Maîtrisez les maths de 12e année : Problèmes de cercle et trigonométrie

Étape 1 : Déterminer le rayon.
Le point A est sur l'axe x à \( (8,0) \). Comme le centre du cercle est à l'origine \( (0,0) \), la distance de l'origine au point A est exactement le rayon. Par conséquent, \( R = 8 \).

Étape 2 : Trouver l'angle central \( \theta \).
Nous utilisons la formule de longueur d'arc \( s = R \theta \). Nous avons \( s = 20 \) et nous savons que \( R = 8 \). Substituez ces valeurs pour résoudre pour \( \theta \) en radians :

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ radians} \]

Étape 3 : Calculer les coordonnées de P.
Utilisez les formules standard des coordonnées circulaires \( x = R \cos(\theta) \) et \( y = R \sin(\theta) \). Assurez-vous que votre calculatrice est en mode Radian !

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \] \[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

Conclusion :
Les coordonnées du point \( P \) sont approximativement \( (-6.40, 4.79) \). (Cela est logique car le point se trouve dans le deuxième quadrant, où x est négatif et y est positif).

Étape 1 : Trouver le rayon \( R \).
Le rayon est la distance de l'origine \( (0,0) \) au point P. Nous utilisons la formule de distance (ou le théorème de Pythagore) :

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

Étape 2 : Trouver l'angle central \( \theta \).
Nous utilisons la définition de la tangente pour trouver l'angle. Puisque x et y sont tous deux positifs, le point est dans le premier quadrant, nous n'avons donc pas besoin d'ajuster l'angle.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \] \[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ radians} \]

Étape 3 : Calculer la longueur d'arc \( S \).
En utilisant la formule \( S = R\theta \) :

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ unités} \]

Étape 1 : Déterminer le temps écoulé.
De 23h10 à 23h50, le temps écoulé est exactement de 40 minutes.

Étape 2 : Trouver le déplacement angulaire.
Une horloge est un cercle complet (\( 360^\circ \) ou \( 2\pi \) radians), représentant 60 minutes. Nous devons trouver la fraction du cercle parcourue par l'aiguille des minutes.

\[ \text{Fraction du cercle} = \dfrac{40 \text{ min}}{60 \text{ min}} = \dfrac{2}{3} \text{ d'une rotation complète} \]

Maintenant, convertissez cette fraction directement en radians. Une rotation complète est \( 2\pi \) :

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ radians} \]

Étape 3 : Calculer la longueur d'arc.
Le rayon \( R \) est la longueur de l'aiguille des minutes, soit 4,5 cm. Appliquez la formule de longueur d'arc \( S = R \theta \) :

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) Trouver les coordonnées de P :
En utilisant le rayon \( R = 5 \) et l'angle \( 35^\circ \), nous utilisons les formules standard (assurez-vous que la calculatrice est en mode Degré pour cette étape) :

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \] \[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \] \[ P(4.096, 2.868) \]

b) Trouver la longueur d'arc PQ :
D'abord, nous devons convertir l'angle de degrés en radians car la formule \( S=R\theta \) exige des radians.

\[ \theta \text{ en radians} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \] \[ \text{Arc } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ unités} \]

c) Trouver la coordonnée x de M :
Le point M est \( (c, -1) \). Puisque M est sur le cercle, sa distance à l'origine doit être égale au rayon (5).

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \] \[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

Regardez le diagramme. Le point M est situé dans le troisième quadrant, où les coordonnées x doivent être négatives. Par conséquent, nous rejetons la racine positive :

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

d) Trouver l'angle \( \theta \) :
Soit l'angle total de l'axe x positif jusqu'à M, \( \alpha \). Selon le diagramme, \( \alpha = \theta + 35^\circ \).

Nous trouvons \( \alpha \) en utilisant la tangente du point M \( (-2\sqrt{6}, -1) \) :

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

Puisque le point est dans le troisième quadrant, la fonction \( \arctan \) de la calculatrice (qui renvoie un angle du premier quadrant) sera décalée de \( 180^\circ \). Nous devons ajouter \( 180^\circ \) :

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

Maintenant, soustrayez le décalage de \( 35^\circ \) pour résoudre pour \( \theta \) :

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

a) Calculer la longueur d'arc DP :
Convertissez l'angle en radians : \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{Arc } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ unités} \]

b) Trouver les coordonnées de P :
En utilisant les définitions trigonométriques standard avec \( R = 4 \) et \( \theta = 130^\circ \) :

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \] \[ P(-2.57, 3.06) \]

c) Trouver la longueur du segment de droite PD :
Le point D se trouve sur l'axe x positif à une distance R, donc ses coordonnées sont \( D(4, 0) \). Utilisez la formule de distance 2D \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) :

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \] \[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \] \[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ unités}} \]

(Alternativement, vous pourriez utiliser la loi des cosinus sur le triangle OPD : \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \). Cela donne exactement le même résultat !)

