Maîtrisez les variables complexes, les conjugués et les racines de polynômes
Explorez une variété de problèmes sur les nombres complexes complets avec des solutions détaillées étape par étape. Apprenez à résoudre des opérations complexes, à trouver des racines de polynômes et à appliquer les propriétés des conjugués complexes. Les nombres complexes jouent un rôle crucial en mathématiques appliquées, en physique, en génie électrique et dans d'autres domaines techniques.
Note : Dans ce qui suit, \( i \) est l'unité imaginaire, où \( i^2 = -1 \).
Évaluez les expressions suivantes et écrivez-les sous la forme standard \( a + bi \) :
a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)
Distribuez le signe négatif et regroupez les parties réelles et imaginaires ensemble :
\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]
\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]
b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)
Utilisez la méthode double distributivité pour développer les binômes, et rappelez-vous que \( i^2 = -1 \) :
\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]
\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]
\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]
\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]
c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)
Pour supprimer l'unité imaginaire du dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par \( -i \) (le conjugué de \( i \)) :
\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]
Substituez \( i^2 = -1 \) :
\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]
d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur, qui est \( 3 + 6i \) :
\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]
Développez le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)
Dénominateur : \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)
Divisez les deux termes par 45 et simplifiez les fractions :
\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]
Si \( \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \), où \( x \) et \( y \) sont des nombres réels, quelle est la valeur exacte de \( (x + yi)(x - yi) \) ?
D'abord, isolons le nombre complexe \( x + yi \) en multipliant les deux côtés de l'équation donnée par \( i \) :
\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]
\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]
Substituez \( i^2 = -1 \) et écrivez sous forme standard :
\[ x + yi = -9 + 7i \]
L'expression que nous devons évaluer est \( (x + yi)(x - yi) \). Remarquez que \( (x - yi) \) est simplement le conjugué complexe de \( (x + yi) \). Par conséquent :
\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]
Ceci est une différence de carrés : \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \). En appliquant cette règle :
\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]
Déterminez tous les nombres complexes \( z \) qui satisfont l'équation : \[ z + 3z' = 5 - 6i \]
où \( z' \) désigne le conjugué complexe de \( z \).
Soit le nombre complexe inconnu \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. Son conjugué complexe est donc \( z' = a - bi \).
Substituez \( z \) et \( z' \) dans l'équation donnée :
\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]
Développez et regroupez les termes réels et imaginaires du côté gauche :
\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]
\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]
\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires correspondantes sont strictement égales. En égalisant les parties, nous formons un système de deux équations linéaires simples :
Parties réelles : \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)
Parties imaginaires : \( -2b = -6 \implies b = 3 \)
Enfin, substituez \( a \) et \( b \) dans notre définition originale de \( z \) :
\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]
Trouvez tous les nombres complexes de la forme \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels, tels que :
\[ z z' = 25 \quad \text{et} \quad a + b = 7 \]
où \( z' \) représente le conjugué complexe de \( z \).
Soit \( z = a + bi \), ce qui fait que son conjugué est \( z' = a - bi \).
Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué donne toujours la somme des carrés de ses composantes :
\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]
On nous donne que \( zz' = 25 \), donc notre première équation est :
\[ a^2 + b^2 = 25 \]
On nous donne également l'équation linéaire \( a + b = 7 \). Nous pouvons résoudre ce système par substitution. Isolez \( b \) dans l'équation linéaire :
\[ b = 7 - a \]
Substituez cette expression pour \( b \) dans l'équation quadratique :
\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
Développez le carré parfait :
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
Regroupez les termes semblables pour former une équation quadratique standard (\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)) :
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
Divisez toute l'équation par 2 pour simplifier :
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Factorisez l'équation quadratique :
\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]
Cela donne deux valeurs possibles pour \( a \). Nous utilisons \( b = 7 - a \) pour trouver les valeurs correspondantes pour \( b \) :
Par conséquent, les nombres complexes qui satisfont aux deux conditions sont :
\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{et} \quad z = 3 + 4i} \]
Le nombre complexe \( 2 + 4i \) est l'une des racines de l'équation quadratique \( x^2 + bx + c = 0 \), où \( b \) et \( c \) sont des nombres réels.
Méthode 1 : Substitution directe
a) Comme \( x = 2 + 4i \) est une racine, la substituer dans l'équation doit donner zéro :
\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]
Développez le binôme au carré et distribuez le \( b \) :
\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]
Substituez \( i^2 = -1 \) et simplifiez :
\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]
\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]
Regroupez les parties réelles et imaginaires :
\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]
Pour qu'un nombre complexe soit égal à 0, ses parties réelle et imaginaire doivent être 0 :
Partie imaginaire : \( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)
Partie réelle : \( -12 + 2b + c = 0 \). Substituez \( b = -4 \) :
\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]
b) Comme les coefficients du polynôme (\( 1, b, c \)) sont tous des nombres réels, le théorème des racines conjuguées complexes stipule que les racines doivent apparaître par paires conjuguées. Par conséquent, la deuxième racine est \( 2 - 4i \).
