Trouver la période des fonctions trigonométriques - Maths 12e année

Étape 1 : Identifier les cycles complets sur le graphique.
Localisez les zéros qui délimitent un cycle entier ou un nombre entier de cycles. Dans cet exemple, en observant l'intervalle de $x = 0$ à $x = 1$, nous pouvons compter exactement deux cycles complets.

Étape 2 : Calculer la période expérimentale.
Parce que deux cycles tiennent dans une distance horizontale de $1 - 0 = 1$, la période $P$ (la longueur d'un cycle) est : $$P = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$$

Étape 3 : Résoudre pour le paramètre $b$.
La formule pour la période d'une onde sinusoïdale est $P = \frac{2\pi}{b}$. Égalisez ceci à notre période trouvée : $$\frac{2\pi}{b} = \frac{1}{2}$$ Multipliez en croix et résolvez pour $b$ : $$b = 4\pi$$

Étape 1 : Trouver la distance d'un cycle complet.
Observez les passages à zéro (x-intercepts). Le graphique commence un cycle en $x = -\frac{\pi}{4}$, passe par un pic et un creux, et termine un cycle complet au passage à zéro $x = \frac{\pi}{4}$.

Étape 2 : Calculer la période.
La période $P$ est la distance horizontale entre ces deux points : $$P = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Étape 3 : Résoudre pour le paramètre $b$.
Égalisez la période graphique à la formule algébrique $P = \frac{2\pi}{b}$ : $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{b}$$ Multipliez les deux côtés par $2b$ : $$\pi \cdot b = 4\pi \implies \mathbf{b = 4}$$

Étape 1 : Identifier les points clés pour calculer la distance.
Le graphique fournit des repères sur l'axe des x, mais pas de coordonnées directes pour les sommets. Cependant, nous pouvons trouver l'emplacement exact des zéros (x-intercepts) en prenant le point médian entre les repères donnés.

Zéro à gauche (point médian entre $-\pi/4$ et $-\pi/8$) : $$x_1 = \frac{-\pi/4 + (-\pi/8)}{2} = \frac{-3\pi/8}{2} = -\frac{3\pi}{16}$$

Zéro à droite (point médian entre $0$ et $\pi/8$) : $$x_2 = \frac{0 + \pi/8}{2} = \frac{\pi}{16}$$

Étape 2 : Calculer la période.
La distance entre deux zéros consécutifs représente exactement *une demi-onde* (une demi-période). $$\text{Demi-période} = \frac{\pi}{16} - \left(-\frac{3\pi}{16}\right) = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$ Par conséquent, la période complète $P$ est le double de cette distance : $$P = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Étape 3 : Résoudre pour $b$.
$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{b = 4}$$

Étape 1 : Comprendre la relation entre les extrêmes.
La distance horizontale le long de l'axe des x entre un maximum consécutif (Point A à $x = \frac{3\pi}{6}$) et un minimum (Point B à $x = \frac{7\pi}{6}$) est exactement égale à une demi-période.

Étape 2 : Calculer la période.
D'abord, trouvez la distance entre A et B : $$\text{Distance} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ La période complète $P$ est le double de cette distance : $$P = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Étape 3 : Résoudre pour $b$.
Égalisez la formule algébrique à la période numérique : $$\frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}$$ Multipliez en croix : $6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}$

Étape 1 : Trouver la période directement.
La distance horizontale entre deux points minimums consécutifs représente exactement un cycle complet. Par conséquent, la période $P$ est simplement la différence entre leurs coordonnées x : $$P = 0,1 - (-0,3) = 0,4$$

Étape 2 : Résoudre pour $b$.
En utilisant la formule de la période $P = \frac{2\pi}{b}$ : $$\frac{2\pi}{b} = 0,4$$ $$0,4b = 2\pi \implies b = \frac{2\pi}{0,4} = \frac{20\pi}{4} = \mathbf{5\pi}$$