Étape 1 : Trouver l'angle \( \theta \) en radians.
Réorganisez la formule de longueur d'arc \( S = R\theta \) pour résoudre pour \( \theta \) :

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ radians} \]

(Note : Comme \( \pi \approx 3.14 \) et \( \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 \), un angle de 4,167 radians tombe directement dans le troisième quadrant. Cela correspond à notre diagramme).

Étape 2 : Trouver les coordonnées.
Appliquez les formules de coordonnées directement en utilisant la mesure en radians. Assurez-vous que votre calculatrice est en mode Radian.

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \] \[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

Les coordonnées de B sont \( (-1.57, -2.56) \).

Étape 1 : Trouver l'angle \( \theta \).
Nous avons la coordonnée x (\( 4.1 \)) et le rayon (\( 5 \)). Nous utilisons la relation du cosinus :

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

Parce que le point P est explicitement déclaré être dans le quadrant I, l'angle \( \theta \) est aigu (entre 0 et \( \pi/2 \)). Nous pouvons utiliser directement la fonction arc cosinus pour trouver l'angle en radians :

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ radians} \]

Étape 2 : Calculer la longueur d'arc.
Substituez l'angle en radians dans la formule de la longueur d'arc :

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ unités}} \]

Étape 1 : Configurer les équations.
Le périmètre d'un secteur est composé de deux rayons et de la longueur d'arc \( S \). Par conséquent, \( P = 2R + S \). Comme \( S = R\theta \), nous pouvons écrire l'équation du périmètre comme :

\[ 100 = 2R + R\theta \]

L'aire d'un secteur est donnée par \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \).

Étape 2 : Exprimer l'aire en fonction d'une seule variable.
À partir de l'équation du périmètre, résolvez pour \( \theta \) :

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

Substituez ce \( \theta \) dans l'équation de l'aire pour créer une fonction uniquement en fonction de \( R \) :

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

Étape 3 : Maximiser la fonction d'aire.
L'équation d'aire \( A(R) = -R^2 + 50R \) est une parabole tournée vers le bas. Le maximum se produit au sommet. En utilisant la formule du sommet \( R = \dfrac{-b}{2a} \) :

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

(Alternativement, prenez la dérivée : \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

Étape 4 : Trouver l'angle correspondant \( \theta \).
Substituez \( R = 25 \) dans notre équation pour \( \theta \) :

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ radians}} \]

Remarquablement, pour n'importe quel périmètre fixe, l'aire d'un secteur est toujours maximisée lorsque l'angle central est exactement de 2 radians !

Étape 1 : Trouver la longueur des segments droits.
Tracez une ligne parallèle au segment de courroie droit passant par le centre du plus petit cercle. Cela crée un triangle rectangle avec une hypoténuse égale à la distance entre les centres (\( d = 13 \)) et un côté égal à la différence des rayons (\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)).
Soit \( L \) la longueur d'un segment droit de la courroie. En utilisant le théorème de Pythagore :

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

Comme il y a deux segments droits (haut et bas), leur longueur combinée est \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \).

Étape 2 : Trouver l'angle central des points de contact.
Soit \( \alpha \) l'angle dans le triangle rectangle adjacent aux centres.
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{5}{13} \). Ainsi, \( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ radians} \).

Étape 3 : Calculer les longueurs d'arc autour des poulies.
Par déduction géométrique, l'angle où la courroie touche la plus petite poulie est \( 2\alpha \).
Arc sur la petite poulie : \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \).

L'angle où la courroie touche la plus grande poulie est l'arc majeur, qui est \( 2\pi - 2\alpha \).
Angle majeur : \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ radians} \).
Arc sur la grande poulie : \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \).

Étape 4 : Additionner les parties.
Longueur totale = Segments droits + Petit arc + Grand arc
\[ \text{Longueur totale} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

Étape 1 : Trouver les points d'intersection.
Substituez l'équation linéaire dans l'équation du cercle :

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

Mettez en facteur \( 5x \) :

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ ou } x = -4 \]

Trouvez les valeurs de y correspondantes en utilisant \( y = 2x+5 \) :
Si \( x = 0, y = 5 \). Point 1 : \( (0, 5) \).
Si \( x = -4, y = -3 \). Point 2 : \( (-4, -3) \).

Étape 2 : Trouver l'angle central entre ces points.
Soient les vecteurs \( \vec{A} = (0, 5) \) et \( \vec{B} = (-4, -3) \). Nous pouvons trouver l'angle \( \theta \) entre eux en utilisant la formule du produit scalaire : \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

Produit scalaire : \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
Magnitudes (toutes deux valent le rayon) : \( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ radians} \]

Étape 3 : Calculer la longueur d'arc.
Nous connaissons le rayon \( R = 5 \). En utilisant \( S = R\theta \) :

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ unités}} \]