Vérification : Substituez \( x = 2 - 4i \), \( b = -4 \), et \( c = 20 \) dans l'équation :
\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]
\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]
(Méthode alternative : Utilisez les formules de Viète. La somme des racines est \( -b \), et le produit est \( c \). Racines données : \( 2+4i \) et \( 2-4i \), Somme = \( 4 \implies b = -4 \). Produit = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \)).
Trouvez tous les nombres complexes \( z \) tels que : \[ z^2 = -1 + 2 \sqrt{6} i \]
Soit \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.
Substituez cela dans l'équation donnée :
\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
Développez le côté gauche :
\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]
Égalisez les parties réelles et imaginaires pour former un système d'équations :
1) \( a^2 - b^2 = -1 \)
2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)
À partir de l'équation 2, isolez \( b \) :
\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]
Substituez cette expression pour \( b \) dans l'équation 1 :
\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]
\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]
Multipliez toute l'équation par \( a^2 \) pour éliminer le dénominateur :
\[ a^4 - 6 = -a^2 \]
\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]
C'est une équation quadratique en termes de \( a^2 \). Nous pouvons la factoriser ainsi :
\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]
Cela donne \( a^2 = -3 \) ou \( a^2 = 2 \). Puisque \( a \) doit être un nombre réel, \( a^2 \) ne peut pas être négatif. Par conséquent, nous rejetons \( a^2 = -3 \).
Résoudre \( a^2 = 2 \) donne deux racines réelles : \( a = \sqrt{2} \) et \( a = -\sqrt{2} \).
Maintenant, utilisez \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \) pour trouver les valeurs correspondantes pour \( b \) :
En combinant cela dans notre nombre complexe \( z = a + bi \), nous obtenons deux solutions :
\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{et} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]
Trouvez tous les nombres complexes \( z \) tels que :
\[ (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i \]
où \( z' \) est le conjugué complexe de \( z \).
Soit \( z = a + bi \) et \( z' = a - bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.
Substituez ces expressions dans l'équation donnée :
\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]
Développez soigneusement les deux produits en utilisant la double distributivité :
Premier produit : \( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)
Second produit : \( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)
Additionnez les expressions développées ensemble :
\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]
Simplifiez en regroupant les termes semblables :
\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]
Égalisez les parties réelles et imaginaires pour former un système d'équations :
Partie imaginaire : \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)
Partie réelle : \( 12a - 4b = -2 \). Substituez la valeur de \( b \) :
\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]
\[ 12a + 10 = -2 \]
\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]
Par conséquent, le nombre complexe \( z \) est :
\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]
Étant donné que le nombre complexe \( z = -2 + 7i \) est une racine de l'équation cubique :
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = 0 \]
trouvez la racine réelle de l'équation.
Comme tous les coefficients du polynôme cubique (\( 1, 6, 61, 106 \)) sont des nombres réels, le théorème des racines conjuguées complexes garantit que si \( z_1 = -2 + 7i \) est une racine, son conjugué \( z_2 = -2 - 7i \) doit également être une racine.
Si nous connaissons deux racines, nous pouvons créer le facteur quadratique qui leur correspond en multipliant \( (z - z_1)(z - z_2) \) :
\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]
Pour multiplier facilement, regroupez les termes internes pour créer une différence de carrés :
\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]
\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]
\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]
\[ = z^2 + 4z + 53 \]
Cette expression quadratique doit être un facteur de notre polynôme cubique original. Soit la racine réelle restante \( r \). Le polynôme cubique peut être factorisé comme :
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]
Nous pouvons trouver le facteur linéaire manquant \( (z - r) \) en effectuant une division polynomiale longue, en divisant le polynôme cubique par le facteur quadratique. Alternativement, nous pouvons utiliser un raccourci en examinant les termes dominants et constants :
Par conséquent, le facteur linéaire est \( (z + 2) \). Cela signifie que l'équation cubique entièrement factorisée est :
\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]
En égalisant le facteur linéaire à zéro, nous obtenons la racine réelle :
\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]
Considérez l'équation : \[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0 \]
a) Pour montrer que \( 2i \) est une racine, nous substituons \( z = 2i \) dans le polynôme et vérifions qu'il est égal à zéro.
D'abord, calculez les puissances de \( 2i \) :
Substituez-les dans le polynôme :
\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]
\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]
\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]
\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]
Comme le résultat est 0, \( 2i \) est bien une racine.
b) Parce que le polynôme a des coefficients réels, le théorème des racines conjuguées complexes stipule que \( -2i \) est aussi une racine.
