2 = 1 + 3y \), ce qui devient :

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

Utilisez la formule quadratique (\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)) pour résoudre l'équation quadratique ci-dessus afin d'obtenir :

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{ou} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

Puisque l'expression originale est une racine carrée principale, \( y \) doit s'évaluer à un nombre positif. La seconde option donne un résultat négatif car \( \sqrt{21} > 3 \). Puisque \( y \) est positif, la solution est la racine positive :

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

Nous pouvons déterminer la solvabilité d'un système en extrayant ses matrices et en évaluant leurs déterminants. La matrice des coefficients \(A\), composée des multiplicateurs des variables, est :

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

La matrice des constantes \(b\), composée des valeurs à droite du signe égal, est :

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

La règle de Cramer donne la solution pour chaque variable en termes de déterminants de matrices dérivés de la matrice des coefficients \(A\) et modifiés en remplaçant les colonnes par les constantes du côté droit. Si le déterminant de \(A\) est nul, mais qu'un déterminant modifié ne l'est pas, le système n'a pas de solution.

Pour trouver \(x\), remplacez la première colonne de \(A\) par le vecteur des constantes \(b\) :

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

Ensuite, la solution pour \(x\) est donnée par la fraction : \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)

Pour trouver \(y\), remplacez la seconde colonne de \(A\) par le vecteur des constantes \(b\) :

\[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \implies y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \]

Pour trouver \(z\), remplacez la troisième colonne de \(A\) par le vecteur des constantes \(b\) :

\[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \implies z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

Maintenant, nous devons calculer les déterminants des matrices \(A\) et \(A_x\). Tout d'abord, évaluez la matrice \(A\) :

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

En utilisant le développement par cofacteurs le long de la première ligne (en multipliant chaque élément de la ligne supérieure par le déterminant de la matrice 2x2 qui reste lorsqu'on barre sa ligne et sa colonne) :

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

En calculant les déterminants 2x2 en utilisant la formule \( (ad - bc) \) :

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \]

Substituez ces valeurs calculées dans la formule principale du déterminant :

\[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

Donc, nous avons établi que \(\text{det}(A) = 0\). Cela signifie que le système n'a pas de solution unique. Vérifions maintenant le déterminant de la matrice modifiée \(A_x\) :

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Nous calculons ceci en utilisant le développement par cofacteurs le long de la première ligne de la même manière :

\[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \]

Calculez les déterminants 2x2 :

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 7 - 16 = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -28 - 24 = -52 \]

En substituant ces valeurs dans la formule de développement :

\[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

Il n'est pas nécessaire de continuer à calculer \(A_y\) ou \(A_z\). Parce que la règle de Cramer nécessite une division par \( \text{det}(A) \), l'évaluation de \( x \) aboutirait à \( \dfrac{220}{0} \), ce qui est indéfini. Si l'un des déterminants de \(A_x\), \(A_y\) ou \(A_z\) est non nul alors que le déterminant principal est zéro, le système d'équations est incompatible et n'a aucune solution.

Pour combiner et additionner des logarithmes, ils doivent partager exactement la même base. Nous pouvons utiliser la formule de changement de base, \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \), pour convertir tous les logarithmes de l'équation en base 2.

Tout d'abord, convertissez le terme en base 4. Nous savons que \( \log_2(4) = 2 \) :

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

Ensuite, convertissez le terme en base 16. Nous savons que \( \log_2(16) = 4 \) :

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

Substituez maintenant ces termes convertis dans l'équation originale :

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

Puisque tous les termes partagent maintenant la variable \( \log_2(x) \), nous pouvons la mettre en facteur :

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

Trouvez un dénominateur commun (qui est 4) pour additionner les fractions entre parenthèses :

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

\[ \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

Multipliez les deux côtés par la réciproque \( \dfrac{4}{7} \) pour isoler le logarithme :

\[ \log_2(x) = 4 \]

Enfin, convertissez l'équation de la forme logarithmique à la forme exponentielle (\( \text{base}^{\text{réponse}} = \text{argument} \)) pour résoudre pour \( x \) :

\[ x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

Ce système semble intimidant, mais nous pouvons utiliser l'identité algébrique standard pour la somme de deux cubes afin de factoriser la première équation et de simplifier le système :

