Trouver un polynôme à partir de son graphique : Questions avec solutions

Étape 1 : Identifier les zéros et les multiplicités
Le graphique de la fonction traverse l'axe des x proprement en \( x = -1 \). Cela indique un zéro de multiplicité 1, correspondant au facteur \( (x + 1) \).
Le graphique touche l'axe des x et fait demi-tour en \( x = 3 \). Cela indique un zéro de multiplicité 2 (une forme parabolique), correspondant au facteur \( (x - 3)^2 \).

Étape 2 : Établir l'équation
Basé sur les facteurs, la fonction \( g \) a la forme générale :
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \] où \( k \) est un facteur multiplicateur constant inconnu.

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
Nous pouvons trouver \( k \) en utilisant le point marqué sur le graphique avec les coordonnées \( (1, 3) \) :
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \] \[ k(2)(-2)^2 = 3 \] \[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

Conclusion :
L'équation exacte de \( g(x) \) est :
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

Étape 1 : Identifier les zéros et les multiplicités
En analysant les x-intercepts, nous trouvons trois points d'interaction distincts :
* Une traversée directe en \( x = 2 \), signifiant une multiplicité de 1, donnant le facteur \( (x - 2) \).
* Une traversée directe en \( x = -2 \), signifiant une multiplicité de 1, donnant le facteur \( (x + 2) \).
* Un contact avec demi-tour (touch-and-turn) en \( x = -1 \), signifiant une multiplicité de 2, donnant le facteur \( (x + 1)^2 \).

Étape 2 : Établir l'équation
Multiplier ces facteurs donne notre polynôme de base du 4e degré :
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \] où \( k \) est une constante.

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
Le graphique révèle une ordonnée à l'origine claire en \( (0, -1) \). Substituez \( x = 0 \) et \( y = -1 \) :
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \] \[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \] \[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

Conclusion :
L'équation est :
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

Étape 1 : Identifier les zéros et les multiplicités
Le graphique a des x-intercepts en \( x = 0 \) et \( x = \dfrac{5}{2} \). Parce que le graphique traverse l'axe des x aux deux points, les deux zéros doivent avoir une multiplicité impaire.
* En \( x = 0 \), le graphique présente une forme en "S" aplatie ou cubique. Cela indique une multiplicité de 3, donnant le facteur \( x^3 \).
* En \( x = \dfrac{5}{2} \), la traversée est directe et relativement linéaire, indiquant une multiplicité de 1, donnant le facteur \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \).

Étape 2 : Établir l'équation
En utilisant ces observations, nous écrivons la forme générale :
\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
Nous utilisons le point de référence donné \( (2, -4) \) pour trouver \( k \) :
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \] \[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \] \[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

Conclusion :
L'équation du polynôme est :
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Étape 1 : Configuration de la forme factorisée
Le polynôme est de degré 3. Le graphique montre un zéro de multiplicité 1 en \( x = -2 \) (facteur : \( x + 2 \)), et un zéro de multiplicité 2 en \( x = 1 \) (facteur : \( (x - 1)^2 \)).
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

Étape 2 : Trouver \( k \)
Utilisez l'ordonnée à l'origine claire en \( (0, 1) \) :
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \] \[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0,5 \]

Étape 3 : Développer sous la forme standard
Maintenant, développez le polynôme factorisé pour révéler les coefficients individuels :
\[ y = 0,5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \] \[ y = 0,5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \] \[ y = 0,5(x^3 - 3x + 2) \] \[ y = 0,5x^3 - 1,5x + 1 \]

Conclusion :
En comparant cela à \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), nous déduisons :
\[ a = 0,5, \quad b = 0, \quad c = -1,5, \quad d = 1 \]

Étape 1 : Exploiter les concepts de symétrie
Puisque le graphique est parfaitement symétrique par rapport à l'axe des y, la fonction doit être une fonction paire (où \( f(x) = f(-x) \)).
Pour qu'un polynôme soit une fonction paire, il ne peut contenir que des puissances paires de \( x \). Les termes \( bx^3 \) et \( dx \) sont des fonctions impaires. Pour que le polynôme global reste pair, leurs coefficients doivent être nuls :
\[ b = 0, \quad d = 0 \]

Étape 2 : Trouver la constante \( e \)
Le polynôme se simplifie en \( y = a x^4 + c x^2 + e \).
Le coefficient \( e \) représente l'ordonnée à l'origine. En examinant le graphique, l'ordonnée à l'origine est clairement en \( (0, -2) \) :
\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \] \[ e = -2 \]

Conclusion :
Les coefficients requis sont :
\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

Étape 1 : Construction des facteurs
* Traverse directement en \( x = -2 \implies \) Multiplicité 1 : facteur \( (x + 2) \).
* Tangent en \( x = 1 \implies \) Multiplicité 2 : facteur \( (x - 1)^2 \).
* Tangent en \( x = 4 \implies \) Multiplicité 2 : facteur \( (x - 4)^2 \).
(Vérifiez le degré : 1 + 2 + 2 = 5. Cela correspond parfaitement au degré déclaré.)

Étape 2 : Établir l'équation
\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
Utilisez l'ordonnée à l'origine \( (0, -16) \) :
\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \] \[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \] \[ -16 = k(2)(1)(16) \] \[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

Conclusion :
\[ P(x) = -0,5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Étape 1 : Comprendre la symétrie impaire
Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (\( Q(-x) = -Q(x) \)). Cela signifie que tout comportement graphique se produisant sur l'axe des x positif doit être reflété (en diagonale) sur l'axe des x négatif.
* Tangent en \( x = 2 \implies \) Tangent en \( x = -2 \).
* Passe par l'origine \( \implies \) Racine en \( x = 0 \).

Étape 2 : Construction des facteurs (degré minimal)
* Racine en \( 0 \) traversant \( \implies \) Multiplicité 1 : facteur \( (x) \).
* Tangent en \( 2 \implies \) Multiplicité 2 : facteur \( (x - 2)^2 \).
* Tangent en \( -2 \implies \) Multiplicité 2 : facteur \( (x + 2)^2 \).
(Le degré minimal est 1 + 2 + 2 = 5).

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]
Utilisez le point \( (1, -9) \) :
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \] \[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \] \[ -9 = k(1)(1)(9) \] \[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

Conclusion :
\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

Étape 1 : Traduire la forme en multiplicité
* Contact parabolique en \( x = -3 \implies \) Multiplicité paire. Degré minimal = 2. Facteur : \( (x + 3)^2 \).
* Traversée en ligne droite en \( x = 2 \implies \) Multiplicité 1. Facteur : \( (x - 2) \).
* Traversée en forme de "S" aplati en \( x = 5 \implies \) Multiplicité impaire supérieure à 1. Degré minimal = 3. Facteur : \( (x - 5)^3 \).

Étape 2 : Établir l'équation
Multiplier ces facteurs crée un polynôme de 6e degré :
\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

Étape 3 : Résoudre pour \( k \)
Substituez le point \( (3, -72) \) :
\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \] \[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \] \[ -72 = k(36)(-8) \] \[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

Conclusion :
\[ H(x) = 0,25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]