Les facteurs correspondant à ces deux racines sont \( (z - 2i) \) et \( (z + 2i) \). Les multiplier ensemble donne un facteur quadratique :
\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]
Pour trouver les racines restantes, nous divisons le polynôme de degré 4 original par ce facteur quadratique \( z^2 + 4 \). Vous pouvez utiliser la division polynomiale longue :
\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]
Donc, le polynôme se factorise comme :
\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]
Les racines restantes proviennent de la résolution de l'équation quadratique \( z^2 + z - 2 = 0 \). En la factorisant :
\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]
Cela donne \( z = -2 \) et \( z = 1 \). Par conséquent, l'ensemble complet des racines pour l'équation est :
\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]
\( P(z) = z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) est un polynôme où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des nombres réels. Trouvez les valeurs exactes de \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) si deux zéros du polynôme \( P \) sont \( 2 - i \) et \( 1 - i \).
Comme le polynôme a strictement des coefficients réels, toutes les racines complexes doivent apparaître par paires conjuguées. Comme on nous donne deux racines complexes, nous connaissons immédiatement les deux autres racines :
Racines données : \( 2 - i \) et \( 1 - i \)
Racines conjuguées : \( 2 + i \) et \( 1 + i \)
Nous pouvons construire le polynôme en multipliant les facteurs associés à ces quatre racines :
\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]
Multiplions d'abord les paires conjuguées ensemble. Cela donnera deux polynômes du second degré à coefficients réels. En regroupant pour utiliser la différence de carrés :
Première paire :
\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]
Deuxième paire :
\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]
Maintenant, multipliez ces deux polynômes quadratiques ensemble pour obtenir \( P(z) \) :
\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]
Distribuez chaque terme du premier polynôme dans le second :
\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]
\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]
Combinez les termes semblables :
\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]
En comparant cela au format donné \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \), nous trouvons nos coefficients :
\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]
Exprimez le nombre complexe \( (\sqrt{3} + i)^6 \) sous la forme standard \( a + bi \).
Développer un binôme à la puissance 6 est fastidieux. Au lieu de cela, nous pouvons convertir le nombre complexe en sa forme polaire \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) et utiliser le théorème de Moivre : \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \).
D'abord, trouvez le module \( r \) pour le nombre complexe \( z = \sqrt{3} + i \) :
\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
Ensuite, trouvez l'argument (angle) \( \theta \) :
\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]
Comme les deux composantes sont positives, l'angle est dans le premier quadrant : \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \) (ou 30째).
Donc, la forme polaire est \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Maintenant, appliquez le théorème de Moivre pour \( n = 6 \) :
\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]
\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]
Nous savons que \( \cos(\pi) = -1 \) et \( \sin(\pi) = 0 \) :
\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]
La forme standard est : \( -64 + 0i \).
Trouvez l'équation cartésienne du lieu géométrique des points \( z \) dans le plan complexe qui satisfont l'équation \( |z - 2| = |z + 2i| \), et décrivez la forme géométrique de ce lieu.
Soit la variable complexe \( z = x + yi \), où \( x \) et \( y \) représentent les coordonnées cartésiennes.
Substituez cela dans l'équation de module donnée :
\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]
Regroupez les composantes réelles et imaginaires à l'intérieur des modules :
\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]
Le module d'un nombre complexe \( a+bi \) est \( \sqrt{a^2+b^2} \). Appliquez cela aux deux côtés :
\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]
Élevez les deux côtés au carré pour supprimer les racines carrées :
\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]
Développez les binômes au carré parfait des deux côtés :
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]
Soustrayez \( x^2 \), \( y^2 \) et \( 4 \) des deux côtés. Ils s'annulent joliment, laissant :
\[ -4x = 4y \]
Divisez par 4 pour obtenir l'équation cartésienne finale :
\( y = -x \)
Description géométrique : Le lieu géométrique est une droite passant par l'origine avec une pente de -1. (Conceptuellement, \( |z - A| = |z - B| \) décrit toujours la médiatrice du segment de droite reliant les points A et B dans le plan complexe. Ici, A est (2, 0) et B est (0, -2). Leur médiatrice est bien la droite y = -x.)
Trouvez les trois racines complexes de l'équation \( z^3 = 8i \).
Pour trouver les racines cubiques, nous écrivons d'abord le nombre \( 8i \) sous forme polaire.
Le module est \( 8 \), et comme il se trouve sur l'axe imaginaire positif, son angle est \( \dfrac{\pi}{2} \). La forme polaire générale est :
\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]
Pour trouver les racines cubiques (\( z = (8i)^{1/3} \)), nous utilisons la formule des racines de Moivre : prenez la racine cubique du module, et divisez l'argument par 3 :
\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]
\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]
Nous trouvons les trois racines distinctes en substituant \( k = 0, 1, 2 \) :
Pour k = 0 :
\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]
Pour k = 1 :
\[ \text{Angle} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]
Pour k = 2 :
\[ \text{Angle} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]
\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]
Les trois racines sont : \( \sqrt{3} + i \), \( -\sqrt{3} + i \) et \( -2i \).