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Substituez les valeurs connues des équations originales dans cette identité. Nous savons que la somme des cubes est 35, et la somme des variables de base est 5 :

\[ 35 = (5)(x^2 - xy + y^2) \]

Divisez les deux côtés par 5 pour isoler l'expression quadratique :

\[ x^2 - xy + y^2 = 7 \quad \text{(Équation A)} \]

Nous avons besoin d'une autre équation pour la comparer. Regardons l'expression \( (x+y)^2 \). Si nous prenons la deuxième équation donnée \( (x+y = 5) \) et élevons les deux côtés au carré, nous obtenons :

\[ (x+y)^2 = 5^2 \]

Développez le binôme au carré parfait :

\[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \quad \text{(Équation B)} \]

Nous pouvons maintenant soustraire l'Équation A de l'Équation B pour éliminer les termes au carré et isoler \( xy \) :

\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7 \]

\[ 3xy = 18 \]

Divisez par 3 :

\[ xy = 6 \]

Nous avons simplifié le système cubique complexe en un puzzle beaucoup plus simple : nous cherchons deux nombres dont la somme est 5 (\( x+y=5 \)) et dont le produit est 6 (\( xy=6 \)). Géométriquement, ce sont les racines d'une équation quadratique sous la forme \( t^2 - (\text{somme})t + (\text{produit}) = 0 \).

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]

La factorisation de la quadratique donne \( (t-2)(t-3) = 0 \), ce qui signifie que les deux nombres doivent être 2 et 3.

Puisque le système d'équations original est parfaitement symétrique pour \( x \) et \( y \), chaque variable peut prendre l'une ou l'autre valeur. Les solutions sont les paires de coordonnées :

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{et} \quad (3, 2)} \]

Pour résoudre une inéquation rationnelle, nous devons d'abord trouver tous les points critiques en factorisant complètement le numérateur et le dénominateur.

Les expressions du haut et du bas sont des différences de carrés. Factorisons-les :

\[ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \]

Les points critiques se produisent là où le numérateur est zéro (représentant les abscisses à l'origine) et là où le dénominateur est zéro (représentant les asymptotes verticales où la fonction est indéfinie).

• Zéros du numérateur : \( x = 3, x = -3 \). Parce que l'inégalité est "inférieure ou égale à" (\( \leq \)), la fonction est autorisée à être égale à zéro. Par conséquent, ces points seront inclus dans notre solution finale (en utilisant des crochets pleins).
• Zéros du dénominateur : \( x = 2, x = -2 \). Parce que la division par zéro est indéfinie mathématiquement, la fonction ne peut jamais exister en ces points. Par conséquent, ces points ne seront jamais inclus dans notre solution finale (en utilisant des parenthèses).

Nous plaçons ces quatre points critiques sur une droite numérique dans l'ordre numérique : -3, -2, 2, 3. Cela divise la droite numérique en cinq intervalles distincts. Nous devons tester une valeur aléatoire dans chaque intervalle pour voir si l'expression fractionnaire globale s'évalue en un nombre positif ou négatif :

• Intervalle \( (-\infty, -3) \) : Testez \( x = -4 \). Les signes des termes factorisés sont \( \dfrac{(-)(-)}{(-)(-)} \). Un négatif divisé par un négatif est positif.
• Intervalle \( (-3, -2) \) : Testez \( x = -2.5 \). Les signes sont \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(-)} \). Un négatif divisé par un positif est négatif.
• Intervalle \( (-2, 2) \) : Testez \( x = 0 \). Les signes sont \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(+)} \). Un négatif divisé par un négatif est positif.
• Intervalle \( (2, 3) \) : Testez \( x = 2.5 \). Les signes sont \( \dfrac{(-)(+)}{(+)(+)} \). Un négatif divisé par un positif est négatif.
• Intervalle \( (3, \infty) \) : Testez \( x = 4 \). Les signes sont \( \dfrac{(+)(+)}{(+)(+)} \). Un positif divisé par un positif est positif.

L'inéquation nous demande de trouver où l'expression est inférieure ou égale à 0, ce qui signifie que nous voulons les intervalles Négatifs. Ce sont les intervalles entre -3 et -2, et entre 2 et 3.

En appliquant nos règles d'inclusion (crochets pour les racines du numérateur, parenthèses pour les racines indéfinies du dénominateur), nous écrivons la notation par intervalle finale :

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3]} \]