1. Pour $y = \sin(x)\cos(x) - 3$ :
   Utilisez l'identité de l'angle double : $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. Diviser par 2 donne $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
   Réécrivez la fonction : $$y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3$$ Le multiplicateur interne est $b=2$. Période : $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
2. Pour $y = 2 + 5\cos^2(x)$ :
   Utilisez l'identité de réduction de puissance : $\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)$.
   Réécrivez la fonction : $$y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}$$ Le multiplicateur interne est $b=2$. Période : $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
3. Pour $y = \cos(x) + \sin(x)$ :
   Réécrivez ceci comme une seule onde sinusoïdale déphasée. Multipliez et divisez par $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ : $$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)$$ $$y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)$$ En utilisant la formule d'addition d'angles $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ : $$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ Le multiplicateur interne est $b=1$. Période : $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}$$

Par définition, si $p$ est la période de la fonction $f$, alors : $$f(x+p) = f(x) \quad \text{pour tout } x$$

Effectuons une substitution où $x = kX$, ce qui donne : $$f(kX+p) = f(kX)$$

Maintenant, mettez en facteur la constante $k$ de l'argument du côté gauche : $$f\left(k\left(X+\frac{p}{k}\right)\right) = f(kX)$$

Parce que nous avons défini $h(x) = f(kx)$, nous pouvons substituer $h$ dans notre équation : $$h\left(X+\frac{p}{k}\right) = h(X)$$

Cet énoncé définit une nouvelle fonction périodique $h$. Il indique que le décalage de l'entrée de $\frac{p}{k}$ donne la valeur originale de la fonction. Par conséquent, $h(x) = f(kx)$ est périodique avec une période de : $$\mathbf{\frac{p}{k}}$$

Étape 1 : Trouver la période de chaque terme individuel.
Pour le premier terme, $y_1 = 3\sin(4x)$, le paramètre $b = 4$. Sa période est : $$P_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ Pour le second terme, $y_2 = 2\cos(6x)$, le paramètre $b = 6$. Sa période est : $$P_2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Étape 2 : Trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).
La période d'une somme de fonctions périodiques est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de leurs périodes individuelles. Nous devons trouver le PPCM de $\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{3}$.
Pour trouver le PPCM de fractions, exprimez-les avec un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun pour $2$ et $3$ est $6$ : $$P_1 = \frac{3\pi}{6}$$ $$P_2 = \frac{2\pi}{6}$$ Le PPCM des numérateurs ($3\pi$ et $2\pi$) est $6\pi$. Divisez ceci par le dénominateur commun : $$\text{PPCM} = \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\pi}$$

Étape 1 : Trouver la période de la fonction de base.
Ignorez d'abord la valeur absolue. La fonction de base est $f(x) = \sin(2x)$. La période de cette onde sinusoïdale est : $$P_{\text{base}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Étape 2 : Analyser l'effet de la valeur absolue.
Une onde sinusoïdale standard oscille au-dessus et en dessous de l'axe des x, complétant une bosse positive et un creux négatif sur sa période complète de $\pi$.
Prendre la valeur absolue force le creux négatif à se refléter vers le haut au-dessus de l'axe des x, devenant une bosse positive identique. Parce que la première moitié du cycle et la seconde moitié du cycle semblent maintenant parfaitement identiques, le motif se répète deux fois plus vite.
Par conséquent, appliquer une valeur absolue à une onde sinus ou cosinus divise sa période fondamentale par deux.

Étape 3 : Calculer la période finale.
$$P = \frac{P_{\text{base}}}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}}$$

Étape 1 : Rappeler la période standard de la tangente.
Contrairement aux fonctions sinus et cosinus dont la période fondamentale est $2\pi$, la période fondamentale de base de la fonction tangente $y = \tan(x)$ est $\pi$. Par conséquent, la formule pour la période de $y = a\tan(bx - c)$ est $P = \frac{\pi}{|b|}$.

Étape 2 : Identifier le paramètre $b$.
En regardant l'argument de la fonction tangente $\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$, le multiplicateur de la variable $x$ est $b = \frac{\pi}{3}$. (Note : le $-\frac{\pi}{4}$ est un déphasage et n'affecte pas la longueur de la période).

Étape 3 : Calculer la période.
$$P = \frac{\pi}{\frac{\pi}{3}} = \pi \times \frac{3}{\pi} = \mathbf{3}$$

La période est exactement de 3 unités de long.